1、例5/0求矩阵Q的IIQIIi,IlQbIIQllOO与Cond2(Q),其中111-11-11-1-111-1-11；分析这实际上是根本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答(1)由定义，显然IiQh=4因QTQ=41,lll2=Aa(r)=4=2(3)由定义显知Q%=4(4)因QTQ=41,故QT=,Q从而(QT)T(QT)=。丁416Q-ill2=4aJ(,)(Q,)=jma(而07)=jma(J)=所以Cond2(C)=IieH2-H,ll2=2i=l例512设有方程组AX=b,其中(1)U02A=221,b=-22)23j它有解X2_30.如果右端有小扰动Il劭L=glO-
2、6,试估计由此引起的解的相对误差。分析此题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出ColKL（八）,再由有关误差估计式即可算得结果。解答容易求得Jl1-PAT=211.5,从而COndS（八）=22.21-1?由公式上竺JLCondyz（八）有IlXIlxIIbL-22.5X2=1.6875X105股XlR2/3例5/3试证明矩阵A的谱半径与范数有如下关系O（八）A其中IIAll为A的任何一种算子范数。分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。证明由特征值定义，对任一特征值有AX=X(X0,特征向量)取范数有
3、lAX=.IIXII由于范数IlAll是一种算子范数，故有相容关系AXAIIXII从而.XAIIXII由于X0,故A,从而P（八）HAH例5J8设A,B为n阶矩阵，试证Cond(AB)Cond（八）Cond(B)分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。证明Cond(AB)=IIABHH(B)-iIIAllIl3|Il8TATIIIAIIiIBIIlIblHIATlI=IlAlllIdIIBIITId二Cond（八）Cond(B)例519设A,B为n阶非奇异矩阵，卜|表示矩阵的任何一种算子范数，试证Il4-JbII47|bHU4-BIl分析由矩阵范数的根本性质即可推证。证明(1)A-xA=I,
4、因为卜Il是算子范数，故Il4IRI=1-,A0,i=l,2,n；(2) A?也对称正定；。俨4/=2,3,心;(4) maxIa，maxaii。2i.jnj2i.j0,i=l,2,，n其中4=(0,0,瓜,O)7为第i个单位向量。(5) 由A的对称性及消元公式得故Az也对称。又即叫=IIA0A2J其中-114一:.j显然Ll非奇异，从而对任意的xW),有1.0,(x,L1ALx)=(LX,ALx)0由A的正定性)故Zq4L；正定。all0又L/=11,而0,故A2正定。0Ao(3)因A正定，故au0,故由消元公式有喏)=ali-lf=aii-aii,i=2,39-,nan11(4)先设=ma
5、xI2)I,取,”2iJnhux=(0,.,0-f0,Qsign&T),0,0)r那么X7Xx=W)-2afp+2;0,与A2正定矛盾,故/,WoJoJnmaxI碍)H噬|2i,jnj典由(1),有I。翁I=maxI婿)max出=maxaij|mi2n2n20o(2)对任何实数c,有cxA=yl(cxYA(cx)=cyxrAx=cxa(3)因A正定，故有分解A=LLT,那么IlXIlA=(XTAr户=(XTLzZx户=(LTX)/(L7X)户=IIrx2故对任意向量X和y,总有IIfIIA=IlLTa+y)Il2=Il+yIl2SlIl2+Il2Ha+11jIIa综上可知，IlXllA=(/A
6、X/是一种向量范数。例515设A=(%),x.证明IIAII=I是一种矩阵范数。i=j=证明IIAII=TW%O,且IlAIboOA=0。/=1=1(2)对任意实数c,有IleAII=%I=ICIW为I%I=IclIlAIlr=IJ=Ii=lJ=I(3)lA+B=传+&I+%I=IIA+B=1j=li=lj=17=1IlABW=%i=j=Jt=I/=1=lA=I()()HIAIl-IlBII=l*=1*=1J=I故IIAIl是一种矩阵范数。003010Ill100DIOlOl例5-19计算COnd（八）8及Cond(DA%;其中111110IO21IO2IO4此结果说明了什么？10000-HO
7、O10-1100Illl-1110-111解A-1=!8910MIL=Ioioi,IIATllooiI=瞿oV1U故COnd（八）OO=IIATILllIIAlLj叫:Huo125968910111333DA=110100IllIllIll110010000JOlOl1010110101_100040703367-297297297(DAy1=1003737336727027027014073367_297029702970_Cond(DA)xJlDAIIJIl(DA)Th=IX砺r28计算结果说明了用对角阵左乘A可以改善其条件数。例 5-202.0001 -1 ,b = -217.OOO3-
8、7Ax=b的精确解为x=(3,-l).(1)计算条件数Cond（八）x;(2)假设近似解元=(2.97,7.01)计算剩余向量=而；(3)利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比拟。此结果说明了什么？解 (1)0000 10000 - 200 201Cond(A)a2 =U ATiIJIIAk40001 3.0001 120012r = b-Ax =-7.0003 2.0001k -2-1T2.971 I-LOl0.05 -0.05(3)由事后误差估计式，右端为而左端Cond(A)00IIHIxINL120012 0.057.(XX)3 857.192IImIlxL().03= 0.
