2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题15三角函数与向量综合大题(江苏版).pdf
热点十五函数与向量综合大题 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 例 1 【2012 江苏高考 】在ABC 中，已知3ABACBA BC （ 1）求证： tan3tanBA ； （ 2）若 5 cos 5 C，求 A 的值 例 2 【2013 江苏高考 】已知)sin,(cos)sin,(cosba，0. （1）若 2|ba ，求证：ba； （2）设) 1 ,0(c，若cba， 求，的值 . 例 3 【2014 江苏高考 】 （满分 14 分）已知 5 sin 25 ，. （1）求sin() 4 的值； （2）求 5 cos(2 ) 6 的值 . 【热点深度剖析】 1. 从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决 一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题向量中的数量积为考查的重点内容， 仅作为沟通代数、 几何与三角函数的一种工具，向量思想少有触及.平面向量在12-14 年高考填空题和解答 题中均有所考查，题目多为中档题，涉及到函数与方程、数形结合和等价转化的思想，着重考查学生运算 求解能力 . 平面向量常在解答题第一题与三角函数知识结合考查. 2. 利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边. 具体情况 应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余 弦定理化简式子的最终目的. 对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的 简便 . 根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨 论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦. 3. 处理三角问题强调“变”为主线，变角、变名、变次、变结构特别要强化变角的训练. 注意三角函数与 向量等内容的结合，重视三角函数的应用问题. 4.平面向量的概念多，向量运算与数的运算有区别，复习时应予以甄别.向量具有“形”和“数”的特征， 恰当的转化是解题的关键，而建立坐标系用坐标表示向量是转化的重要手段，尤其是在出现垂直关系时， 这种转化会特别奏效，在复习时要善于把握，认真领悟，注意加强对数形结合思想的运用. 5.预计 15 年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力 以及应用数学知识分析和解决问题的能力 【最新考纲解读】 内容 来源: 学 科网 Z X X K 要求 来源 : 学。科。 网 来源 :学 §科§网 备注 来源: Zxxk.Co m 来源 : Zxxk.Com A B C 基 本 初 等 函 数 （三角 函数）、 三 角 恒 等变换 三角函数的概念 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表 中分别用 A、B、C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的 简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性 的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的 或较为困难的问题. 同角三角函数的基本关 系式 三角函数的的诱导公式 正弦函数、余弦函数、 正切函数的图象与性质 函数 )sin(xAy的 图象与性质 两角和（差）的正弦、 余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及 正切 解 三 角 形 正弦定理、余弦定理及 其应用 平 面 向 量 平面向量的概念 平面向量的加法、减法 及数乘运算 平面向量的坐标表示 平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用 【重点知识整合】 1.正余弦定理，三角形面积公式 2.根据已知条件，正确合理选用正余弦定理.一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理 3.关注三角形中隐含条件，如 .sinsin,cos)cos(,sin)sin(,BABACBACBACBA 4. 诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，配角公式三角函数图像与性质. 5. 向量加法、减法的运算， 及其几何意义： 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点， 则OP1 2( OAOB) 6 平面向量的基本定理及坐标表示. A， P， B 三点共线 ?AP AB( 0)?OP(1t) ·OAtOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， tR)?OPxOA yOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， xR， yR，x y1) 7.平面向量的数量积 8. 向量的应用 【应试技巧点拨】 1. 给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；对于给值求值的问题的结构 特点是“齐次式” ，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切 函数的形式 . 2. 求三角函数式最值的方法(1) 将三角函数式化为yAsin( x ) B的形式，进而结合三角函数的性质 求解 (2) 将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解. 3. 三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一 般要把三角函数化为f(x)=Asin( x+)+B 的形式，有时还要注意x+的取值范围 4. 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使 用 5. 设 a(x1，y1)， b(x2，y2)， ab? a b(b0)； a b? x1y2x2y10，ab? x1x2y1y20 【考场经验分享】 1. 目标要求：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；要重视与其它知识 的综合，如平面向量. 2.注意问题 ：不可随意展开已知角，整体思想和等价转化是研究三角函数性质必备思想方法.首先将研究 的对象化为形如sin()yAxB ，或cos()yAxB或tan()yAxB ，再将x看做一 个角，这样就等价转化为基本三角函数，以下套用基本三角函数相关性质即可. 对于左右平移时，要记住 相对 x 轴而言，一定要在x的基础上进行加减. 3.经验分享：（ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 【名题精选练兵篇】 1.【常州 2015 一模】 （本小题满分14 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 23 3 b c ，3ACp （1）求cosC的值；（2）求sin B的值； （3）若3 3b，求 ABC 的面积 2.【镇江 2015 一模】 （本小题满分14 分） 已知ABC的面积为S，且SACAB2. （1）求 Asin ； （2）若32,3ACABAB,求Bsin. 3.【镇江 2015 一模】 （本小题满分15 分） 某飞机失联， 经卫星侦查， 其最后出现在小岛O附近 .现派出四艘搜救船DCBA,， 为方便联络， 船BA, 始终在以小岛O为圆心， 100 海里为半径的圆上，船DCBA,构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形 编队外（如图）.设小岛O到AB的距离为 x，DAOB, 船到小岛O的距离为d. （1）请分别求d关于 , x 的函数关系式 )(),(fdxgd ；并分别写出定义域； （2）当BA,两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d最大） . 