高中数学公式汇总修改.pdf

1 / 36 高中数学公式结论大全 3. 4. 集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 7. 方程在内有且只有一个实根 , 等价于 设那么 (2设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减 函数. 18. 常见函数的图像： 21多项式函数的奇偶性 2 / 36 多项式函数是奇函数的偶次项 ( 即奇数项 的系数全为零 . 多项式函数是偶函数的奇次项 ( 即偶数项 的系数全为零 . 22. 函数的图象的对称性 (1函数的图象关于直线对称. 26. 几个函数方程的周期 ( 约定 a0 1，则的周期 T=a； 2，或, 则的周期 T=2a； 33. 设函数, 记. 若的定义域为, 则且。若 的值域为, 则，且。 36. 数列的通项公式与前n 项的和的关系： 37. 等差数列的通项公式：； 其前 n 项和公式为：. 38. 等比数列的通项公式：； 其前 n 项的和公式为或. 42. 同角三角函数的基本关系式：，=，. 3 / 36 43. 正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 ， 44. 和角与差角公式 。 . (平方正弦公式 。 . =( 辅助角所在象限由点的象限决定 , . 45. 二倍角公式及降幂公式 . . . 46. 三角函数的周期公式 4 / 36 函数，xR 及函数，xR(A, ,为常数，且 A0的周期；函 数，(A, ,为常数，且 A0的周期.b5E2RGbCAP 三角函数的图像： 五点法作图列表： 0 /2 3/2 2 47. 正弦定理：R为外接圆的半径 . 48. 余弦定理 。. 53. 面积定理 1分别表示 a、b、c 边上的高 . 2. 3. 5 / 36 49. 三角形内角和定理 在ABC中，有 . 50. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地, 有 . . . 52. 实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数，那么 (1 结合律： (=( 。 (2第一分配律： ( + =+。 (3第二分配律： (+=+. 53. 向量的数量积的运算律： 6 / 36 (1·= ·交换律。 (2·= ·=·=·。 (3+·=· +·. 54. 平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得=1+2p1EanqFDPw 不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 三点 A、B、C共线的充要条件：(M为任意点 55向量平行的坐标表示 设=,=，且，则 (. 56. 与的数量积 ( 或内积 ：·=|。 57.·的几何意义： 数量积·等于的长度 | 与在的方向上的投影 |的乘积 向量在向量上的投影：| 58. 平面向量的坐标运算 (1设=,=，则+=. (2设=,=，则-=. 7 / 36 (3设 A，B, 则. (4设=，则=. (5设=,=，则·=. 59. 两向量的夹角 公式 (=,=. 60. 平面两点间的距离公式 =(A，B. 61. 向量的平行与垂直：设=,=，且，则 |=. (·=0. 62. 线段的定比分公式：设，是线段的分点 ,是实数，且 ，则. 63. 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、, 则ABC的重心的坐标是 . 64. 点的平移公式 8 / 36 . 注: 图形 F上的任意一点 P(x，y在平移后图形上的对应点为，且的坐标为. 65.“按向量平移”的几个结论 1 点按向量=平移后得到点. (2 函数的图象按向量=平移后得到图象, 则的函数解读式为. (3 图象按向量=平移后得到图象, 若的解读式, 则的函数解读式为 . (4曲线:按向量=平移后得到图象, 则的方程为. (5 向量=按向量=平移后得到的向量仍然为=. 66. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 1为的外心. 2为的重心. 3为的垂心. 4为的内心. 5为的的旁心. 67. 常用不等式： 1( 当且仅当 ab 时取“=”号 9 / 36 2( 当且仅当 ab 时取“=”号 3 4 5. 6( 当且仅当 ab 时取“=”号 。 68. 最值定理 : 已知都是正数，则有 1 若积是定值，则当时和有最小值； 2 若和是定值，则当时积有最大值. 3 已知，若则有 。 4 已知，若则有 69. 一元二次不等式，如果与同号，则其解集 在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之 间.DXDiTa9E3d 10 / 36 ； . 70. 含有绝对值的不等式：当 a 0 时，有 . 或. 71. 无理不等式 1 . 2. 3. 72. 指数不等式与对数不等式 (1当时, 。. (2当时, 。 11 / 36 73. 斜率公式 、. 74. 直线的五种方程 1 点斜式(直线 过点，且斜率为 2 斜截式(b 为直线在 y 轴上的截距 . 3 两点式(、 (. 两点式的推广：无任何限制条件！ (4截距式(分别为直线的横、纵截距， 5 一般式(其中 A、B不同时为 0. 直线的法向量：，方向向量： 75. 两条直线的平行和垂直 (1若， 。. (2若, 且 A1、A2、B1、B2都不为零 , ； ,， 12 / 36 此时直线 76四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交： (1定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线, 其中是待 定的系数。经过定点的直线系方程为, 其中是待定的系 数RTCrpUDGiT (2共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为 (除，其中 是待定的系数 (3平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 平行的直线系方程是(， 是参变量 5PCzVD7HxA (4垂直直线系方程：与直线(A0，B0垂直的直线系方程是, 是参 变量 (5直线系与线段相交。 77. 点到直线的距离：(点, 直线 ：. 78. 或所表示的平面区域 设直线，则或所表示的平面区域是： 若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线 的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 , 异号在下 . 