专转本数学历年真题.pdf

1 2001 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分） 1、下列各极限正确的是（） A、e x x x ) 1 1 (lim 0 B、e x x x 1 ) 1 1(limC、1 1 sinlim x x x D、1 1 sinlim 0 x x x 2、不定积分dx x 2 1 1 （） A、 2 1 1 x B、c x 2 1 1 C、xarcsinD、cxarcsin 3、若)()(xfxf，且在, 0内0)( ' xf、0)( ' ' xf，则在)0 ,(内必有（） A、0)( ' xf,0)( ' ' xfB、0)( ' xf,0)( ' ' xf C、0)( ' xf,0)( ' ' xfD、0)( ' xf,0)( ' ' xf 4、dxx 2 0 1（） A、0 B、2 C、 1 D、1 5、方程xyx4 22 在空间直角坐标系中表示（） A、圆柱面B、点C、圆D、旋转抛物面 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分） 6、设 2 2tty tex t ，则 0t dx dy 7、0136 '' ' yyy的通解为 8、交换积分次序dyyxfdx x x 22 0 ),( 9、函数 y xz的全微分dz 2 10 、设)(xf为连续函数，则dxxxxfxf 3 1 1 )()( 三、计算题（本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分） 11、已知 5 cos)21ln(arctan x xy，求dy. 12 、计算 xx dtex x t x sin lim 2 0 0 2 . 13 、求 ) 1( sin)1( )( 2 xx xx xf的间断点，并说明其类型. 14 、已知 x y xy ln 2 ，求 1, 1 yx dx dy . 15 、计算dx e e x x 1 2 . 16 、已知 0 2 2 1 1 dx x k ，求k的值 . 17 、求xxyysectan ' 满足0 0x y的特解 . 18 、计算 D dxdyy 2 sin，D是1x、2y、1xy围成的区域 . 19 、 已 知)(xfy过 坐 标 原 点 ， 并 且 在 原 点 处 的 切 线 平 行 于 直 线032yx， 若 baxxf 2' 3)(，且)(xf在1x处取得极值， 试确定a、b的值， 并求出)(xfy的表达式 . 20 、设),( 2 y x xfz，其中f具有二阶连续偏导数，求 x z 、 yx z 2 . 3 四、综合题（本大题共4 小题，第 21 小题 10 分，第 22 小题 8 分，第 23、24 小题各 6 分，共 30 分） 21 、过)0 ,1 (P作抛物线2xy的切线，求 （ 1）切线方程； （ 2）由2xy，切线及x轴围成的平面图形面积； （ 3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周的体积。 22 、设 0 0 )( )( xa x x xf xg，其中)(xf具有二阶连续导数，且0)0(f. （ 1）求a，使得)(xg在0x处连续； （ 2）求)( ' xg. 23 、设)(xf在c,0上具有严格单调递减的导数)( ' xf且0)0(f；试证明： 对于满足不等式cbaba0的a、b有)()()(bafbfaf. 24 、一租赁公司有40 套设备，若定金每月每套200 元时可全租出，当租金每月每套增加10 元 时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20 元的维护费。问每月一套的定金 多少时公司可获得最大利润？ 4 2002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分） 1、下列极限中，正确的是（） A、ex x x cot 0 )tan1 (limB、1 1 sinlim 0 x x x C、ex x x sec 0 )cos1 (limD、en n n 1 )1(lim 2、已知)(xf是可导的函数，则 h hfhf h )()( lim 0 （） A、)(xfB、)0(fC、)0(2 fD、)(2xf 3、设)(xf有连续的导函数，且0a、1，则下列命题正确的是（） A、Caxf a dxaxf)( 1 )(B、Caxfdxaxf)()( C、)()(axafdxaxfD、Cxfdxaxf)()( 4、若 x eyarctan，则dy（） A、dx e x2 1 1 B、dx e e x x 2 1 C、dx e x2 1 1 D、dx e e x x 2 1 5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是（） A、xy 2 B、 12 0 zyx zyx C、 2 2x = 7 4y = 3 z D、043zx 6、微分方程02yyy的通解是（） A、xcxcysincos 21 B、 xx ececy 2 21 C、 x exccy 21 D、 xx ececy 21 