《导数及其应用》单元测试题.pdf

1 / 6 导数及其应用单元测试卷 一、选择题 1函数 2 2)(xxf的导数是 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长 方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？b5E2RGbCAP 193)3(; 3)2(; 1aaa 三、解答题 18. 解：设长方体的宽为x，高为 2 3 0(m)35.4 4 1218 xx x h. 故长方体的体积为 ). 2 3 0()(m69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV 从而).1(18)35 .4(1818)( 2 xxxxxxV 令Vx） 0，解得x=0舍去）或x=1，因此x=1. 当 0x 1 时，Vx） 0；当 1x 3 2 时，Vx） 0， 故在x=1 处Vx）取得极大值，并且这个极大值就是Vx）的最大值。 从而最大体积VVx） 9×1 2-6 × 13m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。 19解： 1） 2 ( )663fxxaxb， 因为函数( )f x在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f 即 6630 241230 ab ab ， 解得3a，4b 2）由 ）可知， 32 ( )29128f xxxxc， 4 / 6 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx 当(0 1)x，时，( )0fx； 当(12)x，时，( )0fx； 当(2 3)x，时，( )0fx 所以，当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc 则当0 3x，时，( )f x的最大值为(3)98fc 因为对于任意的0 3x，有 2 ( )f xc恒成立， 所以 2 98cc， 解得1c或9c， 因此c的取值范围为(1)(9)， 20解 1） 2 ( )66 ,(2)12,(2)7,fxxx ff2 分 曲线( )yfx在2x处的切线方程为712(2)yx，即12170xy； 4 分 2）记 322 ( )233,( )666 (1)g xxxmg xxxx x 令( )0,0g xx或 1. 6 分 则,( ),( )x g xg x的变化情况如下表 x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) ( )g x 00 ( )g x 极大极小 当0,( )xg x有极大值3;1, ( )mxg x有极小值2m. 10 分 由( )g x的简图知，当且仅当 (0)0 , (1)0 g g 即 30 ,32 20 m m m 时， 函数( )g x有三个不同零点，过点A可作三条不同切线. 所以若过点A可作曲线( )yf x的三条不同切线， m的范围是( 3, 2). 14 分 21 1） ,2,x 或 ,2x)(xf 递减。 ,2, 2x)(xf 递增。 2 ）1、当,0a ,2,x )(xf递增。 2、当,0a ,2, 2 a x )(xf递增。 3、当, 10a ,2,x或 , 2 a x )(xf递 增。当 , 1a,x )(xf递增。当,1a , 2 , a x 或 , 2x )(xf递增。 3）因, 0a由分两类 依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0上是分类“契机”：p1EanqFDPw 5 / 6 1、当 ,2, 1 2 a a ,2, 2 0, 1 a x )(xf递增，3) 1()( min fxf，解得 ,2 4 3 a 2、当 ,2, 1 2 a a 由单调性知：3) 2 ()( min a fxf，化简得：0133 2 aa，解得 , 2 6 213 a 不合要求；综上， 4 3 a 为所求。 22 1）解法 1： 2 2ln a h xxx x ，其定义域为0， 2 2 1 2 a hx xx 1x是函数h x的极值点，10h，即 2 30a 0a，3a 经检验当3a时，1x是函数h x的极值点， 3a 解法 2： 2 2ln a h xxx x ，其定义域为0， 2 2 1 2 a hx xx 令0hx，即 2 2 1 20 a xx ，整理，得 22 20xxa 2 180a， 0hx的两个实根 2 1 118 4 a x舍去）， 2 2 118 4 a x， 当x变化时，h x，hx的变化情况如下表： x 2 0,x 2 x 2, x hx 0 h x 极小值 依题意， 2 11 8 1 4 a ，即 2 3a， 0a，3a 2） 解 ： 对任 意 的 12 ,1x xe，都 有 1 fx 2 g x成 立 等 价 于对 任 意 的 12 ,1x xe，都 有 m in fx max g x 当x1，e时， 1 10gx x 函数lng xxx在1e，上是增函数 6 / 6 max 1g xg ee 2 22 1 xaxaa fx xx ，且1,xe，0a 当01a且x1，e时， 2 0 xaxa fx x ， 函数 2 a fxx x 在 1，e上是增函数， 2 min 11fxfa. 由 2 1a1e，得ae， 又01a，a不合题意 当 1ae时， 若1xa，则 2 0 xaxa fx x ， 若axe，则 2 0 xaxa fx x 函数 2 a fxx x 在1,a上是减函数，在ae，上是增函数 min 2fxfaa. 由2a1e，得a 1 2 e ， 又1ae， 1 2 e ae 当ae且x1，e时， 2 0 xaxa fx x ， 函数 2 a fxx x 在1e，上是减函数 2 min a fxfee e . 由 2 a e e 1e，得ae， 又ae，ae 综上所述，a的取值范围为 1 , 2 e 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。