归纳推理(递推法).pdf

1 / 9 第十二讲归纳推理 人们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物 入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的 推理方法”，叫做归纳法。 在研究某个问题的过程中，经过对若干次出现的现象的观察，有的人经过分析 思考能很快地找到其中的某种规律，有的人却熟视无睹。这就反映他们的归纳能力 不同。希望小同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。b5E2RGbCAP 例 1 把 11993 这 1993 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12 1，从 1开始沿顺时针方向，保留1，擦去 2；保留 3，擦去 4； 每隔一个 数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？p1EanqFDPw 分析： 如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简 单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。DXDiTa9E3d 如果是 2 个数 1、2，最后剩下1；如果是 3 个数 1、2、3，最后剩3；如果是 4 个数 1、2、3、4，最后剩1；如果是5 个数 1、2、 3、4、5，最后剩的是3；如 果是 6 个数 1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7 个数 1、2、3、 4、5、 6、7，最后剩的是7；如果是8 个数 18，最后剩的是1。RTCrpUDGiT 我们发现当数的个数是2，4，8 时，最后剩的都是1操作的起始数）。这是 为什么呢？以8 个数为例，数一圈，擦掉2，4， 6，8，就相当于从1 开始，还有4 个数的情况， 4 个数时，从1 开始，数一圈，又擦掉2 个，还剩从1 开始的两个 数，擦掉1 以外的数，最后剩1。5PCzVD7HxA 2 / 9 这样，数的个数是16，32， 64， 2n时，最后剩的都是起始数1。 当数的个数是3 时，擦去2，就剩 2 个数，最后应剩下一步的起始数3；数的 个数是 5 时，擦去2，剩 4 个数，最后也应剩下一步的起始数3。jLBHrnAILg 根据以上规律，如果有18 个数，擦去2、4，剩下 16 个数，再擦下去，最后 还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2”时， 下一步起始数就是最后剩下的数。xHAQX74J0X 解： 因为 1024=2 10，2048=211， 21 101993211， 1993-1024=969 ， 就是说，要剩2 10 个数，需要擦去969 个数，按题意，每两个数擦去一个数， 当擦第 969 个数时，最后擦的是：LDAYtRyKfE 969×2=1938 下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。 练习 按照例 1 的操作规则 1）如果是1900 这 900 个自然数，最后剩的是哪个数？ 2）如果是11949 这 1949 个自然数，最后剩的是哪个数？ 说明：这道例题的解题思路是： 特 殊一 般特 殊 简单情况） 一般规律） 较复杂情况） 一般规律： 3 / 9 把 1n 这 n 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1 开始，顺 时针方向，隔过1，擦去 2，隔过 3，擦去 4， 每隔一个数，擦去一个数）。 最后剩下的数x 是哪个数？Zzz6ZB2Ltk 解：设 2 k n2k+1， k 是自然数。 x=n-2 k）× 2+1 例 2 在平面上，有10 条直线，问它们最多把平面分割成多少部分？ 分析： 我们还是从简单的情况入手，归纳出一般结论。 一条直线，显然把平面分割成2 部分 情况是唯一的）。2 条直线，如果重 合，还是把平面分成2 部分，如果平行，把平面分成3 部分，如果相交，把平面分 成 4 部分，相交时平面被分的部分数最多，3 条直线呢？实验的结果是两者相交， 并且交点不重合时：平面被分成的部分数最多。如图 122）共有 7 部分。 下面我们来看这其中的规律。dvzfvkwMI1 一条直线把平面分成2 部分，两条直线相交，第二条直线被第一条直线截成两 段，每一段把原有的一部分“一分为二”，因此，增加2 部分。三条直线两两相 交，并且交点不重合，第三条直线被前两条直线分成三部分一条线段和两条射 线），每部分把原来的平面中的某一部分“一分为二”，因此，增加3 部分。依次 类推，每增加一条直线，平面增加的部分数依次是4，5，6，。 n 条直线把平 面分割成的部分数最多是：rqyn14ZNXI 4 / 9 答： 10 条直线最多把平面分成56 部分。 练习 1）平面上有15 条直线，最多把平面分成多少部分？ 2）平面上两两不重合的4 条直线，最少把平面分割成多少部分？ 例 3 平面上 10 个圆，最多把平面分成多少部分？ 分析： 一个圆把平面分割成内、外两部分；两个圆不重合）可能把平面分割成3 部分或 4 部分。如图123，三个圆最多把平面分割成8 部分。如图124。 EmxvxOtOco 如果我们设n 个圆，最多把平面分成an部分。 a1=2，a2=4，a3=8。能不能肯定 a4=16，a5=32 呢？如图125，数的结果是a4=14。SixE2yXPq5 一个圆把平面分成2 部分。两个圆相交，第二个圆c2被第一个圆c1图 12 3）相交后分成两部分两个交点）。每一段圆弧把原来一部分“一分为二”，增加 2 部分。三个圆两两相交，第三个圆c3被前两个圆c1，c2最多分成四段圆弧四个 交点），每段圆弧把原来某一部分“一分为二”，增加4 部分。同样道理，第四个 圆 c4，被前三个圆c1、c2、c3分为 6 段圆弧 六个交点），每段圆弧把原来平面的 5 / 9 某一部分“一分为二”，增加6 部分。