7、已知)(xf在,内是可导函数，则) )()(xfxf一定是（） A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定奇偶性 8、设dx x x I 1 0 4 1 ，则I的范围是（） 5 A、 2 2 0IB、1IC、0ID、1 2 2 I 9、若广义积分dx x p 1 1 收敛，则p应满足（） A、10pB、1pC、1pD、0p 10 、若 x x e e xf 1 1 1 21 )(，则0x是xf的（） A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分） 11、设函数)(xyy是由方程)sin(xyee yx 确定，则 0x y 12 、函数 x e x xf)(的单调增加区间为 13 、 1 1 2 2 1 ta dx x xnx 14 、设)(xy满足微分方程1yye x ，且1)0(y，则y 15 、交换积分次序dxyxfdy e ey 1 0 , 三、计算题（本大题共8 小题，每小题4 分，共 32 分） 16 、求极限 x x dtttt xx 0 2 0 sin tan lim 17 、已知 tttay tttax cossin sincos ，求 4 t dx dy 18 、已知 22 lnyxxz，求 x z ， xy z 2 19 、设 0, 1 1 0, 1 1 )( x e x x xf x ，求dxxf 2 0 1 6 20 、计算 2 2 00 1 2 2 1 0 2222 2 xx dyyxdxdyyxdx 21 、求 x eyxy sin cos满足1)0(y的解 . 22 、求积分dx x xx 4 2 1 arcsin 23 、设 0, 0,1 1 xk xx xf x ，且xf在0x点连续，求： （1）k的值（ 2）xf 四、综合题（本大题共3 小题，第 24 小题 7 分，第 25 小题 8 分，第 26 小题 8 分，共 23 分） 24 、从原点作抛物线42)( 2 xxxf的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为 S，求： （ 1）S的面积； （2）图形 S绕X轴旋转一周所得的立体体积 . 25 、证明：当 22 x时， 2 1 1cosxx成立 . 26 、已知某厂生产x件产品的成本为 2 40 1 20025000)(xxxC（元） ，产品产量x与价格P 之间的关系为：xxP 20 1 440)(（元） 求： (1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ (2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润. 7 2003 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分） 1、已知2)( 0 ' xf，则 h hxfhxf h )()( lim 00 0 （） A、2 B、4 C、 0 D、2 2、若已知)()( ' xfxF，且)(xf连续，则下列表达式正确的是（） A、cxfdxxF)()(B、cxfdxxF dx d )()( C、cxFdxxf)()(D、)()(xfdxxF dx d 3、下列极限中，正确的是（） A、2 2sin lim x x x B、1 arctan lim x x x C、 2 4 lim 2 2 x x x D、1lim 0 x x x 4、已知)1ln( 2 xxy，则下列正确的是（） A、dx xx dy 2 1 1 B、dxxy 2 1' C、dx x dy 2 1 1 D、 2 1 1 ' xx y 5、在空间直角坐标系下，与平面1zyx垂直的直线方程为（） A、 02 1 zyx zyx B、 31 4 2 2zyx C、5222zyxD、321zyx 6、下列说法正确的是（） A、级数 1 1 nn 收敛B、级数 1 2 1 n nn 收敛 C、级数 1 ) 1( n n n 绝对收敛D、级数 1 ! n n收敛 8 7、微分方程0' 'yy满足0 0x y，1' 0x y的解是 A、 xcxcysincos 21 B、xysin C、xycosD、xcycos 8、若函数 0)31ln( 1 02 0 sin )( xx bx x x x ax xf为连续函数，则a、b满足 A、2a、b为任何实数B、 2 1 ba C、2a、 2 3 bD、1ba 二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共 12 分） 9、设函数)(xyy由方程 xy eyx)ln(所确定，则 0 ' x y 10 、曲线93)( 23 xxxxfy的凹区间为 11、 dxxxx)sin( 1 1 32 12 、交换积分次序 yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),( 三、计算题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 13 、求极限 x x x cos1 1 2 0 )1(lim 14 、求函数 y x ztan的全微分 15 、求不定积分dxxxln 16 、计算d 2 2 2 cos1 sin 17 、求微分方程 x exyxy 2 '的通解 . 