Sketchpad 的图表功能在函数教学中的应用 毕业论文.doc

Sketchpad 的图表功能在函数教学中的应用 摘要： 本文主要讲述运用几何画板的图表功能对二次函数和三角函数图象变换的进行动态演示，从而展现几何画板辅助函数教学的特有优势，深入理解“数学的实质内涵”，充分体现“数形结合”这一重要的数学观点。 关键词：几何画板 二次函数 三角函数 图象变换The application of sketchpad's chart features In the teaching of functionJin Qin RuiCollege of Mathematics and Physics of LiShui University,Undergraduate classes in mathematics 062Instructor: Lu Xiao ZhongAbstract: This paper mainly describes the dynamic presentations of Geometer's Sketchpad chart features for the image transformation of the quadratic function and the trigonometric transformation to show the unique advantages of Geometric Sketchpad auxiliary function teaching, in-depth understanding of "the substantive connotation of Mathematics," the spirit of "few combining form "of this important mathematical ideas, Fully embodies " The few forms combine " this important mathematical viewpoints.Key words: Geometer's Sketchpad Quadratic function Trigonometric function image Transformation一、引言 函数教学是中学数学教学的重难点，函数以其抽象、复杂多变的特点让学生难以理解掌握，而“数形结合”是解决函数教学困难的有效方法，它能形象直观地展现函数的概念和性质，便于学生接纳理解，但是，传统的教学模式缺乏相应的教学条件，使“数形结合”变得单调、枯燥，不具吸引力，那么，怎样才能提起学生的兴趣去学习函数，达到更好的教学效果呢？下面将运用一款名为几何画板的软件，以其动态演示功能，展示“数形结合”的优势，改变函数教学困难的局面。二、函数图象的变换1、二次函数图象的平移函数是数学教学中最基本、最重要的概念，它贯穿于整个中学数学教学的始终，它的重要性不言而喻。函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使集合A中的任意一个数，在集合B中都有对于唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为集合A到集合B的一个函数，记作。但是，这一概念已经被大部分人所遗忘，判别一个函数只是知其然而不知其所以然，虽然这个概念在解题考试中基本没用，但它却是探究函数的前提。在函数教学中，老师常常提及数形结合的方法，这种方法能让学生更好的理解、掌握函数的性质，但在传统的数学教学中，由于时间、技术等条件的限制，课堂上只有老师画的那么几幅草图，而且不精确美观，难以体现数形结合的魅力。但随着多媒体教学的普及，数学教学也变得丰富多彩，不在像以往那么死板。由国外引进的几何画板这一软件，以其学习容易、操作简单、功能强大，得到广泛应用。它在数学函数教学中起着强大的辅助作用，使函数教学由抽象到形象、由静态到动态的转化，调动学生学习数学的积极性，强化学生的抽象概括能力，便于学生自己去探索发现。在函数学习中，函数的平移变换常常让人容易产生混淆，解错题目，只能死记硬背平移的规律，生搬硬套的代入解题，这样容易出现偏差导致算错题。老师在教授函数平移的过程中，只能画出函数图象的始终，而不能表现出平移变换的这个动态过程，使得学生只能靠自己的理解想象来加以分析判断，消化吸收知识，而这恰恰卡住了一些同学的思维，使得他们的进度跟不上老师的教程。