三坐标测量复杂曲面法向矢量参数求解方法途径研究及应用.pdf
1/6 三坐标测量复杂曲面法向矢量参数求解方法途径研究及应用 郑 东 （南京船舶雷达研究所，江苏 南京 211153） 摘要 ：准确求解复杂曲面指定点的坐标与法向矢量参数是三坐标矢量化测量的关键。介绍了参数求解的解 析方法，针对较难或无法求解的情形，提出一种借助工程软件建模求解参数的方法或途径，可为复杂曲面 三坐标矢量化测量提供重要技术支撑。给出了某直纹面在UG 、MATLAB下的求解实例，并验证了结果的一 致性。 关键词 ：复杂曲面；矢量化测量；法向矢量；直纹面; 三坐标测量机 0引言 包含曲面的零部件及机构，如叶轮叶片、蜗轮蜗杆、凸轮、反射面、腔体、馈源喇叭等， 是各类机械设备和装备的核心零部件。随着机械装备向高精尖的不断更新换代，作为这些零 部件及机构工作型面的曲面也越来越复杂，加工制造精度要求越来越高，这给设计、制造和 测量带来了不小的挑战。加工完成的零部件及机构，其曲面轮廓是否符合理论设计曲面，制 造精度能否满足精度要求直接影响到设计性能指标能否得到满足以及实现机构预期功能的成 败，因此，曲面轮廓精度的测量很关键。 随着计算机辅助测试和逆向工程技术的发展 , 三坐标测量机已经成为设计、制造和测量一 体化重要的环节，在曲面测量领域得到广泛应用，相应的测量技术也得到了长足的发展，如 微平面法，微球面法，测头半径整体补偿法等。但这些方法本质上是使用曲面点周围点近似 拟合法向矢量，与曲面在该点的理论法向矢量存在误差，这种误差与曲面本身形状和取点、 拟合的方法均相关且比较繁琐， 适合于精度要求不高、 自动化程度低的测量或逆向工程领域。 1矢量化测量的关键 要实现曲面轮廓的精密测量，除了曲面定位、测量路径和测量点分布及测头自动选择、 测针半径准确补偿等探测策略外，最关键的是必须以矢量化测量方法进行检测，即按矢量方 向触测、按矢量方向补偿，否则，会产生很大的测量误差。 图 1 按矢量方向触测曲面点 以图1所示，若以探针测杆方向（假设为Z+）探测目标点Q，则探针测球与曲面实际的触 测点为P，而不是预期的触测点Q。此时CMM会将Q 误认为Q 的实测点，从而在探测方向上产生 所谓的余弦误差，其大小等于|QQ | 。而以矢量化的测量方法则可避免误差的产生，获得准 确的数据。假设以法向矢量 n r 方向探测目标点P，当实际触测到点P时探针球半径记为r，球心 坐标记为 000 (,)xyz ，触测点坐标记为 (,) ppp xyz ，则 000 (,)(,) r ppp xyznxyz= v gg 由于探针球心坐标精度由三坐标测量机固有的探测精度决定，而编程自动测量模式使得 可以很准确的按法向矢量触测和补偿，因此，三坐标测量机上使用矢量化测量方法测量曲面 轮廓可以获得很高的测量精度，测量误差只与测量机固有的探测精度和触测点法向矢量参数 的准确性有关。实现三坐标矢量化探测的关键是找到准确计算法向矢量及坐标参数的方法和 途径。 2求解方法或途径 1)解析方法 对于已知解析函数表示且满足一定条件的曲面，可按照公式计算，方法如下： 代数方程：设曲面的方程为S0),(=zyxF， 曲面上任意一点， 若在),( 0000 zyxP),(zyxF 0 P 有连续偏导数且满足 ，则曲面在 点的法向矢量为： 0),(),(),( 000 2 000 2 000 2 +zyxFzyxFzyxF zyx S ),( 0000 zyxP 000000000 (,),(,),(,) xyz FxyzFxyzFxyz。 参数方程：设曲面S由参数u,v表示: ， ? ? ? ? ? = = = ),( ),( ),( : vuzz vuyy vuxx S u r v r u ru r 和分别表示过M点的u线(v为常 2/6 数的曲面曲线)和v线(u为常数的曲面曲线)上的矢量, 有),( 0000 zyxP 0 ),( ),( 0 ? ? = P vu yx J，在 某邻域内满足隐函数存在, 则法向矢量可通过公式),( 0000 zyxP × n × uv uv rr rr = u r u r r u r u r 计算。 2)借助工程软件 曲面种类很多，经常会遇到解析方法求解参数困难或根本无法求解的复杂曲面情形。例 如，有的曲面虽知其解析函数，但是函数很复杂，或者曲面部分或全部区域不满足法向矢量 存在条件（曲面不光滑，存在奇点等）；有的给出了曲面形成机理，如运动规律、建模原理 等，但求解解析函数困难或不存在；有的曲面本身就是由点云构造而来，等等。 随着计算机和软件技术的不断发展，很多解析方法求解参数困难或无法求解的复杂曲面 可借助工程软件实现数值计算和数据获取，实践中， CAD 软件(如UG) 和科学计算(如MATLAB) 软件是最常用的工具之一。UG 具有强大的建模和分析功能，MATLAB具有强大的数值计算和图 形功能，能解决各种曲面的建模和分析任务，包括使用解析方法求解参数困难或根本无法求 解的复杂曲面，甚至数学意义上法向矢量不存在的情况，通过软件建模、分析也能提供最优 化的近似解来满足测量的需要。