【高考数学复习学案—教师,学生、家长通用版】第2讲等差数列及其前n项和.pdf

第 2 讲等差数列及其前n 项和 最新考纲1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式： an1and(nN*，d 为常数)，或 anan1d(n2，d 为常 数). (2)若 a，A，b成等差数列，则A 叫做 a，b 的等差中项，且 A ab 2 . 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d. 通项公式的推广： anam(nm)d(m，nN*). (2)等差数列的前 n 项和公式 Snn（a 1an） 2 na1n（n1） 2 d(其中 nN *，a 1为首项，d 为公差，an为第 n 项). 3.等差数列的有关性质 已知数列 an 是等差数列， Sn是 an的前 n 项和. (1)若 mnpq(m，n，p，qN *)，则有 a manapaq. (2)等差数列 an的单调性：当 d0 时，an 是递增数列；当 d0 时，an 是递 减数列；当 d0 时，an 是常数列 . (3)若 an是等差数列，公差为d，则 ak，akm，ak2m，, (k，mN *)是公差为 md 的等差数列 . (4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，, 也是等差数列. 4.等差数列的前 n项和公式与函数的关系 Snd 2n 2 a 1 d 2 n. 数列an是等差数列 ? SnAn 2Bn(A，B 为常数 ). 5.等差数列的前 n项和的最值 在等差数列 an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若a10，d0，则 Sn存 在最小值 . 诊 断 自 测 1.判断正误 (在括号内打“”或“×”) (1)数列 an 为等差数列的充要条件是对任意nN * ，都有 2an1anan2.() (2)等差数列 an的单调性是由公差d 决定的 .() (3)已知数列 an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数 )，则数列 an 一定是 等差数列 .() (4)数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数 .() (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为0 的二次函数 .() 解析(4)若公差 d0，则通项公式不是n 的一次函数 . (5)若公差 d0，则前 n 项和不是二次函数 . 答案(1)(2)(3)(4)×(5)× 2.(2015 ·重庆卷 )在等差数列 an中，若 a24，a42，则 a6等于() A.1 B.0 C.1 D.6 解析由等差数列的性质，得a62a4a22×240，选 B. 答案B 3.(2017 ·长沙模拟 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S32a3，S515，则 a2 016 _. 解析在等差数列 an 中，由 S32a3知，3a22a3，而 S515，则 a33，于是 a22，从而其公差为 1，首项为 1，因此 ann，故 a2 0162 016. 答案2 016 4.在等差数列 an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn取 得最大值，则 d 的取值范围为 _. 解析由题意知 d0 且 a80， a90，即 77d0， 78d0， 解得 1d 7 8. 答案1， 7 8 5.(必修 5P68A8 改编)在等差数列 an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8 _. 解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2 a82a5180. 答案180 6.(2017 ·金华四校联考 )设等差数列 an的前 n 项和 Snn 2bnc(b，c 为常数，n N*)，若 a2a34，则 c_，b_. 解析数列an 是等差数列，且前n 项和 Snn2bnc，c0，则 Snn2 bn，又 a2a3S3S193b1b4，b2. 答案02 考点一等差数列基本量的运算 【例 1】 (1)(2016 ·全国卷)已知等差数列 an 前 9 项的和为 27，a108，则 a100 () A.100 B.99 C.98 D.97 (2)(2016 ·唐山模拟 )设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，S36，S412，则 S6 _. 解 析(1) 设等 差 数列 an 的公 差为 d， 由 已 知， 得 9a136d27， a19d8， 所以 a11， d1， 所以 a100a199d19998. (2)法一设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由 S36， S412，可得 S33a13d6， S44a16d12，解得 a10， d2， 即 S66a115d30.