但是通过几何画板能产生很好的动态教学效果，优化课堂效率，下面利用几何画板中的“图表”功能对二次函数和三角函数图象的变换进行动态演示和讨论：1.1 函数的变换二次函数中，大家最熟悉、最简单的函数解析式莫过于，只要点击“图表”中的“绘制新函数”，输入“”，就能得到函数，并绘制出此函数的图像，即图1-1。而的进一步扩展就是二次函数的一般表达式：，传统的教学中，老师只能画出个别图形来代替函数的图象，不够全面，容易使学生产生理解偏差，而且不能反映整个二次函数系的状况，使用几何画板建立、三个参数，输入“”得到解析式，并出现它的图象，即图1-2。点击、的加、减按钮，改变他们的数值，就能观看到二次函数变化的趋势，形象而又直观，使学生容易理解、记忆。 图1-1 图1-2 通过几何画板精确而又便捷的画出图形，美观而简洁，节省不必要的浪费，把更多时间留给学生去思考、理解、探究。对于图1-1，相信大家都能手动画出，它简单的让大家觉得没有挑战性，但它却是学习二次函数的基础，了解并掌握它的性质才能更好的学习二次函数。由于平移时，图象上的各点都向相同的方向移动同样的距离，所以二次函数的平移可以考虑特殊点（特别是顶点）的平移变化。通过顶点的变化（具体看顶点横、纵坐标的变化）来判断一个函数的变化，而顶点关乎于二次函数的对称轴、最值问题、区间等一系列问题，因此，针对二次函数的一般式要先转化为二次函数的顶点式再考虑平移。这样处理，体现了化归思想，即一般化特殊，特殊化思想方法的一般模式是：在许多数学问题中，由于抽象、概括程度较高，直接发现或改正这些性质往往感到困难，这时可以先试探它的特殊、局部情况的特性，从中发现规律和解答的方法。所以，在使用几何画板设计图形平移时，二次函数的解析式采用顶点式，便于大家更好的观察、探索。1.2 函数的变换 通过图1-3,就能实现函数的动态平移效果，先拖动点A，改变值的大小，观察图象的变化，得到图象开口向上下张开或聚拢，顶点和对称轴位置都不改变，所以函数的平移与系数无关，不要因a值 图1-3 增减、改变正负号而影响判别。拖动点B使图象在轴上左右平移，观察值的变化：当图象向左平移时，增大；当图象向右平移时，减小，在轴负半轴上平移时，为正；在正半轴上平移时，为负，得出结论：“左加右减”。例：二次函数向左平移2个单位，再向右平移5个单位，求平移后的函数解析式。分析：函数平移的计算常常通过顶点的平移实现，因此，通常要把函数的解析式化为的形式，即，由上述结论，向左平移2个单位，即+2，再向右平移5个单位，即-5，所以平移后函数解析式为。如图1-4 图1-4 拖动点C，使图象在轴上上下平移，观察值的变化：当图象向上平移时，增大；当图象向下平移时，减小，在轴正半轴上平移时，为正；在负半轴上平移时，为负，得出结论：“上加下减”。例：二次函数向上平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式。分析：由上述结论，向上平移3个单位，即+3，再向下平移2个单位，即-2，所以平移后函数解析式为。如图1-5 综合上述两点，如果图象既有水平3方向又有竖直方向的平移时，两者之间存在什么变化关系，又如何进行平移变换？下面针对例1进行分析和讨论。 图1-51.3 二次函数变换的应用例1. 将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）（A） （B）（C） （D）分析：通过图象的平移变化，我们可知左右和上下平移互不相关，向左和向下两个平移独立进行，顺序不分先后，可按大家习惯进行排序。向左平移2个单位为+2，向下平移3个单位为-3, 所以答案为B。如图1-6 图1-6 以上讲的是根据平移路径去求解析式，那么当换成已知平移后的解析式，去探索二次函数的平移路径时，我们又该如何转换思路去思考，下面针对例2进行讨论。例2. 问二次函数如何平移得到函数.分析：此题已知两个函数的解析式，求平移路径，先把原函数的解析式转化为顶点式得到：，要想平移得到，只需把演算过程的思维和计算结果的思维转变过来去分析题意，通过的变化，则变形为，根据平移的规律：即向左平移2个单位，再向上平移5个单位。用几何画板画出图形，即图1-7，通过图形能够准确地判断如何平移，并检验结果，图象法是解决函数平移的有效手段，兼解题与检验于一身，它不需要你有很强的逻辑思维能力，只要你会画图就行，通过画图，你就能清楚地认识到函数平移的内涵，而不是那一堆堆令你感到头痛的字符变化，函数解析式只是数学变换的表现形式，是为了方便计算与表达。 图1-71.4 题型的转变 以上的平移变换及解题大家也许会觉得很简单，翻来覆去也就是那么几种变化，只要记住“左加右减，上加下减”口诀去解题，基本上没什么问题，但数学不是机械的数学，它是灵动的、多变的，充满着想象和，神奇，它的魅力也在于此。