中考数学几何旋转经典例题(9).doc

中考数学几何旋转综合题1.23 (本题满分10分) 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45º，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG第23题图 FBADCEG第23题图DFBACE第23题图 解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG=FD 1分同理，在RtDEF中， EG=FD 2分 CG=EG3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG4分证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点来源:学#科#网Z#X#X#KFBADCEGMNN图 （一）在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5分在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EGFBADCEGM图 （二） EG=CG 8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， 4分在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MFCDAB5分在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBEFBADCE图G6分MECMEFFECCEBCEF90° 7分 MEC为直角三角形 MG = CG， EG=MC 8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG10分2. (2009山西)在ABC中，ABBC2，ABC120°，将ABC绕点B顺时针旋转角a(0°a90°)得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点(1)如图224(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；图234(a)(2)如图234(b)，当a30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；图234(b)(3)在(2)的情况下，求ED的长解 (1)证明：ABBC，AC由旋转可知，ABBC1，AC1，ABEC1BFABEC1BFBEBF又BA1BC，BA1BEBCBF，即EA1FC(2)四边形BC1DA是菱形证明：A1ABA130°，A1C1AB，同理ACBC1四边形BC1DA是平行四边形又ABBC1，四边形BC1DA是菱形(3)如图234(c)，过点E作EGAB于点G，则AGBG1图234(c)在RtAEG中，由(2)知四边形BC1DA是菱形，ADAB2 如图235(a)，在RtABC中，BAC90°，D，E两点分别在AC，BC上，且DEAB，将CDE绕点C顺时针旋转，得到CDE(如图235(b)，点D，E分别与点D，E对应)，点E在AB上，DE与AC交于点M图235(1)求ACE的度数；(2)求证：四边形ABCD是梯形；(3)求ADM的面积分析 注意旋转前后对应元素的关系，以及图中隐含的45°、30°等特殊角，将ADM的面积转化为SADESAME，利用方程的思想求解解 (1)如图235(a)，BAC90°，ABAC，BACB45°DEAB，DECDCE45°，EDC90°CECE4如图235(b)，在RtACE中，EAC90°，CE4，ACE30°(2)如图235(b)，DCEACB45°，ACE30°，DCAECB15°又，DCAECBDACB45°ACBDACADBCB45°，DCB60°，ABC与DCB不互补，AB与DC不平行四边形ABCD是梯形(3)在图235(c)中，过点C作CFAD，垂足为F，过D作DGAB，垂足为G作AMH60°交AE于H可得FCDACFACD30°在RtACF中，在RtDCF中，ADE中，AD，AE2，BAD135°在RtADG中，设AMx，可得，MHHE2在RtAMH中，由AM2AH2MH2，可得化简，得解得由AMAC可得3. (2009湖南常德)如图238(a)，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形图238(1)当把ADE绕A点旋转到图238(b)的位置时，D，E，B三点共线，CDBE是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；(2)当ADE绕A点旋转到图238(c)的位置时，D，E，B三点不共线，AMN是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由解 (1)如图238(b)CDBE理由如下：ABC和ADE为等边三角形，ABAC，AEAD，BACEAC60°BAEBACEAC，DACEADEAC，BAEDACABEACDCDBF(2)如图238(c)，AMN是等边三角形，理由如下：同理可证ABEACD，ABEACD，BECDM，N分别是BE，CD的中点，ABAC，ABEACD，ABMACNAMAN，MABNACNAMNACCAMMABCAMBAC60°AMN是等边三角形设ADa，则AB2aADAEDE，ABAC，CEDEADE为等边三角形，DEC120°，ADE60°EDCECD30°，ADC90°在RtADC中，ADa，ACD30°，N为DC的中点，ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABCSAMN4. (2009宁波)如图239(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(8，0)，直线BC经过点B(8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a°得到四边形OABC，此时直线OA，直线BC分别与直线BC相交于点P，Q图239(1)四边形OABC的形状是_，当a90°时，的值是_；(2)如图239(b)，当四边形OABC的顶点B落在y轴的正半轴上时，求的值；如图239(c)，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积；(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0°a180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析 (1)矩形(或长方形)，；(2)先证COPAOB，再证BCQBCO，并求出CQ，BQ的长，从而可得的值；易证OCPBAP，OPBP，CPAP，设BPx，在RtOCP中，根据勾股定理解出x的值，得到SOPB；(3)先假设存在这样的点P和点Q，使，再根据已知条件分类讨论求解解 (1)矩形(长方形)，(2)POCBOA，PCOOAB90°，COPAOB，即同理，BCQBCO，在RtAOB中，CQ3，BQBCCQ11在OCP和BAP中，OCPBAPOPBP，CPAP设BPx，在RtOCP中，CPAPOAOP8x(8x)262x2，解答SOPB(3)存在这样的点P和点Q，使点P的坐标是对于第(3)题，我们提供如下详细解答：过点Q作QHOA于H，连接OQ，则QHOCOC，SPOQ，SPOQ，PQOP设BPx，BQ2x如图239(d)，当点P在点B的左侧时，OPPQBQBP3x，在RtPCO中，(8x)262(3x)2解得(舍去)图239如图239(e)，当点P在点B的右侧时，OPPQBQBPx，PC8x在RtPCO中，(8x)262x2解得 综上可知，存在点，使5. 