9 18 、已知 tty tx arctan )1ln( 2 ，求 dx dy 、 2 2 dx yd . 19 、求函数 1 ) 1sin( )( x x xf的间断点并判断其类型. 20 、 计算二重积分 D dxdyyx)1( 22 ， 其中D是第一象限内由圆xyx2 22 及直线0y 所围成的区域. 四、综合题（本大题共3 小题，第 21 小题 9 分，第 22 小题 7 分，第 23 小题 8 分，共 24 分） 21 、设有抛物线 2 4xxy，求： （i） 、抛物线上哪一点处的切线平行于X轴？写出该切线方程； （ii） 、求由抛物线与其水平切线及Y轴所围平面图形的面积； （iii） 、求该平面图形绕X轴旋转一周所成的旋转体的体积. 22 、证明方程2 x xe在区间1 , 0内有且仅有一个实根. 23 、要设计一个容积为V立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖 又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？ 五、附加题 （2000 级考生必做，2001 级考生不做） 24 、 将函数 x xf 4 1 )(展开为x的幂级数， 并指出收敛区间。 （不考虑区间端点） （本小题 4 分） 25、求微分方程133'2' 'xyyy的通解。（本小题6 分） 10 2004 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分 18 分.） 1、 2,0 0, 3 )( 3 3 xx xx xf，是：（） A、有界函数B、奇函数C、偶函数D、周期函数 2、当0x时，xxsin 2 是关于x的（） A、高阶无穷小B、同阶但不是等价无穷小C、低阶无穷小D、等价无穷小 3、直线L与x轴平行且与曲线 x exy相切，则切点的坐标是（） A、1 , 1B、1 , 1C、1, 0D、1 , 0 4、 222 8Ryx设所围的面积为S，则dxxR R22 0 22 8的值为（） A、SB、 4 S C、 2 S D、S2 5、设 y x yxuarctan),(、 22 ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（） A、 y v x u B、 x v x u C、 x v y u D、 y v y u 6、微分方程 x xeyyy 2 2'3' '的特解y的形式应为（） A、 x Axe 2 B、 x eBAx 2 )(C、 x eAx 22 D、 x eBAxx 2 )( 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分 18 分） 7、设 x x x xf 3 2 )(，则)(limxf x 8、过点 )2,0 , 1(M 且垂直于平面 2324zyx 的直线方程为 9、设)()2)(1()(nxxxxxf，Nn，则 ) 0( ' f 11 10 、求不定积分dx x x 2 3 1 arcsin 11、交换二次积分的次序dyyxfdx x x 21 0 2 ),( 12 、幂级数 12 )1( n n n x 的收敛区间为 三、解答题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分） 13 、求函数 x x xf sin )(的间断点，并判断其类型. 14 、求极限 )31ln() 1( )sin(tan lim 2 0 0 2 xe dttt x x x . 15 、设函数)(xyy由方程1 y xey所确定，求 0 2 2 x dx yd 的值 . 16 、设)(xf的一个原函数为 x e x ，计算dxxxf)2( ' . 17 、计算广义积分dx xx 2 1 1 . 18 、设),(xyyxfz，且具有二阶连续的偏导数，求 x z 、 yx z 2 . 19 、计算二重积分dxdy y y D sin ，其中D由曲线xy及xy 2 所围成 . 12 20 、把函数 2 1 )( x xf展开为2x的幂级数，并写出它的收敛区间. 四、综合题（本大题共3 小题，每小题8 分，满分 24 分） 21、证明： 00 )(sin 2 )(sindxxfdxxxf，并利用此式求dx x x x 0 2 cos1 sin . 22 、设函数)(xf可导，且满足方程)(1)( 2 0 xfxdtttf x ，求)(xf. 23 、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40 公里，乙城在河岸 的垂足与甲城相距50 公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙 二城铺设排污管道的费用分别为每公里500 、700 元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污 管道的费用最省？ 