初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑹.pdf

1 / 10 初一数学竞赛讲座 第 6 讲 图形与面积 一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题 不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。 TEQcv2mAvA 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质： 1两个可以完全重合的图形的面积相等； 2图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如： 正方形面积 =边长×边长；矩形面积 =长×宽；平行四边形面积 =底×高； 三角形面积 =底×高÷ 2；梯形面积 =上底+下底）×高÷ 2。 此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。 1等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3平行四边形的对角线平分它的面积； 4等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有： 1观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形； 2对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置叫做等积变 形）； 3作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系； 4把图形进行割补 叫做割补法）。 例 1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4 等份吗？ 解：最容易想到的是将 ABC的底边 4 等分， 如左下图构成 4 个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的 4 1 。 另外，先将三角形 ABC 的面积 2 等分如右 上图），即取 BC的中点 D，连接 AD ， 则 SABD=SADC，然后再将这两个小三角 形分别 2 等分，分得的 4 个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的 4 1 。还 有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例 2 右图中每个小方格面积都是1cm 2，那么六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘M ？ 分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形，分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空 白处的面积，就是六边形的面积。 2 / 10 解法 1：把六边形分成 6 块： ABC ，AGF ，PEF ，EKD ，CDH和正方形 GHKP 。用 S 表示三角形面积，如 用 SABC表示 ABC 的面积。TEQcv2mAvA 故六边形 ABCDEF 的面积等于 6+2+1+ 2 1 +4+9=)( 2 1 22 2 cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计 算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。TEQcv2mAvA 解法 2：先求出大正方形 MNRQ 的面积为 6×6=36cm2）。 说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面 积，再减去比原图形多的那些个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的 部分减去。 TEQcv2mAvA 解法 3：六边形面积等于 SABC+S梯形 ACDF-SDEF=6×2× 2 1 +3+6）×4× 2 1 -3×1× 2 1 =6+18-1 2 1 =)( 2 1 22 2 cm 说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图 形，会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做 题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。 TEQcv2mAvA 3 / 10 例 3 如下图所示， BD ，CF将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF的面积是 4cm 2，CED的面积是 6cm2。 问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘M ？ 解：如下图，连结 BF 。则 BDF与CFD面积相等， 减去共同的部分 DEF ，可得 BEF与CED 面积相等， 等于 6cm2。 四边形 ABEF的面积等于 SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11cm 2）。TEQcv2mAvA 问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和， 哪个大？ 分析：只需比较 ACE与BDF面积的大小。因 为ACE 与BDF的高相等 都是 CD ），所以只需比 较两个三角形的底AE与 BF的大小。 因为 ACE 与BDF高相等，所以 SACE SBDF 。 减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的 面积和。 例 5 在四边形 ABCD 中见左下图），线 段 BC长 6cm ，ABC为直角， BCD 为 135°， 而且点 A到边 CD的垂线段 AE的长为 12cm ，线 段 ED的长为 5cm ，求四边形 ABCD 的面积。 解：延长 AB ，DC相交于 F见右上图）， 则BCF=45 °， FBC=90 °，从而 BFC=45 °。 因为 BFC= BCF ，所以 BF=BC=6cm）。 在 RtAEF中， AFE=45 °，所以 FAE=90 °-45°=45°，从而 EF=AE=12cm）。 