初中数学《解直角三角形(三角比)》超级名师原创导学案(各版本通用-学生、家长、教师必备).pdf

正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 1 第十章解直角三角形 通关口诀： 一个坡度三个比；见到直角是前提。 三个特角九个值；三边之比要牢记。 测距触礁躲台风；设法构造三角形。 辅助理当造直角；不破已知边与角。 做题要快记模板；比较大小记增减。 正奇数学学堂 第一讲：锐角三角函数 基础知识疏理 知识点一：直角三角形中的角与相似。直角三角 形 一个锐角相等（确定）相似（三边的比 确定）任意两边的比也随之确定。且上述结论 与三角形的大小无关。 知识点二：“一切两弦” 的概念。 在 Rt ABC 中， C90° ，A，B，C 的对边分别为a，b，C sin A= A的对边 斜边 = a c ；sin A 叫做 A 的正弦。 cos A A的邻边 斜边 b c； cos A 叫做 A 的余弦。 tan A A的对边 邻边 a b.； tan A 叫做 A 的正切。 正奇点睛： 1sin A，cos A，tan A 是三个完整的符号， 分别表示 A 的正弦，余弦，正切。 2如果其中的角是用三个字母表示，则角的 符号“”不可以省略。 3直角三角形中“一角定三比=三边之比 一定的相似三角形集合” ：一个锐角确定 三个比值确定。 （这三个比值与三角形的大小无关， 且没有单位） 。 4 三个定义中的每个等式都要会“变式使用” 。 对公式的“变式使用”是学习数学必备的基本功。 知识点三：坡角与坡度。坡角是坡面与水平面所 成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比 )，常用 i 表示，也就是坡角的正切值，坡角 越大，坡度越大，坡面越陡 正奇点睛： 坡度的实际意义斜坡水平方向每 延长一个单位铅直方向升高的距离。 知识点四：三角函数的概念。 1定义 : (1).文字语言： 锐角 A的正弦，余弦，正切都 是 A的函数。 （用函数的观点看待和分析角与比值 的对应关系） 。 (2) 符号语言：三个函数： y = sin, y = cos ,y = tan （0° 90°）叫 做锐角的三角函数。通常我们把sin ，cos ， tan 称为锐角 的三角函数。（适宜叙述的变化） 。 2. 锐角三角函数的取值范围: 0sin 1； 0cos 1；0tan 3锐角三角函数的增减性：“ 正增余减”。正 弦，正切是增函数，余弦是减函数。 4锐角三角函数之间的关系： （ 1）互余关系（两角互余，两弦相等）： sinA=cos(90° A)，cosA=sin(90°A) ； 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 2 或：若 A+ B90°则 sinA=cosB cosA=sinB （一个重要用途：锐角的正弦，余弦比较大小。） （2）平方关系：1cossin 22 AA（两弦知 一求一） （3）倒数关系： tanAtan(90 °A)=1 或：若 A+ B90°则 tanAtanB=1 （4）商（弦切）关系：tanA= A A cos sin （一角三 值，知二求一） 正奇点睛： 特别拓展若A+ B180 度 则 sinA =sinB（后面求任意三角形面积你回体会到 它的作用）。 知识点五：三角函数值的求法。 1除了一些特殊角度的三角函数值外，目前我 们只能借助 “计算器” 求一个角的三个三角函数值。 2从理论上讲，题目中如果告诉了一个锐角 的度数，那么就默认这个角所对应的三个三角函数 值都是已知的。事实上，除了一些特殊角外，题目 中在给出已知角的同时都会给出相关的可能用到 的三角函数的值。 1锐角三角函数的值可能是一个正的有理数， 也可能是一个正的无理数。 知识点六：特殊角的三角函数值。 1. 三角九值 ( 会推导 数形结合记忆): 三角函数 30 ° 45 ° 60 ° sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 2. 发现 - 分享 : 当角度小于45°时 ,同一个角 的正弦小于余弦; 当角度大于45°时 , 条一个角的 正弦大于余弦。 （结合图形，表格理解记忆）。 3掌握结合增减性记忆上表信息的技巧。 核心考点示例 考点一：根据相关边长求三角函数值。 例 1如图：已知ACB=90 °，DEAB ，垂足 为 E，AB=10，BC=6，求 BDE的三个三角函数值。 正奇点睛： 通过此题进一步体会相似与三角函数 的关系。“知识团结起来，难题踩在角下” 考点二：坡度问题。 例 2.如图，山坡 AB 的坡度为512，一辆汽车 从山脚下A 处出发， 把货物运送到距山脚500 m 高 的 B 处，求汽车从A 到 B 所行驶的路程 考点三： 知道直角三角形中一个锐角的一个三角 函数值，求两锐角的其它五个三角函数值。 例 3在 ABC中，C=90 °sinA= 4 5 , 求 cosB， sinB,tanB,cosA,tanA的值。 考点四：知道三角函数的值确定角的度数。 例 3若 +=90°，且 sin +cos=3 求角 的度数。 正奇点睛： 解题过程最特别注意标明所求角为锐 角这一条件，否则会导致结论的错误。 考点五：平面直角坐标系中的三角函数。 例 4如图，在直角坐标系中，P 是第一象限 内的点，其坐标是（3，m ） ，且 OP与 x 轴正半轴的 夹角 的正切值是 4 3 ，则 sin 的值为（） 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 3 A 4 5 B 5 4 C 3 5 D 5 3 考点六：特殊三角函数值的有关计算。 例 4 式子2cos30° - tan45° - 2 (1tan60 ) o 的值是（） A2 3-2 B0 C 2 3 D2 考点七：有关实数的运算。 