本文以某直纹面为例研究和探讨求解的方法和途径。 3直纹面求解实例 图 2 所示轮廓曲面为直纹面，轨迹点A的解析方程为： 14 2 12 22 23 2 34 00, (45) 267.5(180) (315) K z K K ? ? ×- ? = ? ?××- ? ? ?×- oo 360 ，其中，K 为运动系数。 图 2 工作型面为直纹面 3/6 由方程可知，轮廓曲面由四段直纹面组成，通过解析方法计算较困难，但是曲面形成机 理和运动规律是可以建模的，因此使用UG和 MATLAB 进行求解。要点是建模方法正确、模型 精确，不引入模型误差。 1)基于 UG 的求解方法 建立 CAD 模型 选择菜单：工具表达式，按照曲面解析方程建立四条准线曲线的表达式。选择菜单： 插入曲线规律曲线根据方程，根据前述表达式生成四条曲线（图3）。按照四条曲线 的边界条件修剪，只保留需要曲线部分（图4）。最后，选择菜单：插入曲面直纹面， 完成直纹面的建模（图5）及其它部分的建模（图6）。 图 3 直纹面准线 图4 修剪曲线 直纹面参数分析 选择菜单： 分析 几何属性。 “分析类型” 选择静态， “分析点” 选择点构造器 （图 5） 。 在坐标栏内输入任意需要的直纹面上的点的坐标，即可得到该点精确的坐标和法向矢量等详 细信息 （图 7） 。 如果求解和获取的参数数据量很大， 则可借助 UG 的二次开发模块 UG/OPEN GRIP 编程实现自动化求解和数据输出。 图 5 直纹面建模 图6 分析曲面参数 2)基于 MATLAB 的求解方法 在MATLAB中编程如下，运行结果见图8所示。 x=r'*cos(t*pi/180); y=r'*sin(t*pi/180); for j = 1:49 for i = 1:8 4/6 if t(j) =0 else z(i,j)=k*( 1 -t(j)2; end end end surf(x,y,z);hold on plot3(x,y,z,'b-',x,y,z,'bd'),view(90,60),box on surf(x,y,z); view(45,45),box on surfnorm(x,y,z);view(45,45),box on;axis on; nx,ny,nz=surfnorm(x,y,z) 图 7 曲面参数数据输出 图8 MATLAB直纹面及法向矢量建模 3)数据比较 表 1 UG和 MATLAB 求解参数数据比较 软件 数据 XC YC ZC IC JC KC 备注 UG -46.5979 6.1347 27.8625 0.0047 0.0357 0.9994 MATLAB -46.5979 6.1347 27.8625 0.0047 0.0358 0.9993 连续曲面的点 UG -17.9861 43.4223 8.9867 0.2853 0.1182 0.9511 MATLAB -17.9861 43.4223 8.9867 0.2715 0.1225 0.9558 不连续处的点 曲面连续区域的点，在1/1000 毫米级别上数据完全一致。在分段曲线边界上的点，其法 向矢量数据在 1/100 毫米级别上有细微差别，原因是这些点所在曲面区域不连续，不同软件 的数值计算的近似算法和精度有差别导致，但这种法向矢量上的微小差别导致的测量误差极 小，可以忽略不计。 4结束语 5/6 6/6 随着汽车、飞机、机床等装备制造业向高、精、尖领域发展，类似叶轮叶片、蜗轮蜗杆、 凸轮、反射面、腔体、馈源喇叭等具有复杂几何形状的机构使用越来越广泛。复杂曲面的精 密测量离不开三坐标测量机和性能优良的计量软件，一些起支撑作用的技术或手段的发展也 不可或缺。对于一些使用解析方法求解参数困难或根本无法求解的复杂曲面情形，借助UG 、 MATLAB 等工程软件的强大建模和计算能力可为许多测量技术难题的解决提供重要的手段，有 时甚至是唯一的解决办法。本文所探讨的基于UG和 MATLAB 工程软件建立精确三维曲面模型 求取曲面有关参数的方法，解决了某直纹面三坐标测量程序编程中测点坐标及法向矢量参数 计算难题并验证了数据的一致性，为类似复杂曲面的三坐标矢量化测量提供了可靠的技术支 撑，对复杂曲面精密测量、逆向、建模技术的深入研究有借鉴和启发意义。 参考文献 1 王红敏 , 孙殿柱 , 张志诚 . 基于CMM 的曲面检测技术与测头半径补偿J, 工具技术 ,2006, 第40 卷第 10 期 2 杨延龄 . 曲面的切平面的存在性 , 北京工商大学学报（自然科学版）J,2005,第23 卷第 4 期 3 冯国馨 , 张国雄 , 解则晓 . 曲线曲面测量领域的关键问题, 航空精密制造技术 J,1999,第35 卷第 6 期 4 莫蓉, 吴英, 常智勇 . 计算机辅助几何造型技术M, 北京：科学出版社， 2004 5 张德丰等 .MATLAB数值计算方法 M, 北京：机械工业出版社，2010 通信地址 :江苏省南京市江宁开发区长青街30 号邮编:211153 电话号码 :13951798353 ，论坛账号： Chengtommy
