铅锤高求三角形面积法.pdf
1 作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法 - 二次函数教学反思 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种 方法现总结如下：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的 距离叫ABC的“水平宽” (a) ，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高 (h)”. 我们 可得出一种计算三角形面积的新方法：ahS ABC 2 1 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 例 1 （2013 深圳） 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段OA 绕原点 O 顺时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点 B 的坐标；（2）求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不 存在，请说明理由.（ 4）如果点P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB 是否有最 大面积？若有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解： （ 1）B（1，3 ） （2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点 B（1, 3 ） ，得 3 3 a，因此 232 3 33 yxx （3）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时， BOC 的周长最小 . 设直线 AB为 y=kx+b.所以 3 3, 3 20. 2 3 3 k kb kb b 解得， 因此直线 AB为 32 3 33 yx， 当 x=1时， 3 3 y， 因此点 C 的坐标为（1，3 /3）. （4）如图，过P 作 y 轴的平行线交AB 于 D. B C 铅垂高 水平宽 h a 图 1 C B A O y x D B A O y x P 2 2 2 2 1 ()() 2 132 332 3 3 23333 33 3 22 319 3 228 PABPADPBDDPBA SSSyyxx xxx xx x 当 x= 1 2 时， PAB 的面积的最大值为 9 3 8 ，此时 13 , 24 P. 例 2(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物 线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线 (在第一象限内 )上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求 CAB 的铅垂高 CD 及 CAB S ；(3)是否存在一点P，使 SPAB= 8 9 SCAB，若存在， 求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 解： (1) 设抛物线的解析式为：4)1( 2 1 xay把 A（3,0）代入解析 式求得1a所以324) 1( 22 1 xxxy设直线AB 的解 析式为：bkxy2由32 2 1 xxy求得 B 点的坐标为)3 ,0(把 )0 ,3(A，)3 ,0(B代入bkxy2 中解得： 3, 1 bk所以3 2 xy (2) 因为 C 点坐标为 (,4)所以当 x时， y14，y22 所以 CD4- 2 2323 2 1 CAB S(平方单位 ) (3) 假设存在符合条件的点P，设 P 点的横坐标为x， PAB 的铅垂高为h，则 xxxxxyyh3)3()32( 22 21 由 SPAB= 8 9 SCAB得3 8 9 )3(3 2 12 xx化简 得：09124 2 xx解得， 2 3 x将 2 3 x代入32 2 1 xxy中，解得P 点坐标为) 4 15 , 2 3 ( 例 3 （2015 江津） 如图，抛物线cbxxy 2 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3，0) 两点， （1）求该抛物 线的解析式； （2）设（ 1）中的抛物线交y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC的 周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上 是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值 . 若没有，请说 明理由 . 图- 2 x C O y A B D 1 1 3 (3) x y A B C P EO x y A B C Q O (2) 解： (1) 将 A(1，0)，B( 3，0) 代 2 yxbxc中得 10 930 bc bc 2 3 b c 抛物线解析式为： 2 23yxx (2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称 直线 BC与1x的交点即为Q点，此时 AQC 周长最小 2 23yxx C的坐标为： (0，3) 直线 BC解析式为：3yx Q 点坐标即为 1 3 x yx 的解 1 2 x y Q(1，2) （3）答：存在。理由如下： 设 P 点 2 (23) (30)xxxx， 9 2 BPCBOCBPCOBPCO SSSS 四边形四边形 若 BPCO S四边形 有最大值，则 BPC S 就最大， BPEBPCOPEOC SSS Rt四边形直角梯形 11 () 22 BE PEOE PEOC 2211 (3)(23)()(233) 22 xxxxxx 233927 () 2228 x 当 3 2 x时， BPCO S四边形 最大值 927 28 BPC S 最大 927927 2828 当 3 2 x时， 215 23 4 xx点 P 坐标为 315 () 24 ， 4 同学们可以做以下练习： 1 （2015 浙江湖州）已知如图，矩形OABC 的长 OA=3，宽 OC=1 ，将 AOC 沿 AC翻折得 APC 。 （1）填空： PCB=_ 度， P点坐标为（， ） ； （2）若 P ， A两点在抛物线y= 4 3 x 2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C在此抛物线上； （3）在（ 2）中的抛物线CP段（不包括C ，P点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若 存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。 2 （湖北省十堰市2014）如图，已知抛物线3 2 bxaxy（ a0）与x轴交于点A(1，0)和点 B ( 3，0)，与 y 轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对 称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标； 若不存 在，请说明理由(3) 如图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积 的最大值，并求此时E 点的坐标 图图 3.( 2015 年恩施 ) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 错误！未找到引用源。 的图象与x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点， 点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式 （2）连结 PO、PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP 错误！未找到引用源。C， 那么是否存 在点 P，使四边形POP 错误！未找到引用源。C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请 说明理由 （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最 大面积 . 解： （ 1）将 B、C 两点的坐标代入得 错误！未找到引用源。 解得： 错误！未找到引用源。 所以二次函数的表达式为： 错误！未找 到引用源。 （2）存在点P，使四边形POP 错误！未找到引用源。C 为菱形设P 点 坐标为（ x，错误！未找到引用源。） ，PP 错误！未找到引用源。 交 CO 于 E 若四边形POP错误！未找到引用源。C 是菱形，则有PCPO 连结 PP 错误！未找到引用源。则 PECO 于 E， OE=EC=错误！未找到 引用源。 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 解得 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 ，错 误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 （不合题意，舍去） P点的坐标为（ 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ） （3）过点 P 作错误！未找到引用源。轴的平行线与BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x， 错误！未 找到引用源。 ） ，易得，直线BC 的解析式为 错误！未找到引用源。 则 Q 点的坐标为（ x，x3）. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 当 错误！未找到引用源。 时，四边形ABPC 的面积最大 错误！未找 到引用源。 图 11