13 2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 1、0x是 x xxf 1 sin)(的（） A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点 2、若2x是函数) 2 1 ln(axxy的可导极值点，则常数a（） A、1B、 2 1 C、 2 1 D、1 3、若CxFdxxf)()(，则dxxxf)(cossin（） A、CxF)(sinB、CxF)(sinC、CF (cos)D、CxF)(cos 4、设区域D是xoy平面上以点)1 , 1 (A、)1 , 1(B、)1, 1(C为顶点的三角形区域，区域 1 D是D 在第一象限的部分，则： dxdyyxxy D )sincos(（） A、 1 )sin(cos2 D dxdyyxB、 1 2 D xydxdy C、 1 )sincos(4 D dxdyyxxyD、0 5、设 y x yxuarctan),(， 22 ln),(yxyxv，则下列等式成立的是（） A、 y v x u B、 x v x u C、 x v y u D、 y v y u 6、正项级数 (1) 1n n u、(2) 1 3 n n u，则下列说法正确的是（） A、若（ 1）发散、则（ 2）必发散B、若（ 2）收敛、则（ 1）必收敛 C、若（ 1）发散、则（ 2）可能发散也可能收敛D、 （1） 、 （2）敛散性相同 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 14 7、 xx xee xx x sin 2 lim 0 ； 8、函数xxfln)(在区间e, 1上满足拉格郎日中值定理的； 9、 1 1 2 1 1 x x ； 10 、设向量 2,4, 3 、 k, 1 , 2 ；、互相垂直，则k； 11、交换二次积分的次序dyyxfdx x x 2 1 1 0 1 ),(； 12 、幂级数 1 )12( n n xn的收敛区间为； 三、解答题（本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分） 13、设函数 a x xxf xF sin2)( )( 0 0 x x 在R内连续，并满足：0)0(f、6)0( ' f，求a. 14 、设函数)(xyy由方程 ttty tx cossin cos 所确定，求 dx dy 、 2 2 dx yd . 15 、计算xdxxsectan 3 . 16 、计算 1 0 arctanxdx 17 、已知函数),(sin 2 yxfz，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求 x z 、 yx z 2 18 、求过点)2, 1,3(A且通过直线 12 3 5 4 : zyx L 的平面方程 . 19 、把函数 2 2 2 )( xx x xf展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间. 15 20 、求微分方程0 'x eyxy满足eyx 1 的特解 . 四、证明题（本题8 分） 21 、证明方程：013 3 xx在1 , 1上有且仅有一根. 五、综合题（本大题共4 小题，每小题10 分，满分30 分） 22 、设函数)(xfy的图形上有一拐点)4 ,2(P，在拐点处的切线斜率为3，又知该函数的二 阶导数axy6 ' ' ，求)(xf. 23 、已知曲边三角形由xy2 2 、0x、1y所围成，求： （1） 、曲边三角形的面积； （2） 、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积. 24 、设)(xf为连续函数，且1)2(f，dxxfdyuF u y u )()( 1 ，)1(u （1） 、交换)(uF的积分次序； （2） 、求)2( ' F. 16 2006 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 1、若 2 1 ) 2 ( lim 0 x x f x ，则 ) 3 ( lim 0 x f x x （） A、 2 1 B、2C、3D、 3 1 2、函数 00 0 1 sin )( 2 x x x x xf在0x处（） A、连续但不可导B、连续且可导C、不连续也不可导D、 可导但不连续 3、下列函数在1 , 1上满足罗尔定理条件的是（） A、 x eyB、xy1C、 2 1xyD、 x y 1 1 4、已知Cedxxf x2 )(，则dxxf)( ' （） A、Ce x2 2B、Ce x2 2 1 C、Ce x2 2D、Ce x2 2 1 5、设 1n n u为正项级数，如下说法正确的是（） A、如果0lim 0 n n u，则 1n n u必收敛B、如果l u u n n n 1 lim)0(l，则 1n n u必收敛 C、如果 1n n u收敛，则 1 2 n n u必定收敛D、如果 1 )1( n n n u收敛，则 1n n u必定收敛 6、设对一切x有),(),(yxfyxf， 0, 1|),( 22 yyxyxD， 1 D 0, 0, 1|),( 22 yxyxyx，则 D dxdyyxf),(（） A、0 B、 1 ),( D dxdyyxfC、2 1 ),( D dxdyyxfD、4 1 ),( D dxdyyxf 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 17 7、已知0x时，)cos1(xa与xxsin是等级无穷小，则a 8、若Axf xx )(lim 0 ，且)(xf在 0 xx处有定义，则当A时，)(xf在 0 xx处连 续. 9、设)(xf在1 , 0上有连续的导数且2)1 (f， 1 0 3)(dxxf，则 1 0 ' )(dxxxf 10 、设1a，ba，则)(baa 11、设xeu xy sin， x u 12 、 D dxdy . 