单纯生硬地记住函数的平移口诀，的确可以缩短大家的思考路线，避免了走许多的弯路，但是同时也抹杀了许多探索的过程，连自己的思考空间也给挤掉了，忽视了可能渗透于其中的重要的数学思想方法，依赖口诀只会使自己越学越呆板，思维也变得机械了。只有大家一起去思考、研究，弄懂函数平移的实质，才能锻炼自己的思维，学到有价值的东西。单纯的记忆难以应对复杂多变的数学题目，万变不离其中，只有自己探索了，研究了，掌握了平移的本质，看题也不会觉得迷雾重重了。比如例3这种题型，转变了变换的方式，对于只记口诀的人，思维可能就转不过来了，而对于能从图象理解考虑平移实质原理的人，平移问题就做得得心应手了。接下来结合几何画板画图分析例题： 例3. 已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（） 分析：此题平移的是坐标轴，而不是原来的函数图象了，通过演示几何画板观察图像位置，点击“坐标轴移动”，轴，轴分别向上、向右平移2个单位，可以看到图像的顶点坐标为平移后坐标系中的点，用反向思维思考，即图象下平移2个单位，向左平移2个单位，经过作图，画出变化的结果，可以很快得出答案。如图1-8 图1-8二次函数的平移经过几何画板的动态演示，看起来也并不怎么复杂，难以理解，无论函数怎样变化，题型怎样改变，其本质无非是函数图象在坐标系中上下左右的平移，只要你理清题意，画出图形，懂得从图形去分析，平移变换就显得不那么复杂难懂了。借助于几何画板的动态演示功能，大家对二次函数的平移应该有了更加深刻的认识，图形的平移不在是大家记忆中一幅一幅独立的图片，而是一幅电影般的连续场景深刻于脑海中。但几何画板不只是让看到平移的动态过程，更重要的是突出体现“数形结合”这一重要数学思想，以及从中衍射出来的化归思想、反向思维等重要数学观点，这些才是我们研究学习的重点。2、三角函数图像的变换中学中二次函数图象的变换重点趋向平移变换，抛物线开口的张合不在考虑范围内，而三角函数图象的变换则是对二次函数图象变换的扩展，它的变换更加复杂、丰富，牵涉更多元素的变化，包含了平移变换和伸缩变换。三角函数的图象是三角函数最重要的内容之一通过图象我们不但可以研究三角函数的性质，而且还可以快捷方便地解答三角函数问题，同时这部分内容在高考中也是一大热点，但这部分内容也是教学的难点，是大家不易掌握的知识点，传统的教学方式在这方面做不出突破，不适合大众化教学，下面用几何画板制作三角函数的动态图象，演绎三角函数图象变换的过程。2.1 、以及的图像关系三角函数图象变换的学习是在学生已经掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，并对五点法作三角函数图象有一定的认识的基础上进行，万丈高楼平地起，没有良好的基础，难以进行下一步的巩固和提高，基础是一步步积累而成，绝不是一蹴而就。三角函数中引入了、等特殊符号，使得函数的解析式变得更加具有内涵，不像二次函数那样直接、明朗，三角函数的变换也变得多元化，各个符号之间能进行相互转换，而且相对于二次函数的系数、只是单纯的数字代表，函数中的字符、具有各自不同的含义，即振幅、周期、初相、相位。针对、的单独变换，可得到三种不同的变换，即相位变换、周期变换、振幅变换。而正弦函数的上下平移变换和二次函数上下平移类似，所以在这里不做探索。运用几何画板制作函数、以及的图象，通过图象揭示它们图象间的关系。在探索这三个一般性函数前，我们先来画出几个特定的函数: ，；，以及，的图象，比较一下它们变化的规律，再由特别到一般进行延伸，有大家一起探索、发现一般性规律。手工画图通常采用“五点法”描绘出简图，画得快，则不那么准确美观，画得慢，虽然能完善图形，却十分耗时，可谓鱼和熊掌不可得兼，然而，教师为了针对教学需要，所画的图必须尽可能准确，以便在学生脑海中建立一个可供参考的标准图象模型，不至于因图像偏差而误导学生的思维，因为学生的第一印象往往很重要，容易在脑中落地生根。画得慢，限制了教学进度，而几何画板恰好能解决这些问题，其动态图象的功能也很适合课堂上不断的变化。运用几何画板中的“图表”功能很快得到三幅图象，分别为图2-1、图2-2、图2-3，其操作简单，节省时间，课堂教学效果也得到提高。 图2-1 图2-2 图2-3 比较这三幅图中各个函数相对于函数的变化，通过观察、分析得以验证上面的三种变换规律，而且把文字表述转化成图象语言，转变为可视化的动态教学，更加形象直观，便于直接理解。