若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线 的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左。 jLBHrnAILg 79. 或所表示的平面区域 13 / 36 或所表示的平面区域是两直线和所 成的对顶角区域上下或左右两部分。 80. 圆的四种方程 1 圆的标准方程. 2 圆的一般方程(0. 3 圆的参数方程. 4 圆的直径式方程( 圆的直径的端点是、. 81. 圆系方程 (1过点,的圆系方程是 , 其中是直线的方程 , 是待定的 系数 (2过直线 :与圆:的交点的圆系方程是 , 是待定的系数 (3 过圆:与圆:的交点的圆系方程是 , 是待定的系数 特别地，当时，就是 表示： 当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程； 14 / 36 向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程 82. 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种 若，则点在圆外。点在圆上。点在圆内 . 83. 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 (: 。. 84. 两圆位置关系的判定方法 : 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为 r1，r2， 。 。 。 。 . 85. 圆的切线方程及切线长公式 (1已知圆 若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 15 / 36 当圆外时 , 表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方 程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。 过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不 要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线 (2已知圆 过圆上的点的切线方程为。 斜率为的圆的切线方程为. (3 过圆外一点的切线长为 86. 椭圆的离心率， 过焦点且垂直于长轴的弦长为：. 87. 椭圆 ，；。 88椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部. 2 点在椭圆的外部. 16 / 36 89. 椭圆的切线方程 (1椭圆上一点处的切线方程是. 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 椭圆与直线相切的条件是. 90. 双曲线的离心率，过焦点且垂直于实轴的弦长为：. ，。 91. 双曲线的内外部 (1点在双曲线的内部. (2点在双曲线的外部. 92. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 若双曲线方程为渐近线方程：. (2 若渐近线方程为双曲线可设为. (3若双曲线与有公共渐近线，可设为 ，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上. 17 / 36 (4 焦点到渐近线的距离总是。 93. 双曲线的切线方程 (1双曲线上一点处的切线方程是. 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 双曲线与直线相切的条件是. 94. 抛物线的焦半径公式 抛物线，. ( 其中 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角 过焦点弦长. (其中 为倾斜角 95. 抛物线上的动点可设为 P或 P，其中. 95. 二次函数的图象是抛物线： 1 顶点坐标为；2 焦点的坐标为； 18 / 36 3 准线方程是. 97. 以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线 相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。 xHAQX74J0X 98. 抛物线的切线方程 (1抛物线上一点处的切线方程是. 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 抛物线与直线相切的条件是. 99. 两个常见的曲线系方程 (1过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数 . (2共焦点的有心圆锥曲线系方程, 其中. 当时, 表示椭圆。当时, 表示双曲线 . 100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 弦端点 A，由方程消去 y 得到，,为直线的倾斜 角，为直线的斜率，. 101.圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是. 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 19 / 36 . 特别地，曲线关于原点成中心对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 102.动点 M到定点 F的距离与到定直线的距离之比为常数，若，M的轨迹为椭圆；若， M的轨迹为抛物线；若，M的轨迹为双曲线。LDAYtRyKfE 103证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点； 2 转化为二直线同与第三条直线平行； 3 转化为线面平行； 4 转化为线面垂直； 5 转化为面面平行 . 104证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点； 2 转化为线线平行； 3 转化为面面平行 . 105证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点； 2 转化为线面平行； 20 / 36 3 转化为线面垂直 . 106证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直； 2 转化为线面垂直； 3 转化为线与另一线的射影垂直； 4 转化为线与形成射影的斜线垂直. 107证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直； 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直； 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行； 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面。 