TEQcv2mAvA 故 S四边形 ABCD=SADF-S BCF=102-18=84cm 2）。 说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特 点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然 TEQcv2mAvA 4 / 10 后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。 这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学 数学竞赛中已屡见不鲜。 例 6 正六边形 ABCDEF 的面积是 6cm 2，M ，N ，P分别是所 在边的中点 如上图）。 问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘M ？ 解法 1：如左下图，将正六边形分成6 个面积为正 1cm 2 的正三角形，将另外三个面积为1cm 2 的正三角形分 别拼在边 BC ，DE ，AF外面，得到一个大的正三角形XYZ ，其面积是 9cm 2。 这时， M ，N ，P分别是边 ZX，YZ ，Xy的中点，推知 解法 2：如右上图，将正六边形分成6 个面积为 1cm2的正三角形，再取它们各边 的中点将每个正三角形分为4 个面积为 4 1 的小正三角形。于是正六边形ABCDEF 被分成 了 24 个面积为 4 1 的小正三角形。因为 MNP 由 9 个面积为 4 1 的小正三角形所组成，所 以 SMNP= 4 1 ×9=2.25cm 2）TEQcv2mAvA 二、圆与组合图形 以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的 面积计算。 1圆的周长与面积 计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运 用公式计算。主要公式有： 1）圆的周长 =×直径 =2×半径，即 C= d=2r ； 2）中心角为 n°的弧的长度 =n××半径）÷ 180，即 1= 180 rn 3）圆的面积 =×半径） 2，即 S=r2； 4）中心角为 n°的扇形面积 =n××半径） 2÷360，即 lr rn S 2 1 360 2 例 7 右图是三个半圆 单位： cm ），其阴影部分 的周长是多少？ 解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半 圆周所围成，所以其周长为 5 / 10 说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若 n 个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+ +dn=D ， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 d1+d2+d3+dn=d1+d2+d3+ +dn）=D。 例 8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为 r ，且 R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？ TEQcv2mAvA 分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问 题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解 该题的关键点和突破口。TEQcv2mAvA 解：因为 S句号=S大圆-S 小圆=R 2- r2=2r）2-r2=3r2 说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把 “非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思 考，考察转化的可能性和转化的途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形 的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。TEQcv2mAvA 2圆与组合图形 在日常生活中，除了经常遇到直线型如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲 线型如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积 问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻 折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。 TEQcv2mAvA 例 9 下图中， ABCD 是边长为 a 的正方形，分别以AB ， BC ，CD ，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影 部分的面积。 解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这 四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积 之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因 此，我们就得到以下的算式： 6 / 10 说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。 如题图，设 x 和 y 分别表示相应部分的面积，由图看出 例 10 如左下图所示，平行四边形的 长边是 6cm ，短边是 3cm ，高是 2.6cm， 求图中阴影部分的面积。 分析：本题的图形比较复杂，我们可 以先计算阴影部分的一半见右上图）。 我们的目标是把图形分解成若干基本图形 的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察 后得出结论： 右上图中的阴影部分等于 说明：求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规 则为规则。 例 11 求右图中阴影部分的面积单位：cm ）。 分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计 算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。 