几何计数(一).教师版.pdf
专业文档 珍贵文档 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图 分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等n 条直线最多将平面分成 21 223(2) 2 nnn个部分； n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2 ； n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分； n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2 部分 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先 后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1 个点 (包括两个端点 )（或含有n 个“ 基本线段 ” ） ，那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1 条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有 15 条线段，每条线段的 两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15 个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15 个，所以图 中共有 30 个三角形 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段， 纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个 模块一、简单的几何计数 【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_条对称轴 教学目标 例题精讲 知识要点 7-8-1 几何计数（一） 专业文档 珍贵文档 【考点】简单的几何计数【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】 如图： 6 条 【答案】 6条 【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（） （ A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第1 题 【解析】 通过观察可知，第1，2，5 这三张图片是有对称轴的，其他的5 张图片都没有对称轴，所以没有对 称轴的个数为5，正确答案是C。 【答案】C 【巩固】 中心对称图形是：绕某一点旋转180° 后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线 对折后两部分完全重合的图形，图的 4 个图形中， 既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第7 题 【解析】 共有 3 个，除第二个外其余都是。 【答案】 3 个 【例3】两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“ 夹角 ” 。现平面上有若干条直线，它们两两相交， 并且 “ 夹角 ” 只能是 30° ，60° 或 90° 。问：至多有多少条直线？ 【考点】简单的几何计数【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第12 题 【解析】 至多有 6 条直线，如图： 【答案】6条 【例4】下图是王超同学为“环境保护专栏“设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边 形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是_ 。 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第9 题 【解析】观察图形发现是：线段最多 【答案】线段最多 专业文档 珍贵文档 【例5】下面的5 5和64图中共有 _个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 在5 5的图中，边长为1 的正方形 2 5 个；边长为2 的正方形 2 4 个；边长为 3 的正方形 2 3 个；边长 为 4 的正方形 2 2 个；边长为 5 的正方形有 2 1 ，总共有 22222 543215 5(个)正方形 在64 的图中边长为1 的正方形 64个；边长为 2 的正方形 53个； 边长为 3 的正方形 42个；边长为 4 的正方形3 1个；总共有6453423 142(个) 【答案】42个 【巩固】 请看下图，共有多少个正方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空【关键词】 【解析】 假设最小的正方形边长为1，则面积为1 的正方形有9 个；面积为4 的正方形有4 个；面积为16 的 正方形有1 个因此共有9+4+1=14 个 【答案】14个 【巩固】 如下图是一个围棋盘，它由横竖各19 条线组成 问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正 方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第15 题 【解析】 我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点E 作为代表点然后将小正方形按题意放 在围棋盘上，仔细观察点E 应在什么地方通过观察，不难发现： （1）点 E 只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上 （2）反过来，右下角正方形ABCD 中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一 个小正方形的点E 这样一来，就将 “ 小正方形的个数” 化为 “ 正方形 ABCD 中的格子点个数” 了 很容易看出正方形ABCD 中的格子点为10× 10100 个 专业文档 珍贵文档 答：共有100 个。 【答案】 100个 【例6】下图中共有 _个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 每个44正方形中有：边长为1 的正方形有 2 4 个；边长为2 的正方形有 2 3 个；边长为 3 的正方形 有 2 2 个；边长为4 的正方形有 2 1 个；总共有 2222 432130 (个)正方形现有5 个44的正方 形，它们重叠部分是4 个2 2的正方形因此，图中正方形的个数是30 554130 【答案】130 【例7】图中有 _个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 55的正方形 1 个； 44的正方形 4 个； 3 3的正方形 5 个； 22 的正方形4 个； 11 的正方形 13 个共 27 个 【答案】27 【巩固】 数一数：图中共有_ 个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第10 题 【解析】 按面积从小到大4+17+9+4+1=35 个 【答案】35个 【巩固】 图中共有个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第7 题 【解析】 设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有2个，边长为2的正方形有6个，边长为4的正 专业文档 珍贵文档 方形有5个，边长为8的正方形有2个，边长为12的正方形有1个，边长为16的正方形有1个，所以 总共有26521117（个）。 