考点18正弦定理与余弦定理-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf

考点 18 ：正弦定理与余弦定理 【考纲要求】 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 【命题规律】 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三 角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题今后高考的命题会以正弦定 理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用题 型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题 【典型高考试题变式】 （一）正弦定理的应用 例 1 【2017 新课标 2】 ABC 的内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c,若2 cos coscosbBaCcA, 则B 【答案】 3 【解析】由正弦定理可得 2sincossincossincossin()sinBBACCAACB因为 sin0B，所以 1 cos 2 B，所以 3 B 【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧： （1）求边：利用公式 sinsinsin , sinsinsin bAaBaC abc BAA 或其他相应变形公式求解； （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sinsinsin sin,sin,sin aBbAcA ABC baa 或其 他相应变形公式求解；学科网 （3）相同的元素归到等号的一边：即 sinsinsin , sinsinsin aA bB cC bBcCaA ，可应用这些公式解决边或角 的比例关系问题 【变式 1】 【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在ABC中，若 32 sinabA，则B为（） A 3 B 6 C 3 或 3 D 6 或 6 【答案】 C 【解析】由正弦定理， 得3sin2sinsinABA 因为sin0A， 所以 3 sin 2 B， 则B为 3 或 3 ， 故选 C 【变式 2】 【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在 ABC,内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c 1 sin cossin cos, 2 aBCcBAb且ab,则B（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】 A （二）余弦定理的应用 例 2 【2017 新课标】 ABC的内角ABC、 、 的对边分别为 abc、 、 已知5a， 2c ， 2 cos 3 A，则b A2B3C2 D3 【答案】 D 【解析】由余弦定理得 22 5422 3 bb，解得3b或 1 3 b（舍去），故选 D 【方法技巧归纳】利用余弦定理解三角形主要途径：（ 1）余弦定理的每个等式中包含四个不同的量， 它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”； （2）已知三边及一角求另两角的两种方法：利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直 接；利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边” 的法则或图形帮助判断 【变式 1】 【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改 变】设ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2a，2 3c， 3 cos 2 A，且bc，则b （） A3B2C2 2D1 【答案】 B 【解析】由题意，根据余弦定理 222 2cosabcbcA，得 2 22 3 2 322 32 2 bb，即 2 680bb，解得2b或4，又2 3bc，所以2b，故选 B 【变式 2】 【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】ABC的内角,A B C的对边分别为 , ,a b c，若2,c6,120bB，则边a等于（） A6B3C2D. 2 【答案 】C 【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知 22221 2cos ,6222,2 2 bacacBaaa，故选 C （三）三角形面积公式的应用 例 3 【2013 新课标 2】ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知2b， 6 B，C= 4 ，则 ABC的面积为（） A2 32B31C2 32D31 【答案】 B 【方法技巧归纳】（1） 由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；（2） 如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理 求出需要的边或角，再套用公式计算 【变式 