1、A、等差数列知识点及经典例题一、数列由4与S”的关系求册由S求4时，要分n=1.和nN2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为巴=an-=(m+1)w；2S,分析：(I)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化，而后利用句与S”的关系求解。=4+2:+1.=3(art1.):1=3,解答：(I)-G+I-3%十2,+1.二数列an1.为等比数列,公比q=3,又a1=2-Qn+=71+1.0n+1=23r1.=23-1.VrM=(九+1)1,(2)-7b-n-1j一=3,/,%1.a_Iea累乘可得=,X-1)X
2、2)X3X2X1=11!.故册=!.由崂g得S,=(&、2)(3) Z6a2肝_Qq_(为+2M(%I+2当B2时，4Sn-Sn-I-gg，8=(nan14)(-),(n,I)(11-an-4)=0VnO,71.O,1.-o4=0,即4=4,二数列%为等差数列，且公差d=4.寸C(+2)又=Si=，O二=2ja=2+4(n一D=4九一2.二、等差数列及其前n项和(一)等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，%4=d(常数X2),第二种是利用等差中项，即24=4+%52)2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。(1)通项法：若数列册的通项公式为n的一次函
3、数，即%=An+B,则%是等差数列；(2)前n项和法：若数列的前n项和S“是S,=A/+B的形式(A,B是常数)，则4是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。k例已知数列%的前n项和为S“，且满足5“Sm+2S“Sm=0(2),%=;(1)求证：工是等差数列；(2)求的表达式。分析：(1)S“SI+2S“SI=0与；一的关系结论；(2)由的关系式S”的关系式a”St1.解答：(1)等式两边同除以SjS得-工+2=0,BP-=2(n2).是以二,二2及n-1CfCrCfCfCrCf为首项，以2为公差的等差数列。1111(2)由(1)知=+(n-1)d=
4、2(n-1)2=2n,.*.S=,当nN2时，a2SS1:SSn2nnn-12n(n-1.)又.=g,不适合上式，故。=0,.斯一斯1=；,于是斯是等差数列，故斯=1+(1.I)士=(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式4二%+(n-1)d及前n项和公式Sn=、4+%)=M+51)d,共涉及五n22个量,猴，d,n,S“，“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为91.=4+%4=+(1)4,故数列2是等差数列。n222nK例1已知数列%的首项为二3,通项=
5、2+夕(双*,夕为常数)，且尤1，X4,看成等差数列。求：(1) PM的值;(2)数列%的前n项和S的公式。分析：（1）由七二3与3，/成等差数列列出方程组即可求出夕应；（2）通过Z利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由玉=3得2p+q=3又羽=24p+4,x5=25p+5q,且X1.+x5=2x4,得3+22+5=+由联立得=1.q=1。（2）由（1）得，Z=2+S”.T一.z,*.w=2222（1“23n）=I9.（1）乙J乙.（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,若d0,则数列递增；若dO,dO,且满足，前n项和S最大；1.10aO,且满足n),求鼠+
6、解答：设首项为生,公差为d,z1r-,n-m1(1)由根=凡=根，a=-1m-n.*.am+nam+m+n-rri)d=+x(1.)=O.m=nai（2）由已知可得qn-mai2m(m1)d2,解得d=22n+m+mn-m-nmn-2(m+n)mnOz、(m+11)(m+11-1.),/、Si=+)q+2d=-(m+n)【例】已知数列斯的各项均为正数，S”为其前项和，对于任意的N*,满足关系式2Sn=3斯一3.(1)求数列斯的通项公式；(2)设数列瓦的通项公式是为=藤W嬴，前八项和为，求证：对于任意的正整数人总有1.解当n=1.时,由2Sn=3an3得,2a=3a3,6Z1=3.当；时，由2
7、S=3b一3得，2Sn-=3an-3.两式相减得：2(SnSn-)=3an3an-1,即2an-3an-3an-,.an=3an-i,又.=30,斯是等比数列，=3.验证：当扑=1时，Q1.=3也适合念=3”.斯的通项公式为an=3n.(2)证明*b11-=iVjq11+iIog31.og3+11.og33111.og33111 1(11+1.)11nn+1.,*Tk=+211bn=d-+-)+-等差数列习题1 .设a为等差数列，S为2的前刀项和，S=7,515=75,已知Tn为数列2的前刀项数，求Tn.n2 .已知数列%是等差数列，其前n项和为S“，的=6,S3=i2.（1）求数列%的通项公
