考点24线线、线面、面面的位置关系-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf

【考点剖析】 1. 最新考试说明： 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. 3. 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理能证明一些空间位置关 系的简单命题. 2. 命题方向预测： 1. 点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查 逻辑推理能力与空间想象能力多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题. 2. 线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用题型 多为选择题与解答题. 3. 线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点着重考查垂直关系的转化及应用题型多以选择题、解答 题为主难度中、低档. 3. 课本结论总结： 1. 平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2. 直线与直线的位置关系 (1) 位置关系的分类 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2) 异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线a，b所成的角 ( 或夹角 ). 范围：0 2 ，. 3. 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5. 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7. 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 来源 : 学科网ZXXK 定义 来源 :Z+xx+k.Com定理 来源:学科网 ZXXK来源: 学科网 ZXXK来源: 学科网 ZXXK 图形 条件a?a? ，b?，aba a，a? ， b 结论ab a ? ab 8. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件 ? a? ，b? ， abP，a ， b ， a， b ，a ? 结论ab a 9. 直线与平面垂直 (1) 判定直线和平面垂直的方法 定义法 . 利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2) 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 垂直于同一条直线的两平面平行. 10. 斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 11. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的判定方法 定义法 . 利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (2) 平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 12. 二面角的有关概念 (1) 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2) 二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角 叫做二面角的平面角. 4. 名师二级结论： （1）异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 (2) 公理 1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内 (3) 公理 2的作用：公理2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法 (4) 公理 3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线 (5) 平行问题的转化关系： (6) 垂直问题的转化关系 线线垂直面面垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 (7) 证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等； (8) 利用公理4 或平行四边形的性质证明两条直线平行. 5. 课本经典习题： （1）必修 2 第 37 页 用a，b，c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a，b，则ab； 若a，b，则ab. 其中真命题的序号是( ) A B C D 【经典理由】考察线面、线线的平行和垂直关系。 （2）必修 2 第 42 页 已知m、n为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) Amn，m?n B，m? ，n? ?mn Cm，mn?n Dm? ，n? ，m，n? 【经典理由】考察线面、线线、面面的平行和垂直关系。 6. 考点交汇展示： (1) 立体几何与函数交汇 四边形 ABCD中，ABAD,ADBC，AD =6，BC =4，AB =2，点 E、F 分别在 BC、AD上， EFAB 现将四 边形 ABEF沿 EF折起，使平面ABCD 平面 EFDC ，设 AD中点为 P ( I )当 E为 BC中点时，求证：CP/ 平面 ABEF ( ) 设 BE=x ，问当 x 为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。 (2) 立体几何与基本不等式交汇 如图 4， 在三棱锥PABC中，90PABPACACB （1）求证：平面PBC平面PAC； （2）若1PA，=2AB，当三棱锥PABC的体积最大时，求BC的长 (3) 立体几何与三角函数交汇 【2015 高考浙江，理8】如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成A CD，所成 二面角ACDB的平面角为，则（） A.A DB B. A DB C. A CB D. A CB P A B C 【考点分类】 热点 1 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定 1. 【2015 高考浙江， 文 4】设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（） A若l，则B若，则lm C若/l，则/D若/，则/lm 2. 【2015 高考广东， 文 6】若直线 1 l和 2 l是异面直线， 1 l在平面内， 2 l在平面内，l是平面与平面 的交线，则下列命题正确的是（） Al至少与 1 l， 2 l中的一条相交Bl与 1 l， 2 l都相交 Cl至多与 1 l， 2 l中的一条相交Dl与 1 l， 2 l都不相交 3. 【 2015 江苏高考， 16】（本题满分14 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC中，已知BCAC， 1 CCBC，设 1 AB的中点为D， 11 B CBCE. 求证：（ 1）CCAADE 11 / 平面；（ 2） 11 ABBC. 4. 【 2014 高考江苏第16 题】如图在三棱锥-P ABC中，,D E F分别为棱,PC AC AB的中点，已知 ,6,8,5PAAC PABCDF， 求证（ 1）直线/PA平面DEF； A B C D E A1 B1 C1 （2）平面BDE平面ABC. B 【方法规律】 1. 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4） 向量平行 .要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 2. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理； （4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这 个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行 . 3. 面面平行的证明方法：反证法: 假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断 定理；利用性质: 垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；向量法：证明两 个平面的法向量平行. 4. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性 质定理；（ 4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直 . 要注意线面、面面垂直的性质定理 的成立条件 . 解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性. 5. 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理； （4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行. 线面垂直的证明思考途径：线线垂 直线面垂直面面垂直 . 6. 面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题 时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的 思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 【解题技巧】 1. 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置， 对于最值问题，常用函数思想来解决. 2. 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究， 解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证， 若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. 3. 转化思想：垂直关系的转化 线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助 线来解决 . 4. 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 5. 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 6. 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 7. 垂直关系综合题的类型及解法 (1) 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2) 垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3) 垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 8. 线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直 的判定定理和性质定理； 9. 线线关系是线面关系、面面关系的基础. 证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中 位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； 【易错点睛】 1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 . 2. 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面 平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题 目的具体条件而定，决不可过于“模式化”. 3. 解题中注意符号语言的规范应用. 4. 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替 使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 5. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据. 我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面 的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 6. 证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 判定 性质 例 1 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m的是 A，且mBmn，且n C，且mDmn，且n 例 2：设m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A.若 ，m? ，n? ，则mn B.若 ，m? ，n? ，则mn C.若mn，m? ，n? ，则 D.若m，mn，n，则 热点 2 空间线线、线面及面面关系中的角度问题 1. 【2015 高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段 PQ上， E、 F分别为 AB 、BC的中点。设异面直线EM与 AF所成的角为，则cos的最大值为 . 2. 【2014 高考大纲卷文第4 题】 已知正四面体ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角 的余弦值为（） A. 1 6 B. 3 6 C. 1 3 D. 3 3 3. 【2014 高考上海卷文第7 题】若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为（结 果用反三角函数值表示）. 【方法规律】 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用 特殊点 ( 线段的端点或中点) 作平行线平移；补形平移. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1) 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线 . (2) 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3. 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. 根 据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上( 线 面的端点或中点) 利用三角形求解. 【解题技巧】 求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”. 其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端 点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为 解三角形问题，进而求解. 【易错点睛】 1. 正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. 2. 不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3. 两条异面直线所成角的范围是(0°，90°. 例 1：如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90°，BC2，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的 中点 . 求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 例 2：过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可 以作( ) A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条 热点 3 线线、线面、面面的位置关系的综合问题 1.【2015 高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为60，为斜足，平面上的动点满 足30，则点的轨迹是（） A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支 2. 【 2015高 考 浙 江 ， 文18 】 （ 本 题 满 分15分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 111 ABCABC-中 ， 11 ABC90ABAC2,AA4,A ，在底 面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为 11 BC的中点 . （1）证明： 11 DA BCA平面； （2）求直线 1 A B和平面 11 BCBC所成的角的正弦值. 3. 【 2015 高考上海，文19】（本题满分12 分）如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半 圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点 . 已知2PO，1OA，求三棱锥AOCP的体积，并求异面直线 PA与OE所成角的大小 . 4. 【 2014 高考大纲卷文第19 题】 如图，三棱柱ABC-A 1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上， ACB=90，BC=1，AC=CC 1=2. (1)证明： AC1A1B;