1】 【将例题中的已知两角一边改变为两边一角，所求问题没改变】在ABC中，角,A B C的 对边分别是, ,a b c，已知2,22bc，则 4 C，则ABC的面积为（） A2 32B31C2 32D31 【答案】 B 【解析】由正弦定理 sin1 sin sinsin2 bcbC B BCc ，又cb，且(0, )B，所以 6 B，所 以 7 12 A， 所以ABC的面积为 117 sin222 sin 2212 SbcA 162 222 24 31， 故选 B 【变式 2】 【例题中的两个角改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在ABC中，角 CBA,的对边分别为cba,，已知2c，BAsin3sin，则ABC面积的最大值为（） A 2 3 B3C2D2 【答案】 B （四）正、余弦定理的综合的应用 例 4 【 2017 新课标 1】ABC的 内角ABC， ，的对边分别为abc， ， 已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求sin sinBC； （2）若6cos cos1BC，3a，求ABC的周长 . 【答案】（1） 2 3 （2）333. 【解析】（1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sin sin 23sin A CB A ，故 2 sin sin 3 BC. （2）由题设及（ 1）得 1 cos cossin sin, 2 BCBC ，即 1 cos 2 BC . 所以 2 3 BC，故 3 A. 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc. 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 39bcbc，得33bc. 故ABC的周长为333 【方法技 巧归纳 】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦 定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两 个定理都有可能用到 【变式 1】 【将例题中条件与（2）小题的结论在给出方式上进行换位，两个小问题的解法没改变】在 ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 cos2cos2 cos ACca Bb （1）求 sin sin C A 的值； （2）若 1 cos,2, 4 Bb求ABC的面积S. 【答案】（1） sin 2 sin C A ； （2） 15 4 . 【变式 2】 【例题由条件改为边角关系，所求问题均不变化，但均需利用正弦定理与余弦定理解决】在 ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，cosabbC. （1）求证：sintanCB； （2）若1a，C为锐角 ，求c的取值范围 . 【答案】（1）见解析 ;（ 2）1,2 2. 【解析】（1）由cosabbC根据正弦定理得sinsinsin cosABBC， 即sinsinsin cosBCBBC，学科网 sin coscos sinsinsin cosBCBCBBC， sin cossinCBB，得sintanCB （2）由余弦定理得 2 2222 2cos4428cababCbbb， 由cosabbC知 2 1cos1cos a b CC ， 由C为锐角，得0cos1C，所以12b，从而有 2 18c. 所以c的取值范围是1,22 【数学思想】 1函数与方程思想 在解三角形中求边或角时，除直接利用正弦定理与余弦定理求解外，多数情况下要结合正弦定理或余 弦定理、面积公式建立方程（组）来解决求三角形中的最值时通常要通过建立函数，通过求函数的值域 来处理 2转化与化归的思想 在解三角形中转化与化归思想主要体现为：（1）利用正弦定理、余弦定理进行角化边或边化角；（2） 与三角函数结合进行三角函数角之间的转化 3数形结合思想 解三角形问题本身就离不开图形，特别是要注意三角形在边与角的特殊性，利用图形的特殊性进行直 观处理，常常可达到快速解题的目的 4分类讨论思想 利用正确定理解决三角形的解个数时，如果含有字母参数，常常要用到分类讨论的思想 【处理解三角形问题注意点】 1已知两边及其一边的对角，应当运用正弦定理，从而得到另一角的正弦值，些时要注意对三角形的 形状做出判断 2利用正弦定理与余弦定理求角或边时，不注意挖掘条件的隐含条件，忽视边或角的大小取值范围， 进行造成多解或漏解 3利用正弦定理与余弦定理求三角形的边或边的取值范围时，常常会忽视构造三角形的条件（大边对 大角、小边对小角） ，造成多解或扩大边的取值范围 4利用正弦定理讨论三角形多解情况时常常会因为弄不清比较对象而致错 5利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状时，常常会没有将已知条件用尽，提前对三角形的形状作 出判断，或条件过多而没弄清楚其逻辑关系，可能会造成错判 【典例试题演练】 1 【辽宁省锦州市2017 届高三质量检测 （二）】ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2a，2b，45A，则B（） A30B60C30或150D60或120 【答案】 A 【解析】 由正弦定理可得： 2 2 1 2 22 bsinA sinB a 又因为ab，所以AB，所以30B， 故选 A 2 