新版(浙江版)高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题1.2命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要.pdf

1 1 第 02 节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 【考纲解读】 考 点考纲内容5 年统计分析预测 1. 命题 及 其关系 1. 理解原命题和原命题的逆命 题、否命题、逆否命题的含义， 及其相互之间的关系。 2. 了解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义。 无独立命题1. 该部分知识独立考查的可能 性很小，注意体现在具体命题 的判断及逻辑推理的思维活动 中。 2. 备考重点： (1) 命题的真假的判断； (2) 充分条件、必要条件的判 断 2. 充分 条 件 和必 要 条件 理解命题的必要条件、充分条件、 充要条件的意义，能判断并证明 命题成立的充分条件、必要条件、 充要条件。 20xx 浙江 6 20xx 浙江文 6 20xx 浙江文 3，理 6 20xx 浙江文 2，理 2 20xx 浙江文 ,3 ，理 4 【知识清单】 1命题及其关系 （ 1）命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真 的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题 （ 2）四种命题及相互关系 （ 3）四种命题的真假关系 (1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系 对点练习： 有下列四个命题（1）若“1xy，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等” 的否命题；（3）“若1m，则 2 20xxm 有实数解”的逆否命题；（4）“若 AB=B，则 AB”的逆否命题。其中真命题为（ ） A、 （1） （2） B、 （2） （3） C、 （4） D、 （1） （ 3） 【答案】 D 2逻辑联结词 （ 1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 _，读作 _” （ 2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 _，读作“ _” （ 3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_，读作“ _” （ 4）命题p且q、p或q、非p的真假判断 对点练习： 【 20xx 山东，理3】已知命题p:xx0,ln1 0；命题q：若ab，则 ab 22 ，下列命题 为真命题的是 （ A）pq（ B ） pq （C）pq（D）pq 【答案】 B 3充分条件与必要条件 (1) 如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 (2) 如果p?q，q?p，则p是q的充要条件 对点练习： 【 20xx 天津，文2】设xR，则“20x”是“|1| 1x”的 （ A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【考点深度剖析】 高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识 载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题命题重点主要集中在以函数、方程、不 等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定从近5 年命题看，其 在试卷中的位置逐步后移，难度较以往略大. 【重点难点突破】 考点 1 四种命题的关系及真假判断 【 1-1】给出命题：已知实数 ,a b满足 1ab，则 1 4 ab, 它的逆命题、否命题、逆否命题三 个命题中，真命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 B 【解析】1ab 222 1()24abaabbab 1 4 ab 原命题为真，从而逆否 命题为真；若 1 4 ab，显然得不出 1ab ，故逆命题为假，因而否命题为假，选B 【 1-2】命题“若, x y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（） A若xy是偶数，则与 y不都是偶数 B若xy是偶数，则与 y都不是偶数 C若xy不是偶数，则与 y不都是偶数 D若xy不是偶数，则与 y都不是偶数 【答案】 C 【领悟技法】 1. 四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价 关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： （ 1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题； （ 2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题； （ 3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。 2. 正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式， 也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要 3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根 据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否 命题的真假 4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命 题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证 法 【触类旁通】 【变式一】命题“若ABC有一内角为 3 ，则ABC的三内角成等差数列”的逆命题( ) A与原命题同为假命题 B与原命题的否命题同为假命题 C与原命题的逆否命题同为假命题 D与原命题同为真命题 【答案】 D 【解析】 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一 内角为 3 ”，它是真命题 【变式二】下列命题中为真命题的是( ) A命题“若xy，则xy”的逆命题 B命题“1x，则x 21”的否命题 C命题“若x1，则 2 20xx ”的否命题 D命题“若 2 0x，则1x”的逆否命题 【答案】 A 考点 2 含有逻辑联结词的命题 【 2-1】 【山东青岛二模】已知命题 ,p q，“p为假”是“pq为真”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】解：若“p为假”，则“p”为真，“pq为真”，充分性成立； 若“ pq为真”，则“ p”为真或“q”为真， 即“ p为假” 或“q为假”，必要性不成立； 综上可得：“ p为假”是“pq为真”的充分不必要条件 . 本题选择A选项 . 