小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版.pdf

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”) ： S4 S3 S2 S1 O D CB A 1243 :SSSS 或者 1324 SSSS 1243:AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】( 小数报竞赛活动试题) 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC 、BD分成四个部分， AOB面积为 1 平方千米， BOC面积为 2 平方千米 ，COD的面积为3 平方千米，公园由陆地面积是 692 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得3 121.5 AOD S平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平 方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：三角形 BGC的面积；:AG GC ？ A B C D G 32 1 【解析】 根据蝴蝶定理，123 BGC S，那么6 BGC S； 根据蝴蝶定理，:12 : 361: 3AG GC ( ？ ) 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O( 如图所示 )。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的 任意四边形、 梯形与相似模型 面积的 1 3 ，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的 _倍。 A BC D O H G A BC D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件:1:3 ABDBCD SS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：:1:3 ABDBDC AO OCSS， 236OC ， :6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 1 3 ABDBCDSS ， 1 3 AHCG ， 1 3 AODDOCSS， 1 3 AOCO ， 236OC， :6:32:1OC OD 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是2、 4、4 和 6。求：求OCF的面积；求GCE的面积 。 O G F E D CB A 【解析】 根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积都是1628， 所以OCF的面积为844； 由于BCO的面积为8，BOE的面积为6，所以OCE的面积为862， 根据蝴蝶定理，:2: 41: 2 COECOF EG FGSS，所以:1: 2 GCEGCF SSEG FG， 那么 112 2 1233 GCECEF SS 【例4】图中的四边形土地的总面积是52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的 面积分别是6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 7 6 7 6 E D C BA 【解析】 在ABE，CDE中有AEBCED，所以ABE，CDE的面积比为()AEEB:()CEDE 。同 理有 ADE，BCE的面积比为() :()AEDEBEEC 。所以有 ABES×CDES=ADES×BCES，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2 条对角线，有图形分成上、下、左、右4 个部分，有：上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即6 ABE S=7 ADE S，所以有ABE与ADE的面积 比为7:6， ABE S= 7 3921 67 公顷， ADE S= 6 3918 67 公顷。 显然，最大的三角形的面积为21 公顷。 【例5】( 2008 年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积 为。 C A B D O C A B D 【解析】 连接AD、CD、BC。 则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为： 4 112 2 ，ACD的面积为： 3 313.5 2 ， ABD的面积为： 4 213 2 所以:2:3.54: 7 ABCACD BO ODSS，所以 4412 3 471111 ABOABD SS 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。 A B C D E 【解析】 因为:2:5BD CE，且BDCE，所以:2:5DA AC， 5 25 ABC S ， 510 2 77 DBC S 【例6】( 2007 年人大附中考题) 如图，边长为1 的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG 的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接EF 因为2BEEC，CFFD，所以 1111 () 23212 DEFABCDABCD SSS 因为 1 2 AEDABCD SS，根据蝴蝶定理， 11 :6:1 2 12 AG GF， 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS， 即三角形AEG的面积是 2 7 【例7】如图，长方形 ABCD中，:2:3BE EC ， :1: 2DFFC ，三角形 DFG的面积为2平方厘米，求长 方形ABCD的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接AE，FE 因为:2:3BE EC，:1: 2DFFC，所以 3111 () 53210 DEF ABCDABCDSSS长方形长方形 因为 1 2 AED ABCD SS长方形 ， 11 :5:1 2 10 AG GF， 所以510 AGDGDF SS平方厘米， 所以12 AFD S平 方厘米因为 1 6 AFD ABCD SS长方形 ，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10 厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角 