【四川省绵阳中学实验学校2017 届高三 5 月模拟】 在ABC 中，若32 sinabA，则B为（） A 3 B 6 C 3 或 3 D 6 或 6 【答案】 C 【解析】由正弦定理可得：3sin2sinsinABA， 3 sin 2 B，则B为 3 或 3 ，故选 C 3【湖南省2017 届高三考前演练卷 （三） 】在ABC中，角ABC、 、的对边, ,a b c满足 222 bcabc， 且8bc，则ABC的面积等于（） A2 3B4 C4 3D8 【答案】 A 【解析】因为 222 bcabc，所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 3 A，三角形面积 S= 1 sin2 3 2 bcA，故选 A 4 【天津市河西区2017 届高三二模】已知abc， ，分别为 ABC的三个内角ABC， ，的对边， sinsinsinabABcbCA，则 A 6 B 4 C 3 D 2 3 【答案】 C 【解析】利用正弦定理将sinsinsinabABcbC的角化为边可得 222 bcabc,由余弦 定理可得 222 2cosbcabcA,则 1 cos 2 A，所以 3 A，故选 A 5 【广西桂林 ,百色 ,梧州 ,北海 ,崇左五市2017 届高三 5 月联合】ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知1a，3b，30A，B为锐角，那么角:A B C的比值为（） 来源 学科网 A1:1: 3B1: 2:3C1: 3: 2D1: 4 :1 【答案】 B 【解析】 由正弦定理： 1 3 sin3 2 sin 12 bA B a ， B 为锐角， 则：30 ,90BC，角:A B C 的比值为1: 2:3，故选 B 6 【四川省雅安市2017 届高三下学期第三次诊断】若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知2 sin23 sinbAaB，且2cb，则 a b 等于 A 3 2 B 4 3 C2D3 【答案】 C 【解析】由2 sin23 sinbAaB，得4sin sin cos3sin sinBAAAB，得 3 cos 4 A，又2cb， 根据余弦定理得 2222222 3 2cos442 4 abcbcAbbbb，得2 a b ，故选 C 7 【河南省息县第一高级中学2017 届高三第七次适应性】已知锐角ABC的外接圆半径为 3 3 BC，且 3AB，4AC，则BC（） A37B6 C5 D13 【答案】 D 8 【河南省息县第一高级中学2017 届高三下学期第一次适应性】在ABC中，60A，1b， 3ABCS，则 sin c C （） A 8 3 81 B 2 39 3 C 26 3 3 D2 7 【答案】 B 【解析】依题意有 1 sin603,4 2 Sbcc，由余弦定理得 22 2cos6013abcbc，由 正弦定理得 132 39 sinsin3 3 2 ca CA ，故选 B 9 【 2017 届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大 内角是最小内角的2 倍，则最小内角的余弦值是（） A 2 3 B 3 4 C 5 6 D 7 10 【答案】 B 【解析】设三边：1, ,1xx x，所以： 111 sinsin22sin cos xxx AAAA ，所以： 222 1(1)(1) cos5 2(1)2 (1) xxxx Ax xx x ，三边为： 4，5，6，所以 3 cos 4 A，故选 B 10 【甘肃省肃南县第一中学2017 届高三 4 月】已知三角形ABC的三边长构成公差为2 的等差数列， 且 最大角的正弦值为 3 2 ，则这个三角形的周长为（） A15 B18 C21 D24 【答案】 A 【解析】不妨设三边分别为,2,4a aa，由题设可知边4a所对角为 0 120，则由余弦定理可得 22 2 1 4222 2 aaaa a，即 2 60aa，解之得3,2aa（舍去），故三角 形的周长为3615La，故选 A 11 【福建省泉州市2017 届高三（ 5 月）第二次质量检查】在梯形ABCD中， 0 / /,1,2,2 3,60ABCD ABACBDACD,则AD( ) A2B7C19D136 3 【答案】 B 12 【湖南师 大附中 2017 届高三月考试卷（七） 】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，若 2 1 4 acb，sinsinsinACpB，且B为锐角，则实数p的取值范围为（） A1,2B 6 ,2 2 C 6 ,3 2 D1,3 【答案】 B 【解析】 sinsinsinACpB ,acpb由余弦定理 , 222 2cosbacacB 2 22cosacacacB 2222 11 cos 22 p bbbB,即 2 31 cos 22 pB0cos1B,得 23 ,2 2 p由题意知0p， 6 ,2 2 p,选 B 来源 学科网 13 【北京市丰台区2017 届高三 5 月综合练习（二模） 】在ABC 中，角A，B，C对应的边长分别是 a，b，c，且3 sincosaBbA，则角A的大小为_ 【答案】 6 【解析】因为3 sincosaBbA，由正弦定理得3sin sinsin cosABBA，显然sin0B，所以 3 tan 3 A， 6 A 14 【河南省豫南九校2016-2017学年高三下学期第三次联考】在三角形ABC中，内角,A B C满足 222 coscossinsin sinBCAAB，则C_ 【答案】 2 3 【解析】 