【 2-2】 【20xx 山东，文 5】已知命题p：,xR 2 10xx ; 命题q：若 22 ab , 则a0”是“S4+ S62S5” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 由ddadaSSS)105(221102 11564 ， 可 知 当0d， 则 02 564 SSS，即 564 2SSS，反之，02 564 dSSS，所以为充要条件，选C 【 3-2】 【20xx 浙江杭州重点中学期中】在ABC中， “s i n1 B”是“ABC为直角三角形” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 在ABC中，若sin1B，则 2 B，所以ABC为直角三角形；但若ABC为直角三角形， 则sin1B或sin1A或sin1A，所以在ABC中， “sin1B”是“ABC为直角三角形” 的充分不必要条件，故选A 【 3-3】 【浙江高三上学期模拟】“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直” 的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B. 【解析】 【领悟技法】 充要关系的几种判断方法 (1) 定义法：若,pq qp，则p是的充分而不必要条件；若,pq qp，则p是 的必要而不充分条件；若 ,pq qp，则p是的充要条件； 若 ,pq qp ，则 p 是 的既不充分也不必要条件。 (2) 等价法：即利用pq与qp；qp与pq；pq与qp的等价关 系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法 (3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则 M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条 件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 【触类旁通】 【变式一】【20xx 浙江湖州、衢州、丽水4 月联考】已知平面与两条不重合的直线,a b，则 “a，且b”是“/ /ab”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 若,ab，则必有/ /ab，但/ /ab时，直线,a b与平面可以平行， 可以相交， 可以在平面内，不一定垂直，因此“,ab”是“/ /ab”的充分不必要条件，故选A 【变式二】【20xx 浙江“超级全能生”3 月联考】“函数lnfxax xe存在零点”是 “1a”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不用必要条件 【答案】 B 【解析】 1 0fx x , 所以若函数lnfxax xe存在零点 , 则0,1f ea , 因此“函数lnfxax xe存在零点”是“1a”的必要不充分条件, 选 B. 考点 4 充分条件与必要条件的应用 【 4-1】给定两个命题p，, 若p是的必要而不充分条件，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由qp且pq可得pq且qp，所以 p是q的充分不必要条件 . 【 4-2 】已知集合 1 |28, 2 x AxxR ，| 11,BxxmxR，若xB成立 的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是 【答案】2（ ，） 【领悟技法】 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1) 把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关 于参数的不等式( 或不等式组 ) 求解 (2) 要注意区间端点值的检验 对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清 楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成 立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前 后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。 【触类旁通】 【变式一】 【20xx 河北衡水押题卷】 已知命题p： “关于的方程 2 40xxa 有实根”， 若p 为真命题的充分不必要条件为31am，则实数m的取值范围是（） A. 1, B. 1, C. ,1 D. ,1 【答案】 B 【解析】命题p：4a，p为4a，又p为真命题的充分不必要条件为31am，故 3141mm 【变式二】若f(x) 是 R 上的增函数，且f( 1) 4，f(2) 2，设Px|f(xt) 13，Q x|f(x) 4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( ) A( ， 1 B( 1，) C3，) D(3 ，) 【答案】 D 【易错试题常警惕】 易错典例：已知不等式1xm成立的充分不必要条件是 11 32 x，则m的取值范围是 _ 易错分析， (1) “ 11 32 x”是“1xm”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成 必要条件； (2) 从集合的角度看，若设 11 32 Axx ， 1Bx xm，则ABü， 学生容易看成AB. 正确解析：由题意知： 11 32 x是不等式 |xm|1 成立的充分不必要条件所以 11 32 xx 是 1x xm的真子集而111x xmxmxm，所以 有 1 1 3 1 1 2 m m ，解得 14 23 m，所以m的取值范围是 1 4 , 2 3 . 温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此 类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正 反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件本例涉及参数问题，直接解决较为困 难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉 及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破 解此类问题的关键 【素养提升之思想方法篇】 -转化与化归思想 转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转 化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、 旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。 转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1) 判断命题真假: 原命题和其逆否命题同真同假,原命 题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等 【典例】已知命题p： x20， x100， 命题q：1mx1m，m0，若q是p的必要而不充 分条件，则m的取值范围为 _ 【答案】9，)