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30°得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（30°90°（图4）；ED图2图3DE图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段CN·EM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CN·EM的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）解：（1）BE=AD 证明：ABC与DCE是等边三角形ACB=DCE=60° CA=CB，CE=CDBCE=ACD BCEA TS BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在CQT中 TCQ=30° RQT=60°QTC=30° QTC=TCQQT=QC=x RT=3x RTSR=90° RST=90°y=×32 (3x)2=(3x)2(0x3) （3）CN·EM的值不变 证明：ACC=60°MCENCC=120°CNCNCC=120° MCE=CNCE=C EMCCCN CN·EM=CC·EC=×=6、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。（1）将图1中绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中绕点C顺时针旋转30°到（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：AB. D解：（1）证明：过点作CA的垂线，垂足为D 易知：CD为等腰直角三角形，DA是直角三角形，且A30°，所以 故 （2）解： 过点作C的垂线，垂足为E 易知：E为等腰直角三角形（其中2ACA45°） CE是直角三角形，且130°，所以故 （3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到，易证：，于是45°，故AB.7.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示） （图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AHDH （图4） （图5） （图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）又在RtABC中，斜边长为10cm，BAC=30，BC=5cm，平移的距离为5cm（2分）（2），D=30°（1分）在RtEFD中，ED=10 cm，FD=，（1分）cm（2分）（3）AHE与中，（1分），即（1分）又，（AAS）（1分）（1分）8.如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180°得MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG轴于点G，若线段MGAG12，求点M，N的坐标DOBAxyCy=kx+1图（9）-1EFMNGOBAxy图（9）-2Q（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线 得 1分 整理得 2分 解得3分 抛物线的解析式为 4分 （2）令 解得 B点坐标为（4，0） 又D点坐标为（0，）ABCD 四边形ABCD是梯形DOBAxyCBCy=kx+1图(9) -1HT S梯形ABCD 5分设直线与x轴的交点为H， 与CD的交点为T，则H（，0）， T（，）6分直线将四边形ABCD面积二等分S梯形AHTD S梯形ABCDEFMNGOBAxy图(9) -27分8分（3）MG轴于点G，线段MGAG12 设M（m，），9分 点M在抛物线上 解得（舍去） 10分M点坐标为（3，）11分根据中心对称图形性质知，MQAF，MQAF，NQEF，N点坐标为（1，） 12分9.（09年湖南常德）26如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分） （2）当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由（6分）图9 图10 图11图8来源:学科网ZXXK（09年湖南常德26题解析）解：（1）CD=BE理由如下:1分 ABC和ADE为等边三角形 图11CNDABMEAB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60o BAE =BACEAC =60oEAC，来源:学科网DAC =DAEEAC =60oEAC， BAE=DAC， ABE ACD3分 CD=BE4分 （2）AMN是等边三角形理由如下：5分 ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点， BM= AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=AN，MAB=NAC6分 NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形7分 设AD=a，则AB=2a AD=AE=DE，AB=AC， CE=DE ADE为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o， EDC=ECD=30o ， ADC=90o8分 在RtADC中，AD=a，ACD=30 o ， CD=N为DC中点， ， 9分ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABC SAMN10分解法二：AMN是等边三角形理由如下：5分ABE ACD，M、N分别是BE、CN的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN是等边三角形7分设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证BEAC，BE=， ADE，ABC，AMN为等边三角形SADESABC SAMN10分