相对于繁琐的文字，学生对图形更感兴趣，印象更加深刻。对于不怎么理解文字所表达的意义的学生，看文字就像雾里看花，看得似是而非，难以理解，因而图象表述更适合他们。那么，接下来我们将特殊函数一般化，通过一般三角函数、的变化去发现对证它们变换的规律，结合几何画板所画的图，观察总结它们变化的趋势。 点击标有“显示”的按钮，出现函数的图像，在上拖动点A，可观察到：当点A向上移动时，图象被上下拉伸，即振幅变大；当点A向下移动时，图象被上下压缩，即振幅变小，而其周期和水平位置保持不变，如图2-4-1。点击标有“显 图2-4-1 图2-4-2 图2-4-3示”的按钮，出现函数的图象，在上拖动点，可观察到：当点向右移动时，图象被左右拉伸，即周期变大；当点向左移动时，图象被左右压缩，即周期变小，其振幅和相位保持不变，如图2-4-2，而且动态演示的图形很像弹簧的伸缩，充满趣味，不易遗忘。点击标有“显示”的按钮，出现函数的图象，在上拖动点，可观察到：当点向右移动时，图象就会反其道而行之，向左平移；当点向左移动时，图象就会向右平移，其振幅和周期保持不变，如图2-4-3。演示结果符合上面的三种变换规律，而且是对其最好的验证，更加的直接明了，不用学生死记那些用文字陈述的规律。2.2 函数的变换及应用通过对、这三个函数图象动态演示，相信大家对它们图象如何变化有了一个直观的认识，而不限于只观察数字的变化去发现图象变换的规律。单独一个系数的改变引起的函数图象的变换容易理解掌握，因为不用考虑其它因素的影响，那么由、的变换构成的综合变换，即函数的图像变换，各个变换之间是否也独立变化，互不影响？我们从图象的变换上着手，观察分析它们的变化特点。点击图2-4中标有“显示”的按钮，出现的图象，通过拖动、三点观察图象的变化，我们可以发现的变化不影响水平方向移动和伸缩，即不影响、的变换，而对于、的变换，若先拖动点，图象还是平移个单位，对的变换无影图2-4 响；若先拖动点，图象周期改变，再拖动点时，图象平移的距离与点移动的距离不一致，即的变换对的变换产生影响，不再是移动多少距离，图象也移动多少距离。那么具体变化情况又如何？我们从一个具体的例子出发，探索它的变换情形，再从特殊到一般进行归纳总结。例1. 将的图象怎样变换得到函数的图象。解析：由上面对、综合变换的讨论得出的变换独立，的变换位置随意，而不影响变换结果，变换方式取决于、变换的先后顺序，我们先把的图象沿轴向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩小到原来的，最后将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得的图象。这种变换方式学生思路都很顺畅，没有什么需要变形，很受欢迎，那么交换一下前两项的变换顺序，即先把图像上所有的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象沿轴向左平移个单位长度，最后将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，则所得的函数是否还是，如果没有前者作比较，相信大部分学生会毫不犹豫地沿第一种变换方式的思路去解题，得到的答案也就出错了。学生容易出错的原因是他们不明白变换是对而言，而不是对，因此需要把化成，变换后，图象沿轴向左只需平移个单位长度，换而言之，把图象上所有的横坐标缩小到原来的之后，相应的沿轴平移的长度也应缩小。这两种变换方式需要学生特别注意，弄清变换顺序，这也是三角函数变换的难点，易错的知识点，也许文字表述难以弄懂其中所包含的意思，那么我们继续通过图象直观地了解观察两种变换的变化过程，进一步加深对这个变换的印象，由几何画板制作出来的函数模型，如下三幅图，将会展示这一变换过程。 图2-5-1 图2-5-2 图2-5-3 先点击标有“A变换”的按钮，可以看到图象的纵坐标伸长到原来的2倍，再点击标有“变换”的按钮，看到点向右平移个单位长度，而图象向左平移个单位长度，最后点击标有“变换”的按钮，看到图象的横坐标缩小到原来的，通过图像更加生动形象地体现了学生的思维过程，更是对学生解题的验证。接下来改变一下变换和变换的顺序，观察图象又是如何变化：先进行变换，看到图象的横坐标缩小到原来的，再进行变换，看到点向右平移个单位长度，图象向左平移的单位长度则为(即图象上所有的点向左平移了)。 图2-5-4 图2-5-5 这样得到的函数解析式才是，而不是大家所想的图象平移个单位，所以在进行这种变换时，要特别引起注意。