形BDG的面积 A BC D E F G O A BC D E F G 【解析】 设BD与CE的交点为 O，连接BE、DF 由蝴蝶定理可知: BEDBCD EO OCSS，而 1 4 BEDABCD SS， 1 2 BCDABCD SS， 所以:1: 2 BEDBCD EO OCSS，故 1 3 EOEC 由于F为CE中点，所以 1 2 EFEC ，故:2:3EO EF，:1:2FO EO 由蝴蝶定理可知:1: 2 BFDBED SSFOEO，所以 11 28 BFDBEDABCDSSS ， 那么 111 10106.25 21616 BGDBFDABCD SSS（平方厘米） 【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和 BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是 N M O C B A 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 设 MONSx ，根据共边定理我们可以得 ANMABM MNCMBC SS SS ， 3 3 32 2 3 1 2 x x ，解得22.5x 【例10】( 2009 年迎春杯初赛六年级) 正六边形 123456 AA A A A A 的面积是2009 平方厘米，123456 B B B B B B 分别 是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米 B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 O B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 【解析】 如图， 设 62 B A 与13B A 的交点为 O，则图中空白部分由6个与 23 A OA 一样大小的三角形组成，只要求 出了 23 A OA 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接 63 A A 、 61 B B 、 63 B A 设 116 AB B 的面积为”1“，则1 2 6 BAB面积为”1“， 126 A A B 面积为”2“，那么636 A A B 面积为126A A B 的2倍，为”4“，梯形 1236 A A A A 的面积为224212，263 A B A 的面积为”6“，123 B A A 的 面积为2 根据蝴蝶定理， 126326 13 :1: 6 B A BA A B BOA OSS，故 2 3 6 16 A OA S ， 123 12 7 B A A S， 所 以 231236 12 :12:1: 7 7 A OA A A A A SS梯形 ，即 23 A OA 的 面积 为梯形 1236 A A A A 面 积的 1 7 ， 故为六 边形 123456 A A A A A A 面积的 1 14 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 13 6 147 ，所以阴影部分面积为 3 200911148 7 ( 平方厘米 ) 板块二梯形模型的应用 梯形中比例关系( “梯形蝴蝶定理”) ： A B C D O b a S3 S2 S1 S4 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab ； S的对应份数为 2 ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 【例11】如图， 2 2S， 3 4S，求梯形的面积 S4 S3 S2 S1 【解析】 设 1 S 为 2 a 份， 3 S 为 2 b 份，根据梯形蝴蝶定理， 2 3 4Sb ，所以2b；又因为 2 2Sab，所以 1a；那么 2 1 1Sa， 4 2Sab，所以梯形面积 1234 12429SSSSS，或者根 据梯形蝴蝶定理， 22 129Sab 【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营) 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已 知AOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是 _ 平方厘米 35 25 O AB CD 【解析】 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， 2 :25: 35 AOBBOC SSaab， 可 得:5:7a b， 再 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， 2222 :5 :725: 49 AOBDOCSSab， 所 以49DOCS( 平 方 厘 米 ) 那么 梯 形ABCD的 面 积 为 25353549144( 平方厘米 ) 【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角 形BOC面积的 2 3 ，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比 O A BC D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理， 2 :2:3 AOBBOC SSab b，可以求出:2:3a b， 再根据梯形蝴蝶定理， 2222 :2 :34:9 AODBOC SSab 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例 13】( 第十届华杯赛) 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且 3 5 ABD CBD 三角形的面积 三角形的面积 ，那么OC的长是多少？ A B C D O 【解析】 根据蝴蝶定理， ABDAO CBDCO 三角形的面积 三角形的面积 ，所以 3 5 AO CO ，又1AO，所以 5 3 CO 【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是 2 9cm ，问三角形AOD的面积是多少？ A BC D O 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b， 2222 :2 :34:9 AODBOCSSab， 所以 2 4 cm AOD S 【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积 O D C B A 【解析】 根据梯形蝴蝶定理， 22 :4:9 AOBACOD SSab，所以:2:3a b， 2 :3: 2 AODAOB SSab ab a， 3 1.21.8 2 AODCOBSS ， 1.21.81.82.77.5 ABCD S梯形 【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11， 三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH的面积 H G F E DC B A H G F E DC B A 【解析】 如图，连结EF，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面 积等于三角形ADG 的面积； 三角形 BCH 的面积等于三角形EFH 的面积， 所以四边形EGFH 的面积 是112334 【巩固】 ( 人大附中入学测试题) 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3 的面积比为4 比 5，四边形 2 的面积为36，则三角形1 的面积为 _ 321321 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2 分成左右两边，其面积正好等于三角形1 和三角 形 3，所以 1 的面积就是 4 3616 45 ，3 的面积就是 5 3620 45 【例 16】如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积 G M D C B A 【解析】 因为M是AD边上的中点，所以:1: 2AMBC，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 12 :21: 2: 2 :4 AMGABGMCGBCG SSSS （） （）， 设1 AGM S份， 则123 MCD S份， 所以正方形的面积为1224312份，224S阴影份，所以:1: 3SS 阴影正方形 ，所以1S阴影 平方厘米 【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1 平 方厘米，那么正方形 ABCD面积是 平方厘米 A BC D E F 【解析】 连接DE， 根据题意可知:1: 2BE AD， 根据蝴蝶定理得 2 129S梯形（）(平方厘米 ) ，3 ECD S( 平 方厘米 ) ，那么12 ABCD S( 平方厘米 ) 【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，,E F 是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积 O FE DC B A 【解析】 因为,E F 是DC边上的三等分点，所以:1:3EFAB，设1 OEF S份，根据梯形蝴蝶定理可以知道 3 AOEOFB SS 份，9 AOB S份，(13) ADEBCF SS 份， 因此正方形的面积为 2 44(13)24 份，6S 阴影 ，所以:6:241: 4SS 阴影正方形 ，所以3S 阴影 平方厘米 【例18】如图，在长方形ABCD中，6AB厘米，2AD厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积 B C A D EF O B C A D EF O 【解析】 方 法一：如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为 26322平方厘米 由于:1:3EF DC， 根据梯形蝴蝶定理，:3:1 DEOEFO SS， 所以 3 4 DEODEF SS， 而2 D E FA D E SS 平方厘米，所以 3 21.5 4 DEO S平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5平方厘米 方法二：如图，连接DE，FC，由于:1:3EF DC，设1 O E F S份，根据梯形蝴蝶定理，3 OED S 份， 2 (13)16 EFCD S梯形份，134 ADEBCF SS 份，因此416424 ABCD S长方形份， 437S阴影份，而6212 ABCD S长方形平方厘米，所以3.5S阴影平方厘米 【例19】( 2008 年”奥数网杯”六年级试题) 已知ABCD是平行四边形，:3: 2BC CE，三角形ODE的 面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米 O E A BC D O E A BC D 【解析】 连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3: 2BC CE，所以:2:3CE AD， 根据梯形蝴蝶定理， 22 :2 : 23: 23: 34: 6:6 :9 COEAOCDOEAOD SSSS，所以6 AOC S( 平方厘 米) ，9 AOD S( 平方厘米 ) ，又6915 ABCACD SS( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为61521( 平 方厘米 ) 【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米) ，阴影部 分的面积是平方厘米 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 【分析】 连接AE 由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝴蝶定理，4936 OCDOAEOCEOAD SSSS，故 2 36 OCD S， 所以6 OCD S( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 2008 年三帆中学考题) 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单 位：平方厘米) ，阴影部分的面积是平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 【解析】 连接AE 由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝴蝶定理，2816 OCDOAEOCEOAD SSSS，故 2 16 OCD S，所以4 OCD S( 平方厘米 ) 另解：在平行四边形ABED中， 11 16812 22 ADEABEDSS( 平方厘米 ) ， 所以1284 AOEADEAOD SSS( 平方厘米 ) ， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244( 平方厘米 ) 【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成 4 块，DEF的面积是5 平方厘米，CED的面积是 10 平方厘米问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ F A BC D E 10 5 F A BC D E 10 5 【分析】 连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10 平 方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10 10520( 平方厘米 ) ，所以长方形的面积为 2010260 ( 平方厘米 ) 四边形ABEF的面积为605102025( 平方厘米 ) 【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成 4 块，DEF的面积是4 平方厘米，CED的面积是6 平 方厘米问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ 6 4 A BC D E F 6 4 A BC D E F 【解析】 ( 法 1) 连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 BEF的面积和三角形DEC的面积 相等，即其面积也是6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6649( 平方厘米 ) ， 所以长方形的面积为96230 ( 平方厘米 ) 四边形ABEF的面积为3046911( 平方厘 米) ( 法 2) 由题意可知， 42 63 EF EC ，根据相似三角形性质， 2 3 EDEF EBEC ，所以三角形BCE的面积为： 2 69 3 ( 平方厘米 ) 则三角形CBD面积为 15 平方厘米，长方形面积为15230( 平方厘米 ) 四 边形ABEF的面积为3046911( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 98 迎春杯初赛 ) 如图， ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB 的长是9. 那么四边形OECD的面积是多少？ E O D C B A 【解析】 因为连接ED知道ABO和EDO的面积相等即为54， 又因为16 9OD OB=, 所以AOD的面积 为54 9 1696，根据四边形的对角线性质知道：BEO 的面积为： 54 549630.375，所以四 边形OECD的面积为：549630.375119.625( 平方厘米 ). 【例21】( 2007 年”迎春杯”高年级初赛) 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3 块的 面积分别为2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 _平方厘米 ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF 【解析】 连接DE、CF四边形EDCF为梯形，所以 EODFOC SS，又根据蝴蝶定理， EODFOCEOFCOD SSSS，所以2816 EODFOCEOFCOD SSSS，所以4 EOD S( 平方厘米 ) ， 4812 ECD S( 平方厘米 ) 那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面 积为245289( 平方厘米 ) 【例22】( 98 迎春杯初赛 ) 如图， 长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是 16，OB 的长是 9那么四边形 OECD的面积是 A BC D E O A BC D E O 【解析】 解法一：连接DE，依题意 11 954 22 AOB SBOAOAO，所以12AO， 则 11 161296 22 AOD SDOAO 又因为 1 5416 2 AOBDOE SSOE ，所以 3 6 4 OE， 得 1133 9630 2248 BOE SBOEO， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOE SSSSS 解法二：由于:16 :9 AODAOB SSODOB，所以 16 5496 9 AOD S，而54 DOEAOB SS，根据 蝴蝶定理， BOEAODAOBDOE SSSS，所以 3 54549630 8 BOE S， 所以 35 549630119 88 OECDBDCBOEABDBOESSSSS 【例23】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点已知正方形 DEFG的面积 48，:1:3AK KB，则BKD的面积是多少？ K G FE D CB A M K G FE D CB A 【解析】 由于DEFG是正方形， 所以DA与BC平行， 那么四边形ADBC是梯形 在梯形ADBC中，BDK和 ACK的面积是相等的 而:1:3AK KB，所以ACK的面积是ABC面积的 11 134 ， 那么BDK 的面积也是ABC面积的 1 4 由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且 AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正 方形 DEFG的面积相等，为 48 那么BDK的面积为 1 4812 4 【例24】如图所示， ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是 9， BCF的面积是 27那么阴 影AEC面积是多少？ F E D C B A 【解析】 根 据梯形蝴蝶定理，可以得到 AFBDFCAFDBFC SSSS，而 AFBDFC SS( 等积变换 ) ，所以可得 99 3 27 AFBCDF AFD BFC SS S S ， 并且31.81.2 AEFADFAED SSS，而:9:271:3 AFBBFC SSAFFC， 所以阴影AEC的面积是：41.244.8 AECAEF SS 【例25】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？ 2 2 4 1 2 2 4 1 【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把 六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 88 6 183 【例26】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点三角形ABC由这6 部分 组成，其中比多6 平方厘米那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？ B F ED C A 【解析】 因 为E是DC中点， F为AC中点，有2ADFE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形在梯形 ADEF中有 =，× =×， ：= 2 AD ： 2 FE =4又已知 - =6，所以 =6(41)2 ， = 48，所以× =× =16，而 =，所以 = =4，梯形 ADEF的面积为、 四块图形的面积和，为844218有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比， 即为1: 4所以ADC面积为梯形ADEF面积的 4 4-1 = 4 3 ，即为 4 1824 3 因为D是BC中点，所 以ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为242448平方 厘米三角形ABC的面积为48 平方厘米 【例 27】如图，在一个边长为6 的正方形中，放入一个边长为2 的正方形，保持与原正方形的边平行， 现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况 解法一： 取特殊值， 使得两个正方形的中心相重合，如右图所示， 图中四个空白三角形的高均为 1.5， 因此空白处的总面积为6 1.5242222，阴影部分的面积为662214 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6， 上底、下底之比为2: 61:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之 比为 22 1 :13:13:31:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 9 16 ，阴影部分的面 积占该梯形面积的 7 16 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 7 16 ，那么阴影部分的面积为 227 (62 )14 16 【例28】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF、 DE，相交于点G，过G作MN、 PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG，设正方形 MGQA 的面积为 1 S ，正方形PCNG的面积为2 S ，则 12 :SS_ Q P NM A BC D E F G Q P NM A BC D E F G 【解析】 连接BD、EF设正方形ABCD边长为 3，则2CECF，1BEDF，所以， 222 228EF， 222 3318BD因为 222 81814412EFBD，所以12EF BD由梯形蝴蝶定理，得 22 :8:18:12 :124:9 :6: 6 GEFGBDDGFnBGE SSSSEFBDEFBDEFBD ， 所以， 66 496625 BGE BDFEBDFE SSS 梯形梯形 因为 9 332 2 BCDS ，2222 CEF S， 所以 5 2 BCDCEF BDFE SSS 梯形 ，所以， 653 2525 BGES 由于BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以 36 21 55 CN， 69 3 55 ND， 所以:3: 2AM CNDNCN，则 22 12 :9:4SSAMCN 【例29】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且2CDAB，点E、F分别是AD和BC的中点， 已知阴影四边形 EMFN的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD的面积是 平方厘米 FE AB CD M N FE AB CD M N 【解析】 连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积 设梯形ABCD的上底为 a ，总面积为S则下底为2a， 13 2 22 EFaaa 所以 3 :2:3 2 AB EFaa， 3 :23: 4 2 EFDCaa 由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以 33 :25: 7 22 ABFEEFCD SSABEFEFDCaaaa 梯形梯形 ， 故 5 12 ABFE SS 梯形 ， 7 12 EFCD SS 梯形 根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为 22 2 :23: 23:34: 6: 6:9 ，所以 9953 4669251220 EM FABFESSSS梯形 ； 同理可得 9973 9121216491228 ENFSSSS梯形EFCD ， 所以 339 202835 EMFNEMFENFSSSSSS，由于 54 EMFN S平方厘米， 所以 9 54210 35 S( 平方厘米 ) 【例30】( 2006 年“迎春杯” 高年级组决赛) 下图中， 四边形ABCD都是边长为1 的正方形，E、F、G、 H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简 分数 m n ，那么， ()mn 的值等于 A BC D E F G HH G F E D CB A 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面 积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的 1 4 ，所以三角形AMD的面积为 2111 1 248 又 左 图 中 四 个 空 白 三 角 形 的 面 积 是 相 等 的 ， 所 以 左 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 11 14 82 M A BC D E F G H N H G F E D CB A 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N 可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的 1 4 ，所以三角形BEF的 面积为 2111 1 248 ，梯形AEFC的面积为 113 288 在 梯 形AEFC中 ， 由 于:1 : 2E FA C， 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， 其 四 部 分 的 面 积 比 为 ： 22 1 :12:12: 21: 2: 2: 4 ，所以三角形EFN的面积为 311 8122424 ，那么四边形BENF的 面积为 111 8246 而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 1 1 :3: 2 2 3 ，即 3 2 m n ， 那么325mn。