依次类推，以后每增加一个圆，增加的部分 数是： 4×2，5×2，6×2，。6ewMyirQFL an=2+1×2+2×2+3×2+4× 2+n-1）× 2 解： 2+1×2+2×2+ +9×2 答：平面上10 个圆，最多把平面分成92 部分。 练习 1）平面上15 个圆，最多把平面分成多少部分？ 2）平面上x 个圆，最多把平面分成212 个部分，求x。 例 4 在平面上有5 个三角形，最多把平面分割成多少部分？ 分析： 一个三角形把平面分成内、外两部分。两个三角形不重合）可以把平面分 成 3、4、5、6、 7、8 部分 如图 126）。kavU42VRUs 把平面分割的部分最多的情况是经二个三角形每边与第一个三角形的两条边相 交且交点均不在三角形顶点。一个三角形把平面分成内、外两部分。第二个三角形 6 / 9 每边被分成三段，中间一段把原来的一部分“一分为二”，多出一块，三边共多出 1×3 块。每边的两端的部分又构成三个“角”，又多出3 部分。y6v3ALoS89 2+1×3+3=8 三个三角形，把平面分成部分数最多的情况，是第三个三角形每边和前两个三 角形中每个三角形两条边相交且均不在顶点处相交）。如图127，两个三角形 把平面最多分成了8 部分。第三个三角形每边被前两个三角形分成5 段，中间三 段，每段把原来的某一部分“一分为二”，多出3部分， 3 边共多出3×3 部分， 再加上第三个三角形的三个角，又多出3 部分。M2ub6vSTnP 8+3×3+3=20 同理，四个三角形把平面分割的部分数最多是： 20+5×3+3=38。 依次类推， n 个三角形最多把平面分成x 部分； x=2+1 ×3+3+3 ×3+3+5 ×3+3+ +2n-3 ）× 3+3 =2+3×1+3+5+ +2n-3 ）+3n-1 ） n 大于 1） 解： 2+1×3+3）+3×3+3） +5×3+3）+7×3+3） =2+6+12+18+24 =62 7 / 9 答：平面上5 个三角形，最多把平面分成62 部分。 练习 1）平面上10 个三角形，最多把平面分割成多少部分？ 2）平面上2 个四边形，最多把平面分割成多少部分？ 例 5 用“ 1×2”纸牌 如图 128）若干张，放在一个图形上，要求“不空、不 超、不重叠”，满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。例如，用“1×2”纸牌覆 盖“ 2×2”图形 如图 129），有两种方法。0YujCfmUCw 问用“ 1×2”纸牌，覆盖“2×10”图形 如图 1210）有多少种覆盖方法？ 分析： 直接画出所有“完全覆盖”方法，是很困难的。我们还是从简单情况入手， 归纳规律。 用“ 1× 2”纸牌覆盖“2×1”图形，只有一种覆盖方法；用“1×2”纸牌覆盖 “2×2”图形，有两种覆盖方法。用“1×2”纸牌覆盖“2×3”图，有3 种方法， 如图 1211。“竖、竖、竖”，“竖、横、横”，“横、横、竖”。eUts8ZQVRd 8 / 9 通过分析发现，“2×3”的覆盖方法数正好等于“2×1”与“ 2×2”的覆盖方 法数之和。这是为什么呢？当第一张牌竖放时，剩下“2× 2”图，有两种方法；当 第一张横放时，第二张也必须横放，剩下“2×1”图形，有一种放法，这说明“2 ×3”图形可以转化为“2×2”或 2×1”图形。sQsAEJkW5T 同理，“ 2×4”图形可转化成“2×3”图形 第一张竖放）或“2×2”图形 第 一、二张横放），依此类推。GMsIasNXkA 设“ 2× n”图形用“ 1×2”纸牌覆盖有an种方法。那么有an=an-2+an-1。根据 这个规律，不难计算n=10“2× 10”图形）的覆盖数。TIrRGchYzg 解： 设用“ 1×2”纸牌，覆盖“2×n”图形有 an种方法。根据an=an-2+an-10。 a1=1，a2=2，a3=1+2-3 ，a4=2+3=5，a5=3+5=8，a6=5+8=13，a7=8+13=21， a8=13+21=34， a9=21+34=55，a10=34+55=89。7EqZcWLZNX 答：用“ 1×2”纸牌，覆盖“2×10”图形，有89 种方法。 练习 1）用“ 1×2”纸牌，覆盖“2×12”图形，有多少种方法？ 2）用“ 1×2”纸牌，覆盖“2×15”图形，有多少种方法？ 结束语这一讲主要让大家初步熟悉归纳推理。当解决一个比较复杂问题时，可先 从最简单的若干情况入手，寻找一般规律，再运用规律解决较复杂情况。lzq7IGf02E 习题十二 1. 在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、 19，从某个数起取走该数，然后 沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？ zvpgeqJ1hk 9 / 9 2. 把 11992 为 1992 个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1 开始逆时针 方向，保留1，涂掉 2；保留 3，涂掉 4，。 每隔一个数涂去一个数），求最 后剩下哪个数？NrpoJac3v1 3. 把 11987 这 1987 个数，均匀排成一个大圆圈。从1 开始数，隔过1，划 掉 2，3；隔过 4，划掉 5，6；， 每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问 最后剩下哪个数？1nowfTG4KI 4. 在平面上有20 条直线，最多把平面分割成多少部分？ 5. 平面上 8 个圆，最多把平面分成多少部分？ 6. 平面上 8 个三角形，最多把平面分成多少部分？ 7. 在平面上有5 个四边形，最多把平面分割成多少部分？ 8. 某人上楼梯，一步可以上一阶或二阶，问12 阶的楼梯，有多少种上法？ 9. 某人上楼梯，一步可以上一阶或三阶，问10 阶楼梯，有多少种上法？ 10. 某人上楼梯，一步可以上一阶、二阶或三阶，问10 阶楼梯，有多少种上 法？ 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。