108证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角； 2 转化为线面垂直； (3 转化为两平面的法向量平行。 109.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1加法交换律：= (2加法结合律： (=( (3数乘分配律： (= 110.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为 始点的对角线所表示的向量.Zzz6ZB2Ltk 111.共线向量定理 对空间任意两个向量、 ( ，存在实数 使= 21 / 36 三点共线. 、共线且不共线且不共线 . 112.共面向量定理 向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对, 使 推论空间一点 P位于平面 MAB 内的存在有序实数对, 使， 或对空间任一定点O ，有序实数对，使. 113.对空间任一点和不共线的三点A、B、C ，满足，则当 时，对于空间任一点，总有 P、A、B、C四点共面；当时，若平面 ABC ，则 P、A、B、C四点 共面；若平面 ABC ，则 P、A、B、C四点不共面dvzfvkwMI1 四点共面与、共面 平面 ABC. 114.空间向量基本定理 如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 xyz 推论设 O 、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 . 115.射影公式 已知向量=和轴 ，是 上与 同方向的单位向量 . 作 A点在 上的射影，作 B点在 上的射影 ，则 22 / 36 116.向量的直角坐标运算 设，则 (1 ； (2 ； (3 ( R ； (4 ·； 117.设 A，B，则 = . 118空间的线线平行或垂直 设，则 ； . 119.夹角公式 设，则. 推论，此即三维柯西不等式 . 23 / 36 120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。 特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有。 121异面直线所成角 = 其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量 122.直线与平面所成角 (为平面的法向量 . 123.二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角 或，为平面，的法向量 . 124折叠角定理 设 AC是 内的任一条直线， AD是 的一条斜线 AB在 内的射影，且 BD AD ，垂足为 D，设 AB与 (AD所成的角为， AD 与 AC所成的角为， AB 与 AC所成的角为则 .rqyn14ZNXI 125. 空间两点间的距离公式 若 A，B，则= . 24 / 36 126.点到直线 距离 ( 点在直线 上，为直线的方向向量，=. 127.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离 . 128.点到平面的距离 为平面的法向量，是的一条斜线段 . 129.异面直线上两点距离公式 . . . ( 两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段的长度为 h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F， ,. 130. 三个向量和的平方公式 131作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 25 / 36 132棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面 积的比等于对应边的比的平方；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高 的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方 比EmxvxOtOco 133.球的半径是 R，则其体积, 其表面积 134.球的组合体 (1球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2球与正方体的组合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方 体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.SixE2yXPq5 (3 球与正四面体的组合体 : 棱长为的正四面体的内切球的半径为( 正四面体高的 ,外接球的半径为( 正四面体高的.6ewMyirQFL 135柱体、锥体的体积 是柱体的底面积、是柱体的高 . 是锥体的底面积、是锥体的高 . 136.分类计数原理加法原理：. 137.分步计数原理乘法原理：. 138.排列数公式：=.(，N * ，且规定. 139.排列恒等式 : (1。2。 26 / 36 3。 4。5. (6 . 140.组合数公式 ：=(N * ，且. 141.组合数的两个性质 :(1=。(2 +=. 规定. 142.组合恒等式 1。2。 3。 4=。 5. (6. (7. (8. (9. (10. 143.排列数与组合数的关系 : . 144单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列 1“在位”与“不在位” 27 / 36 某特元必在某位有种；某特元不在某位有补集思想着眼位置 着眼元素种 . 2 紧贴与插空即相邻与不相邻 定位紧贴：个元在固定位的排列有种. 浮动紧贴：个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有种. 注：此类问题常用捆绑法； 插空：两组元素分别有k、h 个，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有 排列数有种. 3 两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法 . 4 两组相同元素的排列：两组元素有m个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为. 145分配问题 1(平均分组有归属问题 将相异的个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有 . 