专题01极值点的关系证明-2019年高考数学总复习之典型例题突破(压轴题系列)(解析版).pdf

1 专题 01 极值点的关系证明 极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系， 再 通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。 【题型示例】 1、已知函数,其中为正实数 (1) 若函数在处的切线斜率为，求的值； (2) 求函数的单调区间； (3) 若函数有两个极值点，求证： 【答案】 (1) (2) 单调减区间为,单调减区间为 (3) 见解析 【解析】 (1)因为，所以， 则,所以的值为 (2)，函数的定义域为， 若,即,则,此时的单调减区间为; 若,即,则的两根为, 此时的单调减区间为,单调减区间为 (3) 由(2)知 ，当时，函数有两个极值点,且 因为 要证,只需证 构造函数，则， 2 在上单调递增 ,又,且在定义域上不间断, 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且 则在上递减 , 上递增 ,所以的最小值为 因为, 当时, ,则,所以恒成立 所以,所以，得证 2、已知 (1) 若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围. (2) 若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围 . 【答案】 (1);(2). 【 解 析 】 (1) 当时 ,在上 为 单 调 递 增 函 数 ,即 ,只需满足即可 ,即. (2), 令,时,无极值点 , 时 ,令得:或,由的定义域可知,且, 且,解得 :,为的两个极值点, 即,且,得: 3 , 令, 时, ,在递减 ,时,不合题意 ,综上 ,. 3、已知函数 （ 1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，若过两点，的直线 与 轴的交点在曲线上，求的值 【答案】 （1）当时，的极大值为；当时，的极小值为； （2）见解析；（3）或或 【解析】（1）当时，则 则的关系如下： 增减增 所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为 4 （2）， 当时，且仅当时，所以在 R 是增函数 当时，有两个根 当时，得或，所以的单独增区间为： ； 当时，得，所以的单独减区间为： （3）由题设知，是的两个根，且 所 以同理，所以，直线的解析式为 设直线与轴的交点为则，解得 代入得因为在轴上，所以解得，或或 4、已知。 (1) 若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围. (2) 若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围 . 【答案】 (1);(2 ).【解析】 (1) 当时 ,在上 为 单 调 递 增 函 数 , 即 ,只需满足即可 ,即. (2), 令,时,无极值点 , 时 ,令得:或,由的定义域可知,且, 5 且,解得 :,为的两个极值点, 即,且,得: , 令, 时,在递减 , 时,不合题意 ,综上 ,. 【专题练习】 1、设函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有两个极值点，且，求证：. 【答案】 （ 1 ）；（ 2 ） 函 数在，单 调 递 增 ， 在 单调递减 （3）当函数有两个极值点时， 6 故此时，且，即， 所 以， 设，其中，则， 由 于时 ， 故在是 增 函 数 ， 故， 所 以 . 当，即时，的两个根为， 当，即时，当时，来源 :学科网 故当时，函数在单调递减，在单调递增； 当时 ， 函 数在，单 调 递 增 ， 在 单调递减 （3）当函数有两个极值点时， 故此时，且，即， 所以， 设，其中，则， 由 于时 ， 故在是 增 函数 ， 故， 所以 . 2、 已知函数. 7 (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2) 若函数有两个极值点，求的取值范围 . 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）当时，所以. 因此曲线在点处的切线方程为. （2）由题意得，故的两个不等的实数为. 由韦达定理得，解得.故， 设.则， 所以在上单调递减，所以. 因此的取值范围为.