全等三角形难题题型归类及解析整理版.pdf
. . 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性， 常作的辅助线是： 一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平 分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角 形。 1.如图，在 ABC中，D是边 BC上一点， AD平分BAC ，在 AB上截取 AE=AC ， 连结 DE ，已知 DE=2cm ，BD=3cm ，求线段 BC的长。 2.已知：如图所示， BD为ABC 的平分线， AB=BC ，点 P在 BD上，PM AD于 M ， ?PN CD于 N，判断 PM与 PN的关系 3.如图所示， P为AOB 的平分线上一点， PC OA于 C，?OAP+ OBP=180 °， 若 OC=4cm ，求 AO+BO 的值 A BC D E P D A C B M N P D A C B O . . 4.已知：如图 E在ABC的边 AC上，且 AEB= ABC 。 (1) 求证： ABE= C ； (2) 若BAE的平分线 AF交 BE于 F，FD BC交 AC于 D，设 AB=5 ，AC=8 ，求 DC 的长。 5、如图所示，已知1= 2，EFAD 于 P，交 BC 延长线于M，求证： 2M= （ ACB- B） 2 1 P F MD B A C E 6、如图，已知在 ABC 中，BAC为直角，AB=AC ，D为 AC上一点，CE BD于 E （1） 若 BD平分 ABC ，求证 CE= 1 2BD ； （2） 若 D为 AC上一动点，AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 ED C B A . . 7、如图：四边形 ABCD 中，AD BC ，AB=AD+BC ，E是 CD的中点，求证： AE BE 。 8、如图，在 ABC 中， ABC=60°，AD、CE 分别平分 BAC、ACB， 求证： AC=AE+CD 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8 字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 AD B C E . . 1、 ABC 中， A=90 °，AB=AC ，D 为 BC 中点， E、F 分别在 AC、AB 上，且 DE DF， 试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由 F D C AB E 2、 已知：如图，ABC中，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC， 且B EA C 于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G （1）求证：BFAC； （2）求证： 1 2 CEBF D A E F C H G B 3、如图， ABC 中， D 是 BC 的中点， DEDF，试判断BE+CF 与 EF 的大小关 系，并证明你的结论。 . . 4、如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上的一点，且BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F，求证： AF=EF 三、多个直角型 在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而 最难找的是锐角相等， 所以“同角的余角相等” 这个定理就显得非常 重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。 1、 如图, 已知: AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE 求证:BECF E F C D B A . . 2、如图, 已知：AB BC于 B , EF AC于 G , DF BC于 D , BC=DF 求证：AC=EF 3、如图，ABC=90 °，AB=BC ，BP为一条射线， AD BP ，CE PB ，若 AD=4 ，EC=2. 求 DE的长。 4、如图， ABC的两条高 AD 、BE相交于 H，且 AD=BD ，试说明下列结论成立的 理由。 （1）DBH= DAC ； （2）BDH ADC 。 F G ED C B A A BC D E H . . 5.如图 ACB=90 °,AC=BC,BE CE,AD CE于 D，AD=2 、5cm ，DE=1.7cm,求 BE 的长 6.如图， E、F 分别为线段 AC上的两个动点，且DE AC于 E，BF AC于 F， 若 AB =CD ，AF =CE ，BD交 AC于点 M （1） 求证： MB =MD ，ME =MF （2） 当 E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变， 上述结论能 否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 7.如图(1), 已知 ABC中, BAC=90 0, AB=AC, AE 是过 A的一条直线 , 且 B、 C在 A、E的异侧 , BD AE于 D, CEAE于 E (1) 试说明 : BD=DE+CE. . . F E DCB A (2) 若直线 AE绕 A点旋转到图 (2) 位置时 (BDCE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE 、 CE的关系如何 ? 请直接写出结果 , 不需说明 . （4）归纳前二个问得出BD 、DE 、CE关系。用简洁的 语言加以说明。 四、等边三角形型 由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对 称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60 度和 120 度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解 答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我 们看到有 60 度的角的时候经常构造等边三角形解题。 1、如图，已知ABC为等边三角形， D 、 E 、 F 分别在边 BC 、 CA、 AB 上， 且DEF 也是等边三角形 （2） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的 猜想是正确的； （3） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化 过程 . . 2、已知等边三角形中，与相交于点，求 的大小。 3、如图， D 是等边 ABC的边 AB上的一动点，以CD为 一 边向上作等边 EDC ，连接 AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由 4、已知， ABC 和 ECD 都是等边三角形，且点B，C，D 在一条直线上.求证： BE=AD E D C B A . . 5、已知 P 是等边 ABC 内的一点，BPCPCPBPA则,3, 4,5的度数为 多少？ 6、已知 P 是正方形 ABCD 内的一点， PAPBPC=123，APB则的度 数为多少？ . A B D C P E A B C D E F G 五、等腰三角形型 由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称 性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称 性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答 1、如图所示，已知AE AB ，AFAC ，AE=AB ， AF=AC 。 求证： （1）EC=BF ； （2）ECBF A E B M C F . . 2.在ABC中， ,AB=AC ， 在 AB边上取点 D， 在 AC延长线上取点 E ， 使 CE=BD ， 连接 DE交 BC于点 F，求证 DF=EF . 3.如图所示 , 已知 D是等腰 ABC 底边 BC上的一点 , 它到两腰 AB 、AC的距离分 别为 DE 、DF,CM AB,垂足为 M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数 量关系 , 并给予证明 . E DC B A M F F C B A E D . . 折叠型 、如图，将边长为4cm的正方形纸片 ABCD 沿 EF折叠( 点 E、F 分别在边 AB 、CD上)，使点 B落在 AD边上的点 M 处，点 C落在点 N处，MN 与 CD交于点 P， 连接 EP (1)如图，若 M为 AD边的中点， , AEM 的周长 =_cm ； 求证： EP=AE+DP； (2)随着落点 M在 AD边上取遍所有的位置 ( 点 M不与 A、D重合) ，PDM 的周 长是否发生变化 ?请说明理由