2(平均分组无归属问题 将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有 . 28 / 36 3(非平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到 ，件，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有 .kavU42VRUs 4(非完全平均分组有归属问题将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别 得到，件，且，这个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数 有.y6v3ALoS89 5(非平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的，件无记号的 堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.M2ub6vSTnP 6(非完全平均分组无归属问题将相异的个物体分为任意的，件无记号 的堆，且，这个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有 .0YujCfmUCw 7(限定分组有归属问题 将相异的个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须 被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时，则无论，等个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有 eUts8ZQVRd . 146“错位问题” 2 封信与 2 个信封全部错位排列数： 1； 3 封信与 3 个信封全部错位排列数： 2； 4 封信与 4 个信封全部错位排列数： 9； 5 封信与 5 个信封全部错位排列数： 44； 29 / 36 一般记着上面的就够了 推广 贝努利装错笺问题 : 信封信与个信封全部错位的组合数为 . 推广: 个元素与个位置 , 其中至少有个元素错位的不同组合总数为 . 147不定方程的解的个数 (1方程的正整数解有个. (2 方程的非负整数解有个. (3 方程满足条件(,的非负整数解有个. 148.二项式定理。 二项展开式的通项公式. 的展开式的系数关系： ；。 149.等可能性事件的概率：. 150.互斥事件 A，B分别发生的概率的和： P(AB=P(A P(B 30 / 36 151.个互斥事件分别发生的概率的和： P(A1A2 An=P(A1P(A2 P(An 152.独立事件 A，B同时发生的概率： P(A·B= P(A·P(B. 153.n 个独立事件同时发生的概率： P(A1· A2·· An=P(A1· P(A2·· P(An 154.n 次独立重复实验中某事件恰好发生k 次的概率： 155.离散型随机变量的分布列的两个性质 1。2. 156.数学期望： 157.数学期望的性质 1. 2 若, 则. (3 若服从几何分布 , 且，则. 158.方差： 159.标准差：=. 160.方差的性质 (1； (2 若，则. (3 若服从几何分布 , 且，则. 31 / 36 161.方差与期望的关系：. 162.正态分布密度函数：， 式中的实数 ，0是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 163.标准正态分布密度函数：. 164.对于，取值小于 x 的概率：. . 165.回归直线方程 ，其中. 166.相关系数：. |r| 1，且 |r| 越接近于 1，相关程度越大； |r| 越接近于 0，相关程度越小 . 167.特殊数列的极限 1. 32 / 36 2. 3无穷等比数列 (的和. 168. 函数的极限定理：. 169.函数的夹逼性定理如果函数 f(x ，g(x，h(x在点 x0的附近满足： 1。2常数, 则. 本定理对于单侧极限和的情况仍然成立 . 170.几个常用极限 1，；2，. 171.两个重要的极限 1；2(e=2.718281845. 172.函数极限的四则运算法则 若，则 (1；(2。(3. 173.数列极限的四则运算法则 若，则 33 / 36 (1；(2；(3 (4( c 是常数 . 174.在处的导数或变化率或微商 . 175.瞬时速度：. 176.瞬时加速度：. 177.在的导数：. 178. 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 . 179.几种常见函数的导数 (1 C为常数 .(2 .(3 . (4 . (5 ；. (6 。. 180.导数的运算法则 34 / 36 1.2.3. 181.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点 U处有导数，则 复合函数在点处有导数，且，或写作. 182.常用的近似计算公式当充分小时 (1。；(2； (3；(4；(5为弧度； (6为弧度； (7为弧度 183.判别是极大小值的方法 当函数在点处连续时， 1 如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； 2 如果在附近的左侧，右侧，则是极小值 . 184.复数的相等：. 185.复数的模或绝对值=. 186.复数的四则运算法则 (1。 (2。 35 / 36 (3。 (4. 187.复数的乘法的运算律 对于任何，有 交换律:. 结合律:. 分配律: . 188.复平面上的两点间的距离公式 ，. 189. 向量的垂直 非零复数，对应的向量分别是，则 的实部为零为纯虚数 ( 为非零实数 . 190.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程， 若, 则。 36 / 36 若, 则。 若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根 . 191.三角形的内角平分线性质：在中，的平分线交边 BC于 D ，则 。 三角形的外角平分线也有同样的性质 192. 数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1证明：当 n 取第一个值 n0结论正确； (2假设当 n=k(kN *，且 kn 0时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确 . 由(1，(2可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确 193.有理不等式解集的端点，恰好就是其对应的“零点”就是对应方程的解和使分母为零的值. 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。