由这个特殊的函数变换，可以推导出一般函数的变换规律，因为特殊函数也具有一般函数的形式，可以代表一般性，这就是化归思想的表现，需要学生灵活地运用，这样才能不断地发现和探索数学。 2.3 不同题型的举例通过几何画板对例1变换的动态演示，让学生感到一种视觉的享受，在枯燥的数字和文字对比下，运用几何画板教学的效果更加良好，使学生容易理解此变换的内涵，掌握起来相对轻松些。现在改变函数变换的题型，又将如何运用上题的变换方式，进行举一反三，解答题目，针对下面给出的两个例题进行探索与讨论。例2 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A. B. 图2-6-1 C. D. 分析：此题求解的是图像变换后的解析式，重点要抓住变换是针对变量而言，不要受 的影响，因此变换后的函数为。 图2-6-2结合右边图象，可以清楚地看到经过变换后，图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再把图象向左平移个单位，点则向右平移个单位，所以从图象也可以很快得到解析式为B选项。 图2-6-3例2. 已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍然后把所得的函数沿轴向左平移，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为 分析：此题是根据平移后的函数去求原函数的解析式，如果顺着题意求解，首先要在脑海中构造出所求函数的模型，然后再对比，按照题意的变换，把函数填补全，但这样的做法要考虑的比较多，而且做起来不顺畅，在解题中，都要思考什么样的、才适合变换的要求，费心费力又费时，对一些学生来说还很有难度。既然顺的不行，那么反着来，把原题理解成由已知函数通过变换得到未知函数，当然，变换方式也反过来了，即先把函数沿轴向右平移，再把横坐标缩小到原来的，最后把纵坐标缩小到原来的，这就回到了大家所熟悉的题型上来了，也就容易得到所求的解析式。以下三幅图是对这一变换的演示。 图2-7-1 图2-7-2 图2-7-3 通过题型的转变，又可以结合图形进行理解，不然的话，几何画板可画并不出未知函数的图象，那样，只能用文字和数字抽象地表达一下变换的过程，学生听得也就索然无味了。配合以上三幅图进行讲解，演示这一变换，效果更加显著，而且学生可以直接看到函数如何变化，再对照自己所想，就能更加深入地理解了。三角函数图象的变换经过几何画板的动态演示，渐渐揭开它那神秘的面纱，展现它的内涵，不在那么抽象，那么晦涩难懂了，学生对函数的变换有了直接具体的认识，加深了自己的理解程度。生活犹如一幅幅动态的图象所构成，大家对一些生活场景的印象总是那么深刻，不易遗忘，而且先人创造的象形文字，也是在对事物理解的基础上产生的，图像先文字而行，因此，学生对动态图像比对文字有更加良好的理解天赋，更易理解接受，利用几何画板进行的“数形结合”教学更具效果。三、总结通过几何画板在函数图象变换中的应用，可以看到它强大的图表功能，动态的演示，使静态的图像、抽象的数学规律变得生动起来，激发和调动了学生学习的积极性和主动性。 它在函数教学中的应用不止于此，在解决函数的单调性、最值问题、分段函数等方面都能运用。本文中只例举了图表功能在二次函数和三角函数图象变换中的应用，相对丰富的函数知识点，显得有些单调，不够全面，而在语言表述和图像运用方面有什么不足之处，希望老师能给予点评和指导。在写论文的同时，是对知识的丰富，也是对教学理念的进一步加深，在这里，我要感谢指导老师对我的帮助，感谢他的认真负责，感谢他的言传身教，正因有了他的督促和指导，我才能更加有效地投入到毕业论文的写作当中，少走许多弯路。参考文献：1 忻重义，万福永.几何画板在数学教学中的应用M.华东师范大学出版社，2001: 55-70.2 曲一线，蒋会乾.高中习题化知识清单(理数)M.首都师范大学出版社，2009：96-99.3 蒋根姣.谈二次函数图象的平移J.初中数语外辅导，2001，(10).4 徐方，王华.如何进行三角函数的图象变换J.中学生数学，2003.5 赵春祥.三角函数的图象与图象变换问题J.数理化学习，2004.6 曹祥钧.三角函数的图象和性质J. 数学通讯，2003.7 刘志亮.三角函数的图象变换及应用J. 高中数学教与学，2000.8 杨青利.浅谈函数图象的变换J. 中学生数理化，2005.9 雷祥红，杜静斐.函数图象平移问题的方法与技巧J. 中学理科，2005.10 祝其浩.中考数学中函数图象平移问题J.中国报刊杂志大全，2007.