其中D为以点)0,0(O、)0, 1(A、)2,0(B为顶点的三角形区域. 三、解答题（本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分） 13 、计算 1 1 lim 3 1 x x x . 14 、若函数)(xyy是由参数方程 tty tx arctan )1ln( 2 所确定，求 dx dy 、 2 2 dx yd . 15 、计算dx x xln1 . 16 、计算dxxx 2 0 2 cos. 17 、求微分方程 2'2 yxyyx的通解 . 18 、将函数)1ln()(xxxf展开为x的幂函数（要求指出收敛区间）. 19 、求过点)2, 1 ,3(M且与二平面07zyx、0634zyx都平行的直线方程. 20 、设 ),( 2 xyxxfz其中),(vuf的二阶偏导数存在，求 y z 、 xy z 2 . 18 四、证明题（本题满分8 分） . 21 、证明：当2x时，23 3 xx. 五、综合题（本大题共3 小题，每小题10 分，满分30 分） 22 、已知曲线)(xfy过原点且在点),(yx处的切线斜率等于yx2，求此曲线方程. 23 、已知一平面图形由抛物线 2 xy、8 2 xy围成 . （1）求此平面图形的面积； （2）求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积. 24 、设 0 0)( 1 )( ta tdxdyxf ttg t D ，其中 t D是由tx、ty以及坐标轴围成的正方形区域， 函数)(xf连续 . （1）求a的值使得)(tg连续； （2）求)( ' tg. 19 2007 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高 等 数 学 一、单项选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 1、若2 )2( lim 0 x xf x ，则 ) 2 1 (lim x xf x （） A、 4 1 B、 2 1 C、2D、4 2、已知当0x时， )1ln( 22 xx是x n sin的高阶无穷小，而x n sin又是xcos1的高阶无穷 小，则正整数n（） A、1 B、2 C、3 D、 4 3、设函数)3)(2)(1()(xxxxxf，则方程0)( ' xf的实根个数为（） A、1 B、2 C、3 D、 4 4、设函数)(xf的一个原函数为x2sin，则dxxf)2( ' （） A、Cx4cosB、Cx4cos 2 1 C、Cx4cos2D、Cx4sin 5、设 dttxf x2 1 2 sin)(，则)( ' xf（） A、 4 sin xB、 2 sin2xxC、 2 cos2xxD、 4 sin2xx 6、下列级数收敛的是（） A、 1 2 2 n n n B、 11nn n C、 1 )1(1 n n n D、 1 )1( n n n 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分） 7、设函数 02 0)1( )( 1 x xkx xf x ，在点0x处连续，则常数k 8、若直线mxy5是曲线23 2 xxy的一条切线，则常数m 9、定积分 dxxxx)cos1(4 3 2 2 2 的值为 20 10 、已知a，b均为单位向量，且 2 1 ba，则以向量ba为邻边的平行四边形的面积为 11、设 y x z，则全微分dz 12 、设 xx eCeCy 3 2 2 1 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 三、解答题（本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分） 13 、求极限 xx xe x x tan 1 lim 0 . 14 、设函数)(xyy由方程xyee yx 确定，求 0xdx dy 、 0 2 2 xdx yd . 15 、求不定积分dxex x2 . 16 、计算定积分dx x x 1 2 2 2 2 1 . 17 、设),32(xyyxfz其中f具有二阶连续偏导数，求 yx z 2 . 18 、求微分方程 2' 2007xyxy满足初始条件2008 1x y的特解 . 19 、求过点)3 , 2, 1(且垂直于直线 012 02 zyx zyx 的平面方程 . 20 、计算二重积分dxdyyx D 22 ，其中 0,2|),( 22 yxyxyxD.