我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分弓 形）翻折到半圆的右上角以下图中虚线为折痕），把 两块阴影部分合在一起，组成一个梯形如右图所示）， 7 / 10 这样计算就很容易。 本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯 形。 说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接 成一个易于直接计算的图形。也就是说，可以化零为整。上述解法运用翻折或旋转） 的方法达到了化零为整的目的。 TEQcv2mAvA 例 12 已知右图中正方形的面积是12cm 2，求图中里外两个 圆的面积。 分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm 2，可以推出内圆直径的平方为 12cm 2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R ×R ÷2×2=2R 2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 TEQcv2mAvA 解：设内圆半径为r ，由正方形面积为12cm 2，正方形边长为 2r，得 2r） 2=12， r 2=3。 内圆面积为 r 2=3.14×3=9.42cm 2）。 正方形面积 =2个等腰直角三角形面积 =122)2 2 1 (2 2 RRR， 得 R 2=6，外圆面积为 R2=3.14×6=18.84cm 2）。 练习 6 1如右图所示，正方形的面积是50cm 2，三角形 ABC 两条直 角边中，长边是短边的2.5 倍，求三角形 ABC的面积。 2如右下图所示，长方形ABCD 中，AB=24cm ，BC=36cm ，E 是 BC的中点， F，G分别是 AB ，CD的 4 等分点， H为 AD上任意 一点。求阴影部分面积。 3在右图的 4×7 的方格纸板上画有如阴 影所示的“ 6”字，阴影边缘是线段或圆孤。 问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4在右下图中，六边形ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF ，CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的 面积。 5在右图中，涂阴影部分的小正六角星形 面积是 16cm 2。问：大正六角星形面积是多少平 方厘 M ？ 6一个周长是 56cm的大长方形，按右面 图 1 与图 2 所示那样，划分为4 个小长方形。在 图 1 中小长方形面积的比是AB=12，BC= 12。而在图 2 中相应的比例是 A'B'=13， B' C'=13。又知，长方形 D'的宽减去 D的宽 所得到的差，与 D'的长减去 D的长所得到的差之 比为 13。求大长方形的面积。 8 / 10 7有两张正方形纸，它们的边长都是整厘M 数，大的一张的面积比小的一张多 44cm 2。大、小正方形纸的边长分别是少？ J3koh957m7 8用面积为 1，2，3，4 的 4 张长方形纸片拼成如右图所示的 一个大长方形。问：图中阴影部分面积是多少？ 练习 6 答案： 110cm 2 解：画两条辅助线如左下图。根据条件可知，正方形面积是长 方形 ABCD 面积的 2.5 倍。从而 ABCD 的面积是 50÷2.520cm 2）。 所以 ABC 的面积是 20÷2=10cm 2） 2324cm 2。 解：连结 BH。BEH 的面积为 )(21624)236( 2 1 2 cm 把BHF 和DHG 结合起来考虑， 这两个三角形的底BF，DG 相等，且都等于 长方形宽的 4 1 ，它们的高 AH与 DH之和正好是长方形的长，所以这两个三角形的面积 之和是ADBFDHAHBFDHDGAHBF 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 = 2 1 × 4 1 × 24×36=108)( 2 cm。 图中阴影部分的面积为 216+108=324cm 2）。 非阴影共 6 个，也有 6 个，刚好拼成6 个小正方形。因此阴影部分有28-6- 3=19个）小正方形。 431。 解：如右图，将正六边形ABCDEF 等分为 54个小正三角 形。根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三 角形的办法来计算面积。 SPEF3，SCDE9，S四边形 ABQp11。 上述三块面积之和为 3+9+11=23。 因此，阴影四边形CEPQ面积为 54-23=31。 548cm 2。 解：如下页右上图，阴影部分小正六角星形可分成12 个与三角形 OPN 全等能完 全重叠在一起）的小三角形。三角形OPN 的面积是 )( 3 4 12 16 2 cm。正三角形 OPM 面积 是由3 个与三角形OPN 全等的三角形组成。所以，正三角形OPM 的面积等于 J3koh957m7 9 / 10 由于大正六角星形由12 个与正三角形OPM 全等的三角形组成，所以大正六角星 形的面积是 4×12=48cm 2）。 J3koh957m7 6160cm 2。 解：设大长方形的宽为xcm，则长为 28-x）cm。 因为 D宽=x 3 2 ，D宽=x 4 3 ，D长=)28( 5 4 x，D 长= )28( 10 9 x， 所以 D 宽-D宽= 12 x ，D长- D长=)28( 10 1 x。 由题设可知 28-8=20，从而大长方形的面积为8×20=160cm 2）。 712cm，10cm。 解：把两张正方形纸重叠在一起，且把右边多 出的一块拼到上面，成为一个长方形，如右图。 这个长方形的面积是44cm 2，它的长正好是两 个正方形的边长的和，它的宽正好是两个正方形的边长的差。因为两个整数的和与它 们的差是同奇或同偶，而44 又只能分解成下面的三种形式：J3koh957m7 441×442×224×11， 所以，两个正方形的边长的厘M数的和与差只能是22 与 2。于是，两个正方形的 边长分别是 22+2）÷212cm）， 12-210cm）。J3koh957m7 解：大长方形面积为1+2+3+4=10。如右图那样延长RA 和 SB。矩形 ABPR 面积 是上部阴影三角形面积的2 倍。矩形 ABSQ 面积是下部阴影三角形面积的2 倍。所以 矩形 RQSP的面积是阴影部分面积的2倍。J3koh957m7 10 / 10 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。