9、01这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余IIrIl很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用IlrII大小作为检验解的准确度是不可靠的。-2-1-例5-21设对称正定阵A二,试计算A/2,A2和COnd(A”,且找出b(常数)及扰动-12b,使Illl2Ilxll2=Cond(A)2IlMIl2TmT2-21解|一Al=矛-4；1+3,故4=1，4=3,从而1%2IlAII2HA2=3,HX-1H2=I11=1Cond（八）9=山=32U1I假设xx=y,A(x+x)=b+b取b=(l,l)T,b=(l,l),那么解Ax=b,即-2-ITx1Il12X21-2,KKoIMIL=：2,又AT=TT
10、2|_-122_故lA-L=三tlI乂I6+3,Cond（八）00=HA-IIJIAIl=(.K2+42 2从而当I2I=时，即4二1时，COnd（八）R有最小值，且minCond（八）c=7,-12例24A=o3 4求MIP,P=I,2,8(2)求A的谱半径夕（八）。(3)求三个非零向量X,分别满足M%=MMp,p=L2,8解ML=max(4,6)=6HL=max(3,7)=7,T1014ArA=o1420由IAAa/l=。，得;l2-3(M+4=(h解得;l=15,故2=15+22i.(2)由A-%=0,得;12542=0,解得;l=,(5而)，故2p（八）=(5+33)oY(3)假设满足
11、MXll=网凶，的解X存在，那么y=ji-,y,=也满足PpIIxIIpIlAYIIp=IIAIIpIIyIIp=IIAllpo故按题目要求,只须求出满足IlXIIP=I的解。这时,有IIXII1=Ix1RIx21=1,IIAXII1=Ixi+2x2+3x1+4I=IIAIL=6.解此方程组得耳=0,1/1=1。Xa0=max(x1,x2|)=1,IlAXso=max(x1+2x2,3x1+4x21)=HAH90=7.解此方程组得E=X2=1。记a=P(A7A)是ATA的最大特征值，X是相应的特征向量，且|X|l2=x：+x；=l，那么HAXH=(AX,AX)=(AAX,X)=(2X,X)=2
12、P(ATA)=IlA|；这说明X即为所求。令AZX=AX,即31：Z+同力。得fl4x2=(522)x1,4二14二14x1=(-5+22)x2,W522=代入$2+君=1,得14(522)此X=(x1,x2)就是满足IlAXII2=IIAII2JIX2=1的向量。33.Hilbert矩阵1-31-41-5 1-21-31-4 1 1-21-3(1)计算H3的条件数condx（三）.111347Y(2)解方程HaX=,一,一二b时，假设H3及b有微小误差(取3位有效数字)，估计解3V6126JX的误差11网”Il XIL35.填空题(1) X =(2,3,-4)、那么IlXII产，IIXII
13、2=，IlXL=(2) A =-3：，那么IIAlI尸，P(A) =33.解(1)9-3630-36192-18030-180180IIH3 II.二? Jl HTlL= 408, 6所以COrKL(H3)=748。(2)方程组在H3及b有微小变化时为1.000.5000.3330.5000.3330.2500.3330.2500.200简记为(“3+阳3)(X+水)=6+仍，它有精确解为X+=(1.089512538,0.487967062,1.491002798)而H3X=b的精确解X=(l,l,I)T,于是A二(0.0895,-0.5120,0.4910)11ll0.18103c()也以而7而408l-4080.0002(0.0002)+0.00182)0.8974=89.74%O这个估计结果比实际误差大是合理的。35.解IlXIh=9,X心=后,|XL=40(2)IlAIll=4,/XA)=1(|Z-=(2-1)2,1,2=D。