4.【南京盐城2015 一模】在平面直角坐标系xOy中，设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单 位圆交于点 11 (,)P xy，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转 2 后与单位圆交于点 22 (,)Q xy. 记 12 ( )fyy. （1）求函数()f的值域 ； （2）设ABC的角,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 ()2f C ，且2a，1c，求b. 5.【扬州 2015 一模】已知函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA部分图象如图所示。 （1）求函数( )fx的解析式； （2）当 1 5 , 2 2 x 时，求函数(1)( )yfxf x的值域。 x y P Q O 第 15 题图 6. 【泰州 2015 一模】 （本题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点(3,4)P （）求sin() 4 的值； （）若P关于x轴的对称点为Q，求OP OQ的值 7.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015 一模】（本小题满分14 分） 己知向量(1,2sin),(sin(),1) 3 ab，R (1)若ab，求tan的值： (2)若/ /ab，且(0,) 2 ，求的值 8.【苏州 2015 一模】已知向量(sin,2),(cos ,1)ab，且,a b共线，其中(0,) 2 . （1）求tan() 4 的值； （2）若5cos()3 5 cos,0 2 ，求的值 . 9 【江苏省灌云高级中学2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】已知向量 (sin,1),(1,cos ), 22 ab (1) 若ab，求； (2) 求ab的最大值 10 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC的周长为21，且 sinsin2sinABC （1）求边AB的长； （2）若ABC的面积为 1 sin 6 C，求角C. 11. 【江苏省灌云高级中学2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB，CD的底部都 在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和 15m，从建筑物AB的顶部 A 看建筑物CD 的张角 0 45CAD (1)求 BC的长度； (2)在线段 BC 上取一点 P(点 P与点 B，C不重合 )，从点 P看这两座建筑物的张角分别为APB， DPC，问点 P 在何处时，tan()最小？ 12. 【南京市、盐城市2014 届高三第一次模拟考试】在ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别是a， b ， c，已知2c， 3 C . （1）若ABC 的面积等于3，求a， b ； 来源学 科网 （2）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC 的面积 . 13. 【江苏省通州高级中学2013-2014 学年度秋学期期中考试】在ABC中，内角A，B，C所对边长分别 为a，b，c， ACAB8，BAC，a4， (1) 求b·c的最大值及 的取值范围； (2) 求函数f( ) 23sin 2( 4 ) 2cos 2 3的最值 14. 【江苏省扬州中学2013 2014 学年第 一学期月考】设向量 ),cos,(sinxxa),sin3,(sinxxb xR，函数 )2()(baaxf . （1）求函数)(xf的单调递增区间； （2）求使不等式( )2fx成立的x的取值集合 15. 【苏北四市2014 届高三第一次质量检测】已知向量(cos, sin)a，(2 ,1)b (1)若ab，求 sincos sincos 的值； (2)若2ab，(0 ,) 2 ，求 sin() 4 的值 BC A D P (第 18 题图 ) 16. 【苏州市2014 届高三调研测试】在 ABC 中，设角 A，B， C 的对边分别为a， b， c， 且 1 c o s 2 aCc b （1）求角 A 的大小； （2）若15a，4b，求边 c 的大小 17. 【江苏省诚贤中学2014 届高三数学月考试题】在ABC，已知 .sinsin3)sinsin)(sinsinsin(sinCBACBCBA (1) 求角 A值； (2) 求CBcossin3的最大值 . 18. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014 届高三 12 月月考】已知 (cos ,sin),(cos ,sin)ab （1）若 6 7 ，求 a b 的值； （2）若 4 , 58 a b，且0, 2 ，求tan()的值 19. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014 届高三 12 月月考】在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，且 .3tan)( 222 bcAacb （ 1）求角A； （ 2）若 2a ，求 ABC面积 S的最大值 . 20.【江苏省诚贤中学2014 届高三数学月考试题】如图，两座建筑物CDAB,的底部都在同一个水平面上， 且均与水平面垂直，它们的高度分别是 9 cm 和 15cm，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角 45CAD. 求BC的长度； 在线段BC上取一点(P 点P与点CB,不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为 ,DPCAPB问点P在何处时，最小？ 【名师原创测试篇】 1. 已知 函数cxxxfcossin3（Rx, 0， c 是实数常数）的图像上的一个最高点1 , 6 ，与该 最高点最近的一个最低点是3, 3 2 ， (1)求函数 xf 的解析式及其单调增区间； (2)在 ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为cba,， 且acBCAB 2 1 ， 角 A 的取值范围是区间M， 当Mx 时，试求函数xf的取值范围 . 2. 已知函数 3cos32cossin2)( 2 xxxxf ，Rx （ 1） 求函数)(xf的最小正周期和单调递增区间； （ 2） 在锐角三角形ABC中，若1)(Af，2ACAB，求ABC的面积 3.已知)sin,cos(A)sin,cos(B，其中、为锐角，且 5 10 AB （1）求)cos(的值； （2）若 2 1 2 tan，求cos及cos的值 4. 如图，设 3 1 (,) 22 A是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转 一周 .2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P. 设( , )P x y，其纵坐标满足 ( )sin() () 22 yf tt. （1）求点B的坐标，并求( )f t； （2）若06t，求AP AB的取值范围 . 5. 已知以角B为钝角的的三角形ABC内角CBA、的对边分别为a、b、c， )sin,3(),2 ,(Anbam ，且m与n垂直 （ 1）求角 B的大小； （ 2）求CAcoscos的取值范围 6. 已知函数 xxxxfcossin322cos)( 来源: 学 §科§ 网Z §X§X§ K （1）求函数)(xf的最大值，并指出取到最大值时对应的x的值； （2）若 6 0，且 3 4 )(f，计算2cos的值 . 7. 在ABC 中, 已知3ABACBA BC. (1) 求证 : tan3tanB A; （2）若 5 cos 5 C，求角 A 的大小 . 8. 在 ABC 中， BC=a，AC=b，a、b 是方程 2 2 320xx的两个根，且120AB，求 ABC 的面 积及 AB 的长 . y A O x