8、式；（2）求111S1.S?Sr1.12.解：设数列4的公差为，则S=T721+?（771）d.7a+21=7,：f=75,k为+105d=75f3=2d=1S11.*.=3+(7?-1)d=2-(771)弟一弓=g数列弓是等差数列，其首项为一2,公差为今：.Tn=n,(-2)11292=47?477114.解：（1）设数列%的公差为d,由题意得方程组%+2d=63x2，解得3a1+-d=121,二数列%的通项公式为%=%+(一1.)d=2扑，BPan-2n.d=2(2)，：an=2n,.*.Sn=n(n+1).1FHSIS?SnF12111+1.123+F1n(n+1)=1B、等比数列知识点
9、及练习题等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定判定方法有：(1)定义法：若色旦=乡为非零常数）或&=久q为非零常数且n2）,贝耳4是等比数列;anan-1.（2）中项公式法：若数列%中，%W。且心+=%+2（N*）,则数列凤是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成%=c（gq均为不为。的常数，N*）,则数列为是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列4的前n项和S=h/-左（左为常数且左0,q0,1.）,则数列4是等比数列；注：（I）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可
10、Ok例在数列/中，q=2,%+=4%-3zt+1.N*。(1) 证明数列4是等比数列；(2) 求数列4的前n项和%(3) 证明不等式Sz+14S,对任意neN*皆成立。解答(1)由题设an+1=4an-311+1.,得an+1.-(zz+1)=4(-11),11N*。Xa1-1=1,所以数列a11-n是首项为1,且公比为4的等比数列。(2)由可知%-=4t,于是数列也的通项公式为%=4t+*所以数列为的前n项和_4J1.J5+1)-032(3)对任意的N*,S+1_4S.=+S+I)S+2)_4+一(+D=_,(3/+_4)0，所以不等式n+in323221+4S1对任意wN*皆成立。(二)等
11、比数列的的运算等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量。1，n,q,%,Sr,显然，“知三求二”，通常列方程(组)求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。k例设数列出的前n项和为且么=2-2%数列4为等差数列，且4=14,%=20。(1) 求数列的通项公式；7(2) 若%=与么SN*),7；为数列%的前n项和，求证：Tnn+,24-i-(4-)?V=64-2(3n-1.)77117.n=-y.(y)w
12、n(y)n-11.1.q1.当广H或时.叫是递减数列.1.71.当Q=I时，数列%是常数列.当qSzt成立的最小正整数牝an-1.-(-1.-1)解析：当m1.时，3i=-14;当刀三2时，a=SS=-5a+5a+1.,所以6,又2-1=-150,所以数列缶-1是等比数列；an-1.=-15f-,1=1-15/-Sn=75f-+-90由知：,得16；,从而16；(7N*)；212171g5-+1149由1.S,得J5,53,最小正整数m1.5.【其他考点题】1、设为(7N*)是等差数列，S是其前77项的和，且S5S8,则下列结论错误的是(C)A.0B.37=Oc.5Sd.S与S均为S的最大值
13、解析：由WW得为+a+&+a531+为，.,.0,又&=S,.*.3i+32=3+a2+36+37,37=0,由S&,得0,由题设切=0,0,显然C选项是错误的。2、1 +2+3HFnIimn11(C)（八）2(B)4(C)I(D)O)03、已知a、b、C成等比数列，a、x、b和b、y、C都成等差数列，且xyO,那么3的值为Xy（八）1(B)2(C)3(D)44、已知等差数列/的前n项和为Sn=p/_2+q(p,qH).N(I)求9的值；(II)若包与as的等差中项为18,b11满足4=21og2，求数列的h前口项和。(I)解法一：当=1时，%=S=p-2+q,当2时，ann=P?-2n+q-p(n-I)2+2(-V)-q=2pn-p-2Y是等差数列，p-2+q=2p-p-2,.q=04分解法二：当=1时，I=?-2+%当2时，a11=Sn-S-1=p112-2n-q-p(j-V)2+2(j-V)-q=2pm-p-2当3时，1=2pn-p-2-2p(n-1.)-p-2=2pa2=p-2+q+2p-3p-2+qa2=2p2-p-2=3p-2所以3-2+q=3夕一2,得q=0.4分=+6(II)解：,32,%=18又。3=6一一2二.62一夕一2二18p=4-,.ar=Sn-6又a11=2iog26得么=2.324-4=2bn24n-32,-16,1,即是等比数列。所以数列也的前项和