222222 coscossin,1 sin1sinsinBCAsinAsinBBCAsinAsinB, 222 sinsinCsin BAsinAsinB, 22212 ,cos, 23 abcabCC 15 【河北省衡水中学2017 届高三下学期第二次摸底】在ABC中，, ,a b c分别为角,A B C的对边， 2 3 B，若 22 4acac，则 sin sin sin AC AC _ 【答案】 10 3 3 【解析】由余弦定理可得： 222 21 cos5 22 acb Bbac ac ，再有正弦定理角化边可得： 2 sin 510 3 sin5sin sinsinsin5sin sin sin sinsin3 AC BACACBAC ACB 16 【吉林省实验中学2017 届高三下学期第八次模拟】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C 所对的边，若 cos2 cos Cac Bb ，则B_ 【答案】 3 【解析】因为 cos2 cos Cac Bb ，由正弦定理得 cos2sinsin cossin CAC BB ，即 cos sin2sin cossin cosCBABCB，2sin coscos sinsin cossinsinABCBCBBCA，所 以 1 cos 2 B， 3 B 17 【辽宁省葫芦岛市2017 届高三第二次模拟考试（5 月） 】在ABC中，若 222 sinsinsin2sin sinABCAB，则 2 sin2tanAB的最大值是 _ 【答案】 32 2 【解析】 222 2abcab，由余弦定理得 222 23 cosC, 224 abc C ab ， 4 AB， 22 2 AB， 22 2 2 22 2cos1 1cos sin 2 ? tancos2 ? coscos BB B sin ABB BB 2 2 1 32cos cos B B 2 2 1 32 2cos? cos B B 32 2，即 2 sin2tanAB的最大值是32 2 18 【辽宁省鞍山市第一中学2017 届高三下学期最后一次模拟】已知ABC的三个内角A，B，C的 对边依次为a，b，c， 外接圆半径为1， 且满足 tan2 tan Acb Bb ， 则ABC面积的最大值为_ 【答案】 3 3 4 来源 学科网 19 【甘肃省兰州市2017 届高三冲刺】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足 222 sin+sin=sin-sin sinABCAB （1）求角C； （2）若2 6c, ABC的中线2CD，求ABC面积S的值 【答案】（ ） 2 3 ； （）3 【解析】（I）由正弦定理得： 222 abcab，由余弦定理可得 222 1 cos 22 abc C ab 0C ， 2 3 C 来源 学科网 ZXXK （II）由 1 2 2 CDCACB可得： 22 216CACBCA CB，即 22 16abab， 又由余弦定理得 22 24abab，4ab， 13 sin3 24 SabCab 20 【宁夏石嘴山市2017 届高三下学期第三次模拟】, , ,ABCA B Ca b c在中，角所对的边分别为且 2 31 2sin23cos 2 C abcA （1）求角 A 的大小； （2）若2 3,4bc， D 是 BC 的中点，求AD 的长 . 【答案】（1）A 6 （2）13AD 21 【重庆市第八中学2017 届高三适应性月考卷（八）】已知锐角ABC的三个内角,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 222 sin3cosabcCabC （1）求角C； （2）若3c，求2ba的取值范围 【答案】（1） = 3 C ； （2）23 0ba， 【解析】（1）由余弦定理，可得 222 2cosabcabC， 所以2cos sin3cosabCCabC，所以 3 sin 2 C， 又 0 2 C，所以 = 3 C （2）由正弦定理， 3 2 sinsinsin3 2 abc ABC ， 所以 2 22sin4sin2sin4sin3cos3sin 3 baBAAAAA， 22 3cos 3 baA 因为ABC是锐角三角形，所以 0 2 2 0 32 A A ， ， 得 62 A ， 所以 5 + 236 A， 3 cos0 32 A ，即23 0ba， 22 【湖南省长沙市雅礼中学2017 届高考模拟试卷 （二）】 如图，在边长为2 的正三角形ABC中，D为 BC的中点，,E F分别在边,CA AB上 （1）若2DE，求CE的长； （2）若 0 60EDF，问：当CDE取何值时，DEF的面积最小？并求出面积的最小值 【答案】（1） 51 2 CE（ 2） 0 60CDE时，DEF的面积的最小值为 3 4 【解析】（1）在CDE中， 0 60 ,1,2DCECDDE， 由余弦定理得， 2220 2cos60DECDCECDCE， 得 2 10CECE，解得 51 2 CE； （2）设 00 ,3090CDE， 在CDE中，由正弦定理，得 sinsin DEDC DCECED ， 所以 0 00 sin603 sin 602sin 60 DE，同理 3 2sin DF， 故 00 13 33 3 sin 216sin sin 6048sin 230 DEF SDEDFEDF， 因为 00000 3090 ,30230150，所以当 0 60时， 0 sin 230的最大值为1，此时 DEF 的面积取到最小值即 0 60CDE 时， DEF 的面积的最小值为 3 4 来源 学_ 科 _ 网