高考数学新题型附解析选编(七).pdf
高考数学新题型附解析选编（七） 1、 在4×9× =60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和。 答 案 ： 设 两 数 为x 、 y ， 即4x 9y=60 ， 又 60 )94( ) 11 ( 11yx yxyx =) 94 13( 60 1 x y y x 12 5 )1213( 60 1 ，等于当且仅当 x y y x94 ，且 4x9y=60，即 x=6 且 y=4 时成立，故应分 别有 6、4。 2、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜 坐标系平面上任意一点P 的斜坐标定义为：若 12 OPxeye（其中 1 e、 2 e分别为斜坐标系的x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，x、yR） ，则点 P 的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy 中，若60xoy ， 已知点 M 的斜坐标为(1, 2)，则点 M 到原点 O 的距离为. 7 3、 定义运算符号： “ ” ，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×× n 记作 n i i 1 ， n i in aTNn 1 ).(记，其中 ai为数列)(Nnan 中的第 i 项. 若12nan，则 T4= ； 105； 若 nn aNnnT则),( 2 . 2 1 ) 1 (, 2; 1,1 n n anan n 4、如图 ,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 、N、P分别为棱 AB、BC、DD 1的中点 . （1）求二面角B1-MN-B 的正切值； （2）证明： PB平面 B1MN ； （3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4 个正方形连成一个长方形”的条件. 符合条件的正方体表面展开图可以是以下6 种情况之一 . 答案： 5、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9 月份至11 月份使用疫苗的所 有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的 数量平均为90 万只 6、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和 斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质： （1）斜边的中线长等于斜边边长的一半； （2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； （3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：. 答案： (1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一； （2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方； （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 月份养鸡场（个数） 9 20 10 50 11 100 各养鸡场注射 了疫苗的鸡的 数 量 平 均 数 （只） 鸡（万只） 月份 91011 1 5.1 2 7、定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个 2121, xxxx，均有 2121 xxkxfxf 成立，则称函数xf在定义域D上满足利普希茨条件。若函数1xxxf满足利普希茨条件， 则常数k的最小值为 2 1 。 8、已知函数y=f(x)满足 f(a-tan )=cot -1， （其中， a、 R 均为常数） （1）求函数y=f(x)的解析式； （2）利用函数y=f(x)构造一个数列xn，方法如下： 对于给定的定义域中的x1，令 x2= f(x1)，x3= f(x2)， xn= f(xn-1)， 在上述构造过程中，如果 xi(i=1,2,3, )在定义域中， 构造数列的过程继续下去；如果 xi不在定义域中， 则构造数列的过程停止. 如果可以用上述方法构造出一个常数列xn，求 a 的取值范围； 如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列x n，求 a 实数的值 . 解： （ 1）令 tan , cot1. xa y 则 tan, cot1. ax y ×，并整理，得y= xa ax1 ， y=f(x) = xa ax1 ， （x a）. 4 分 （2）根据题意，只需当x a 时，方程f(x) =x 有解， 亦即方程x 2+(1-a)x+1- a=0 有不等于的解 . 将 x=a 代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a. 由 =(1-a) 2-4(1-a) 0 ，得a -3 或 a1 ， 即实数 a 的取值范围是(, 31,). 9 分 根据题意， xa ax1 =a 在 R 中无解， 亦即当 x a 时，方程 (1+a)x=a2+a-1 无实数解 . 由于 x=a 不是方程 (1+a)x=a2+a-1 的解， 所以对于任意xR，方程 (1+a)x=a2+a-1 无实数解， a= -1 即为所求a 的值 . 14 分 9、已知 x0，由不等式 1 x x 2· 1 x x =2， 2 4 x x = 2 4 22 xx x 3 2 4 3 2 2 x x x =3, ，启发我们可以得出推广结论： n a x x n+1 (nN *)，则 a=_ nn _ 10、已知存在实数 , （其中 Z,0 ）使得函数 )cos(2)(xxf 是奇函数，且在 4 ,0上是 增函数。 （1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意； （2）求出所有符合题意的与的值。 解： （ 1）猜想： 2 1 或 2 2 ；-4分 由 2 1 知xxxfsin2) 2 cos(2)(，而xxfsin2)(为奇函数且在 4 ,0上是增函数。 -6分 由 2 2 知xxxf2sin2) 2 2cos(2)( ，而xxf2sin2)(为奇函数且在 4 ,0 上是增函数。 -8分 （2）由)(xf为奇函数，有),cos(2)cos(2),()(xxxfxf 所以0coscos2x，又0cos,0cos,xRx， 解得Zkk, 2 。-10分 当)(2Znnk时，)sin(2) 2 2cos(2)(xnxxf为奇函数， 由于)(xf在) 4 , 0(上是增函 数 ， 所 以0， 由 2222 xx， 又)(xf在) 4 ,0(上 是 增 函 数 ， 故 有 02, 24 , 2 , 2 ) 4 ,0( ， 且1,Z或2， 故 ., 2 2 ,21 Znn 或 。 -12分 当)(1(2Znnk时，)sin(2) 2 )1(2cos(2)(xnxxf为奇函数， 由于)(xf在) 4 ,0( 上是增函数，所以0，由 2222 xx，又)(xf在) 4 ,0( 上是增函数，故有 20 , 24 , 2 , 2 ) 4 ,0( ， 且1,Z或2 ， 故 ., 2 )1(2 ,21 Znn 或 -14分 所以所有符合题意的与的值为： ., 2 2 ,21 Znn 或 或 ., 2 )1(2 ,21 Znn 或 -16分