【答案】17个 【例8】下图中共有 _个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初试，4 题 【解析】分类计算边长为1 的正方形有12 个；长为2 的正方形有1 个；边长为3 的正方形有4 个；边长为4 的有 1 个；边长为1 个对角线的有1 个；边长为2 个对角线的有1 个；所以一共有： 12141 1120（个） 【答案】20个 【巩固】 图 1 中共有个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第12 题 【解析】 5+4+1+5+4+1=20 【答案】20个 【例9】图中共有多少个长方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四 边形） mn 个所以有 (4+3+2+1)× （4+3+2+1）=100 【答案】 100 【例10】 数一数，下边图形中有个平行四边形 【考点】简单的几何计数【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初试，4 题 【解析】本题是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共计 6 个. 【答案】6个 【例11】 图 5 中有个平行四边形。 专业文档 珍贵文档 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 12+8+3=23 【答案】23 【例12】 如右图中共有7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。 7 6 5 4 3 2 1 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第10 题 【解析】 白色小三角形个数126 166 2 （） 21，黑色小三角形个数1 十 27 177 2 （） 28，所以它们的比 21 28 3 4 ，白色与黑色小三角形个数之比是 3 4 . 【答案】 3 4 【例13】 如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段_条。 【考点】简单的几何计数【难度】 2 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第8 题 【解析】 横的有 5× (1+2+3+4+5)=75 条，竖的有6× (1+2+3+4)=60 条，一共135 条 【答案】135条 【例14】 图中线段的条数比三角形的个数多。 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第6 题 【解析】 通过比较发现，线段的条数比三角形的个数多的正好是6条斜边。 【答案】6 【例15】 右图中共有个三角形。 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第6 题 专业文档 珍贵文档 【解析】 由 1 个， 2 个， 3 个， 4 个， 6 个， 8 个小三角形组成的三角形分别有：8，7，4，3， 1，1 个，也即 一共有 8+7+4+3+2=24 个。 【答案】 24 【例16】 如图 AB，CD，EF， MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? FE DC B A 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 图中共有三角形 （1+2+3+4）× 4=40 个梯形（1+2+3+4 ）× （2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20 个 【答案】20个 【例17】 右边三个图中，都有一些三角形，在图A 中，有_个；在图B 中，有 _个；中图C 中， 有_ 个。 C BA 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 图 A 5 个 ; 图 B 8 个; 图 C 5 个 【例18】 请看下图，共有多少个三角形？ 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 独立的三角形有7 个，由 4 个三角形组成的三角形有1 个，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9 个三角形 【答案】9 【例19】 右图中共有个三角形 【考点】简单的几何计数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，2 题 【解析】分类枚举得到：边长是1个单位长度的有12个三角形； 边长是2个单位长度的有6个三角形 边长是3个单位长度的有2个三角形 专业文档 珍贵文档 共有126220（个） 【答案】20个 【例20】 右图中三角形共有个 【考点】简单的几何计数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，4 题 【解析】不可分割的三角形有7个 由2个不可分割的三角形构成的三角形有6个 由3个不可分割的三角形构成的三角形有4个 由5个不可分割的三角形构成的三角形有2个 由7个不可分割的三角形构成的三角形有 1个 一共有三角形7642120个 【答案】20个 【巩固】 数一数图中有 _个三角形 【考点】简单的几何计数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第14 题 【解析】分类枚举，只由一个三角形构成的有6 个，由两个小三角形组合而成的三角形有3 个。由三个小三 角形组合而成的三角形有3 个，所以一共有 63+3=12（个） 。 【答案】12个 【巩固】 数一数，图中有_个三角形。 【考点】简单的几何计数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9 题 【解析】 10 个 【答案】10个 【例21】 图中共有个三角形。 【考点】简单的几何计数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有10 个，包含两块的三 角形有 10 个，包含三块的三角形有10 个，包含五块三角形有5 个，所以共有35 个。 专业文档 珍贵文档 【答案】35个 【例22】 在图中，一共有10 个三角形，40 条线段 【考点】简单的几何计数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第3 题 【解析】 一共有 10 个三角形 五角星的每个角上分别有1 个小三角形，总共有5 个；另外还有5 个较大的 三角形，所以共有 5510（个）三角形 一共有 40 条线段中间五角星中有 5 条长线段，每条 长线段上共可以数出：3216（条）线段，那么五角星中共有6530（条）线段，305540 图形的计数 【答案】三角形10个，线段40个 【例23】 用 10 根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有个。 【考点】简单的几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第13 题 【解析】 根 据三角行两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。知道共有两2 种情况： 33410与 244，所以能接成不同的三角形2个 【答案】2个
