高二下学期期末考试数学试卷(理科).pdf

第一部分（选择题共 36 分） 一、选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 已知复数 1 z， 2 z互为共轭复数，若1 2 1 1 i z，则 2 z A. i 2 1 1B. i 2 1 1C. i 2 1 D. i 2 1 1 2. 在对两个变量x， y 进行线性回归分析时有下列步骤： 对所求出的回归直线方程作出解释； 收集数据（ i x， i y） ， i=1 ，2， n； 求线性回归方程； 选用线性回归方程并求相关系数； 根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系。 若根据可靠性要求能够作出变量x，y 具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是 A. B. C. D. 3. 1 0 )2(dxxe x 等于 A. 1eB. eC. 1eD. 1 4. 若随机变量),(pnBX，且 2 5 )(XE， 4 5 )(XD，则)1(XP A. 32 1 B. 8 1 C. 32 5 D. 16 5 5. 下面几个推理过程是演绎推理的是 A. 在数列 n a中，根据1 1 a，*),2( 1 2 1 1 Nnn a a a n n n ，计算出 2 a， 3 a, 4 a 的值，然后猜想 n a的通项公式 B. 某校高二共8 个班，一班51 人，二班52 人，三班52 人，由此推测各班人数都超过 50 人 C. 因为无限不循环小数是无理数，而是无限不循环小数，所以是无理数 D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 6. 6 将一枚均匀的硬币连掷5 次，如果出现k 次正面的概率等于出现1k次正面的概率， 那么 k 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在极坐标系中，过点) 2 ,2(且与极轴平行的直线方程是 A. 2B. 2 C. 2cosD. 2sin 8. 如图是正态分布 ),( 2 1 N，),( 2 2 N，),( 2 3 N)0,( 321 相应的曲线， 那么 1，2，3的大小关系是 A. 321 B. 123 C. 231 D. 312 9. 现有五张卡片，其中两张上写着数字5，三张上写着数字8，从这五张卡片中选出四张 组成一个四位数，那么这样的四位数共有 A. 4 个B. 6个C. 10 个D. 14 个 10. 已知 2 1 2 1 1 11 )( nnnn nf，*Nn，则 A. f （n）共有 n 项，当 n=2 时， 3 1 2 1 )2(f B. f （n）共有1n项，当 n=2 时， 4 1 3 1 2 1 )2(f C. f （n）共有nn 2 项，当2n时， 3 1 2 1 )2(f D. f （n）共有1 2 nn项，当2n时， 4 1 3 1 2 1 )2(f 11. 已知函数f （x）的导函数)( ' xf是二次函数，且)( ' xfy的图象关于y 轴对称， 0)3( ' f，若)(xf的极大值与极小值之和为4，则 f （0）= A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 12. 如图所示，一质点P（x,y ）在xOy平面上沿曲线从A到 B作匀速运动，其在x 轴上的 投影点 Q（x，0）的运动速度)(tvV的图象大致为 第二部分（非选择题共 64 分） 二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共 18 分） 13. 学校食堂在某天中午备有5 种素菜， 3 种荤菜， 2 种汤， 现要配成一荤一素一汤的套餐， 则可以配制出不同的套餐_种。 14. 在复平面内，若复数z 同时满足下列条件： Riz2； 2z对应的点在第三象限。 试写出一个满足条件的复数z=_。 15. 曲线 ty tx 1 52 （t 为参数，Rt）与 x 轴的交点坐标是_。 16. 在 n x x) 1 (的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则n=_；展开式中的常 数项为 _。 17. 观察下列等式：1=1； 1 4=（ 1+2） ； 1 4+9=1+2+3； 1 4+916=（ 1+2+3+4） 根据上述规律，第6 个式子为 _；第 n 个式子为 _。 18. 若曲线)(xfy上存在唯一的点P，使得在点P的切线与曲线)(xfy有且只有一个 公共点，则称曲线)(xfy存在 “真切” 线，给出下列曲线： 2 xy； 3 xy； xyln； xxyln 2 则存在“真切”线的所有曲线的序号为_ 三、解答题（本题共4 小题，共46 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （本题满分9 分） 已知Rx， 2 12 xa，xb2，1 2 xxc，试证明 a,b,c至少有一个不小于1。 20. （本题满分12 分） 已知函数 axexf x )(（ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线 y=f （x）在点 A处的 切线斜率为一1 （I ）求 a 的值并求该切线方程； （）求f （x）在区间 一 1，1 上的最小值和最大值； （）证明：当x0 时， x ex 2 21. （本题满分12 分） 某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15 位顾客（记为 i a，i1， 2，3， 15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）： 顾客 图书 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a A 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 （I ）若该书店每天的人流量约为100 人次，一个月按30 天计算，试估计A 类图书的月 销量（单位：本）； （）书店进行促销活动，对购买过两类以上 （含两类） 图书的顾客赠送5元电子红包 现 有甲、 乙、丙三人， 记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X的分布列和数学期望； （）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结 果不需要证明） 22. （本题满分13 分） 已知函数xmxfln)(，Rm。 （I ）若函数y=f （ x）+x 的最小值为0，求 m的值； （）若函数y=f （x）与)0( 2 1 )(x x x xh的图象在（ 1， 0）处有公切线l （i ）求 m的值； （ii ）求证：)(xfy与)(xhy的公切线只有l一条 【试题答案】 一、选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共 36 分） 1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C 10. D 11. A 12. B 二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共 18 分） 13. 30 14. i 2（答案不唯一） 15. （3，0） 16. 6 20 17. 1 4+916+2536=（ 1+2+3+4+5+6） 1 4+916+（ 1） n+1n2=（ 1）n+1（1+2+n）, *Nn 18. 注：两个空的填空题第一个空填对得1 分，第二个空填对得2 分 三、解答题（本题共4 小题，共46 分） 19. 本题满分9 分 证明：假设a,b,c都小于 1，即1, 1, 1cba， 3 分 则有3cba 而33) 2 1 (23 2 1 22 22 xxxcba6 分 两者矛盾，所以假设不成立， 故 a,b,c至少有一个不小于1 9 分 20. 本题满分12 分 解： （I ）由axexf x )(,得aexf x )( '2 分 设 A（0,m） ，则由已知得1)0( 'f 即11a，解得2a 所以xexf x 2)(，2)( ' x exf，此时) 1 ,0(A 故在点 A处的切线方程为1xy4 分 （II ）令0)( ' xf，得2lnx 当2lnx时，0)( ' xf，f（ x）单调递减；当2lnx时，0)( ' xf，)(xf单调递增 所以当)2ln, 1x时，)(xf单调递减； 1 ,2(ln,x时， f （x）单调递增 故当2lnx时， f （ x）有最小值， f （ln2 ）=22ln2=2 ln4 ；6 分 又2)1( 1 ef，2)1(ef，显然)1() 1(ff， 故)(xf在区间 1，1 上的最大值为2 1 )1( e f8 分 （III）证明：令 2 )(xexg x ，则xexg x 2)( ' 由（ II ）得，04ln2)2(ln)()( 'fxfxg 故)(xg在 R上单调递增 又01)0(g 所以当0x时，0)0()(gxg，即 x ex 2 12 分 21. 本题满分12 分 解： （I ）100030100 15 5 （本） 答： A类图书的月销量约为1000 本2 分 （II ）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为 5 3 15 9 P X可取 0，5，10，15 4 分 125 8 ) 5 2 ()0( 3 XP； 21 3 ) 5 2 ()5(CXP 125 36 5 3 ； 22 3 ) 5 3 ()10(CXP 125 54 5 2 ； 125 27 ) 5 3 ()15( 3 XP8 分 所以 X的分布列为 X 0 5 10 15 P 125 8 125 36 125 54 125 27 所以9 125 1125 125 27 15 125 54 10 125 36 5 125 8 0)(XE10 分 （III）图书 D 12 分 22. （本题满分13 分） 解： （I ）由题意，得函数xxmyln，所以 x mx x m y1'2 分 当0m时，函数y在),0(上单调递增，此时无最小值，舍去； 当0m时，由0' y，得mx 当), 0(mx时，0' y，原函数单调递减；当),( mx时，0' y，原函数单调递 增 所以当mx时，函数 y 取最小值，即0)ln(mmm，解得 m= e 6 分 （II ） （i ）由xmxfln)(，得 x m xf)( '，所以mf)1 ( ' 由)0( 2 1 )(x x x xh，得 2 2 1 )( ' x xh，所以 2 1 ) 1( ' h 由已知有)1( ')1( 'hf，解得 2 1 m8 分 （ii ）设函数f （x）与 h（x）上各有一点)ln 2 1 ,( 11 xxA，) 2 1 ,( 2 2 2 x x xB 则 f （x）以点 A为切点的切线方程为 2 1 ln 2 1 2 1 1 1 xx x y h（x）以点 B为切点的切线方程为 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x x y 由两条切线重合，得 (*) 2 2 2 1 ln 2 1 , 2 1 2 1 2 2 1 2 21 x x x xx 消去 1 x，整理得 2 2 1 1ln x x，即0 1 1ln 2 2 x x 令 x xx 1 1ln)(，得 22 111 )( ' x x xx x 所以函数)(x在（ 0，1）单调递减，在), 1 (单调递增。 又0) 1(，所以函数)(x有唯一零点x=1， 从而方程组（ * ）有唯一解 1 , 1 2 1 x x 即此时函数f （x）与 h（x）的图象有且只有一条公切线13 分