例 5计算 00 ( 1)|23 | 2sin60 考点八：同角三角函数关系的应用。 例 7 已知 是锐角，且 tan是方程 x 2-2x-3 =0 的一个根求证：sin2-4sincos+3cos2=0 考点九：特殊角的三角函数值在其它函数中的 应用。 例8如图：一次函数 3 3 3yxmy x 与反比例函数的图象在第 一象限的交点为A（3，n）, (1).求 m 与 n 的值。 (2).设一次函数的图象与x 轴相交于点B， 连接 OA，求的度数。 1已知 RtABC 的面积为24cm2，直角边 AB为 6cm，A是锐角，则sinA； 2直角三角形的斜边与一直角边的比是5： 1，且较大的锐角为，则 sin = ; 3如果坡角的余弦值为 10 103 ，那么坡度为 ( ) A.110B.310C.1 3 D.31 4等腰三角形的三边的长分别为1、1、3， 那么它的底角为（） A.15 °B.30°C.45°D.60 ° 5直角三角形纸片的两直角边长分别为6， 8， 现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合， 折痕为DE，则tanCBE的值是（） A 24 7 B 7 3 C 7 24 D 1 3 6计算： (1)tan60°·cos30 °-3tan30°·tan45 ° (2)sin30°+cos60 °-tan45 °-tan30 °·tan60 ° (3) 00 0 tan30sin 60 1cos60 ; (4)cos60°-3tan30°+tan60 °+2sin 245° . 7如图，在 ABC 中， ACB90°， BC 3，AC4，CDAB，垂足为D，求 sinACD 和 tanBCD 8 （1）已知 sin 与 cos是关于x 的方程： x 2+px+q=0 的两个根，求证： 1+2q-p 2=0 （2）化简 00 1 2sin73 cos17 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 4 第二讲：解直角三角形 基础知识疏理 知识点一： 直角三角形边角关系。在 Rt ABC 中， C90° ，A，B，C 的对边分别为a，b，C 1三边之间的关系：a 2 b2c2； （平方式与开 方式）。 2锐角之间的关系：A B90° ； 3 边角之间的关系： sin A a c ， cos Ab c， tan A a b， sin B b c ，cos B a c ，tan B b a. 430 度角所对的直角边是斜边的一半。 5斜边上的中线等于斜边的一半。 6射影定理；斜高的求法。 7面积公式： SABC= 11 22 c abch 知识点二：解直角三角形。 1定义： 由直角三角形中的已知元素，求出 所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2类型及解法： （1）已知两边求其它元素：用勾股定理求第 三边；用锐角三角函数反求一个锐角；用互余关系 求另一锐角。 （2）已知一角的度数和一条边的长度求其它 元素：用互余关系求另一锐角；用三角函数求一条 未知边；用勾股定理或三角函数求另一未知边。 正奇点睛： 用“取特值法” 求直角三角形的边长。 1方法：已知两边的比值（或者一个锐角的 三角函数值） 和其中任一边的长度，求其它的边长。 我们只要取 比值就是长度（与题目中三角形相似） 的“ 特殊直角三角形” ，用勾股定理算出第三边， 这三边的比无疑就是我们问题中三角形三边的比， 此时用公式： 未知边长 =已知边长未知边对应的份数 对应份数 即可迅速求出另外两边的长度。 2口诀： 一定三边比；二求每份值；三求未 知边； 快得离谱，秒不可言！ 3如果再能熟记一些常考直角三角形三边的 比值，那就更是“一看便知，如虎添翼”： （3 ，4， 5 ） ；（5 ，12， 13 ） ； （7 ，24， 25 ） ；（8 ，15， 17 ） ； （9 ，40， 41 ） ；（1，3，10） ； （1，1，2 ） ； （1，2，5 ） ； （1，3，2） 。 看题即知比，知比速求边，本章学霸非你莫属！ 4如果给出的锐角三角函数值是一个近似数， 则此方法无效。 知识点三：作辅助线构造直角三角形的基本方 法。 1原则： 原则是 尽量不破坏已知的边和角构 造含有 与题目结论相关的边与角的直角三角形。 2基本模型： （ 1）利用已知角： （ 2）利用勾股定理： （ 3）利用高：上右图。 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 5 知识点四：三角函数的应用。 1 必备知识： （1） 仰角与俯角：当从低处观测高处的目标 时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处 观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角 （2）方向角：是指以观察者的位置为中心，将 正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所 成的角（一般是锐角）。通常表达成北（南）偏东 （西） ××度 （南北在前） 。 2利用三角函数解决实际问题的步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题 (画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题) （2）有直角，用直角，无直角，造直角。通 过作辅助线构造所需要的直角三角形。 (3)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数 去解直角三角形 （4）作辅助线的原则：尽量不破坏或者少破 坏已知的边和角。 3解决问题常见模板： 30° 60° x 30°60° x 45 ° 45° x 30 °60 ° 3x x 2x 45°30° x 45 ° 60 ° x 30 ° 45° x 30° 60° 60° 45 ° x x 一类 二类 三类 x 熟记摸型，快速解题 3问题分类： （1）测量问题； （2）有关航行 问题（边界问题，定向问题）； （ 3）计算坝体或边 路的坡度问题；（ 4）三垂直问题；（5）采光问题 （光 线问题）； （6）与几何综合的问题；（7）与函数集 合的问题等。 核心考点示例 考点一：直接解直角三角形。 例 1 在 RtABC中， C 90°， a、 b、c 分 别是 A、 B、 C 的对边，根据下列条件，解这 个直角三角形 (1)B=60°，a4； (2)a1，3b 考点二：解直角三角形的简单应用。 例 2试一试 （ 1）在 ABC中， C=90° B=30°， AD 是 BAC的平分线，与BC相交于 D ，且 AB=43，求 AD的长。 （训练学生自己画图） （ 2）在 ABC中， AD BC于点 D，点 E 是 AB 边的中点， ABC面积为 126，BC=21 ，AC=20 ，求： SinC 和 tan ADE的值。 A B C D E 考点三：构造三角形解直角三角形。 例 3在 ABC中，A=60°， B=45°，AB=8 求 ABC的面积。（训练学生自己画图） 。 考点四：三角板问题。 例 4一副直角三角板如图放置，点 C在 FD的延 长线上， AB CF ， F=ACB=90 °， E=30，° 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 6 A=45°， AC=12 2，试求： CD的长。 A B C E F D M 考点五：测量问题。 例 5 包头三十五中学在教学楼前新建了一座 “腾飞”雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼 找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角 为 30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找 到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°( 如 图所示 ) 若已知 CD为 10 米，请求出雕塑AB的高 度 ( 结果精确到0.1 米，参考数据31.73) 考点六：坝梯截面问题。 例 6包头某过街天桥的截面图为梯形，如图 所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i（i 1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比 ) ，CD 的长为 10 m ， 天桥另一斜面AB的坡角 ABC 45° (1)写出过街天桥斜面AB的坡度； (2)求 DE的长； (3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面 的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路 群众， 改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的 宽度 FB的长 ( 结果精确到 .0.01 m) 考点七： 关航行问题（边界问题，定向问题）。 例 7海中有一小岛A,该岛四周40 海里内有 暗礁 , 今有一货轮由西向东航行, 在 B 处见 A 岛在 北偏东 60°, 航行 30 海里后到达C处, 见岛 A在北 偏东45°, 你认为货船继续向西航行, 途中会有触 礁的危险吗 ? 考点八： 最短距离问题。 例 8. 公路 AB为东西走向，在点A北偏东 36.5 °方向上，距离5 千米处是村庄M ，在点 A 北 偏东 53.5 °的方向上 , 距离 10 千米处是村庄N,( 参 考 数 据 :sin36.5° 0.6, cos36.5° 0.8 tan36.5 ° 0.75) (1) 求 M ，N两村庄之间的距离. (2) 若在公路AB旁修建一个土特产收购站P， 使得 M ， N 两村庄到P 点的距离之和最段，求最短 距离。 A M N CD E G 正奇点睛：体验：作辅助线的原则：尽量不破坏 已知的边和角；精典模型的应用两村一路。 北北 东 45° ?5 60° 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 7 1如图，小明同学在东西方向的环海路A处， 测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东 500 米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向 上，求灯塔P到环海路的距离PC（用根号表示） 2已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC，求山的高 度及缆绳 AC 的长 (答案可带根号) 3要将地处 A、B 两地的两所大学合并 成一所综合性大学， 为了方便 A、 B两地交通， 学校准备在相处 2km的 A、 B两地之间修一条 笔直公路，经测量在 A地的北偏东 60°方向， B 地的北偏西 45°方向的 C处有一个半径为 0.7km 的公园。问计划修这条公路会不会穿 过公园？为什么？ 4沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2 米， 坡度由原来的1:2 改为 1:2.5，已知坝高6 米，坝长 50 米 (1)求加宽部分横断面AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？ 5 6 5 在离水面AB 高度为 8m 的岸上 C 处有人用 绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°， 此人以每秒0.5m 的速度收绳。问：12 秒后船向岸 边移动了多少m ？（结果不取近似值） 6某天然气公司的主输气管道从A 市的东 偏北 30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安 装天然气的M 小区在 A 市东偏北60°方向，测绘 员沿主输气管道步行2000 米到达C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道 P ABC 30° 60° 北 C 60° 45° 北 A BC D E F G H 2米 6 米 1: 2 1: 2. 5 8m A B C 30° 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 8 上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最 短，并求 AN 的长 . 7图，在梯形ABCD中，90BA， AB25，点E在AB上，45AED， 6DE , 7CE . 求：AE的长及BCEsin的值 （ CE BE BCEsin= 7 22 ） 8内蒙古大草原上有一条笔直的公路，在紧 靠公路相距40 千米的A、B两地，分别有甲、乙两 个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西 60°方向上有一牧民区C一天，甲医疗队接到牧 民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案 I ：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处， 再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C方案II ： 从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C 已知 汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3 倍 （1）求牧民区到公路的最短距离CD （ 2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一 种方案比较合理？并说明理由 （结果精确到0.1 参考数据：3取 1.73 ，2 取 1.41 ） 正奇冲关 五年中考 1 （包头 2010 年 22 题）如图，线段ABDC、 分别表示 甲、乙两建筑物 的高， A BB CD C，从B点测得D点的仰角 为 60°从A点测得D点的仰角为 30°，已知 甲建筑物高36AB米 （1）求乙建筑物的高DC； （2）求甲、 乙两建筑物之间的距离BC（结果精 确到 0.01 米） （参考数据：21.41431.732，） 2 （包头 2011 年 22 题） 一条船上午8 点 在 A 处望见西南方向有一座灯塔B( 如图 ) ，此 时测得船和灯塔相距362海里，船以每小时 20 海里的速度向南偏西24o的方向航行到C 处，这时望见灯塔在船的正北方向( 参考数据： A D 北 C 东 45° 60° D 乙 C B A 甲 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 9 sin24o0. 4， cos24o 0. 9) ( 1) 求几点钟船到达C 处； ( 2) 求船到达C 处时与灯塔之间的距离 3 （包头 2012 年 22 题） 拦水坝的横断面为梯 形 ABCD ，坝顶宽AD = 5 米，斜坡AB 的 坡度 i =1 ：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度 BE 的比） ，斜坡 DC 的坡度 i=1 ：1 . 5 ，已知该拦 水坝的高为6 米。 （1）求斜坡AB 的长； （2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根 号） 4 （包头2013 年 22 题） 一根长63的木棒 （AB） ，斜靠在与地面(OM)垂直的墙 (ON)上，与地 面的倾斜角 （ ABO ）为 60°. 当木棒 A端沿墙下滑 至 / A时， B端沿地面向右滑行至点 / B. （1）求 OB的长； （2）当 A A=1时，求 BB 的长。 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 5 （包头 2014 年 22 题） 在梯形 ABCD 中， AD BC ，ABC=90度，BCD=45度，点 E在 BC上， 且 AEB=60度，若 AB=32，AD=1 ，求 CD和 CE 的长（保留根号） 6如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了3200 m到达B点，然后再沿北偏西30° 方向走了 200 m 到达目的地C点 求: （1）A、C两地之间的距离； （2）确定目的地C在营地A的什么方向 正奇点睛： 三角函数在初中阶段其实就是直角三 角形三边的比，学好我们的口诀和方法，它就是个 摆设： 三角函数值；本是两边比。 两比变三比；求边只靠嘴。 A B C D 东 北 A / N A