2020届高三文科数学总复习课件：5.2　平面向量的数量积及平面向量的应用 (数理化网).pptx

§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用,高考文数（课标专用）,考点清单 考点一 平面向量的数量积 考向基础 1.两向量夹角的定义和范围,2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3.平面向量的数量积,4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e= |a|·cos . (2)当a与b同向时, a·b=|a|b| ;当a与b反向时, a·b=-|a|b| . 特别地,a·a= |a|2 . (3)|a·b|a|·|b|. 5.坐标表示 若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|= .,考向突破 考向 求平面向量的数量积,例1 (2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则a·b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5,解析 解法一:|a+b|= ,a2+2a·b+b2=10. 又|a-b|= ,a2-2a·b+b2=6. -,得4a·b=4,即a·b=1,故选A. 解法二:记m=a+b,n=a-b,则|m|= ,|n|= ,且a= (m+n),b= (m-n),则a·b= (m+n)·(m-n)= (|m|2-|n|2)=1.,答案 A,考点二 平面向量数量积的应用 考向基础 1.向量数量积的应用 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,aba·b=0x1x2+y1y2=0. (2)求解夹角问题,常利用夹角公式:cos = = (其中 为a与b的夹角). (3)求线段长度问题,常利用向量的模长公式:|a|= = 或| |=,. 2.向量中常用的结论 在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)在 = 的条件下,存在使得I为ABC的内心; a +b +c =0P为ABC的内心. (2)| |=| |=| |P为ABC的外心. (3) + + =0G为ABC的重心. (4) · = · = · P为ABC的垂心.,考向突破 考向一 求平面向量的夹角,例2 已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),则向量a与向量b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,解析 a(a-b),a·(a-b)=a2-a·b=0. |a|=1,a·b=a2=1, 又知a·b=|a|b|cos,|b|= , cos= , = ,故选B.,答案 B,考向二 求平面向量的模,例3 已知平面向量,|=1,|=2,(-2),则|2+|的值是 .,解析 由(-2)得·(-2)=2-2·=0, 所以·= , 所以(2+)2=42+2+4·=4×12+22+4× =10, 所以|2+|= .,答案,方法技巧 方法1 平面向量模长的求解方法 利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用,要掌握此类问 题的处理方法: 1.a2=a·a=|a|2或|a|= . 2.|a±b|= = . 3.若a=(x,y),则|a|= 或|a|2=x2+y2.,例1 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC= 90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则| +3 |的最小值为 .,解题导引,解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0), 设P(0,y),C(0,b),则B(1,b). 所以 +3 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y), 所以| +3 |= (0yb), 所以当y= b时,| +3 |取得最小值5.,答案 5,方法2 平面向量夹角的求解方法 1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos = ,其中两个向量的夹角 0,求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系. 2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos = . 3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定 理和三角形的面积公式等内容进行求解.,例2 (2019届河南豫北名校10月联考,14)已知a,b是两个非零向量,且|a| =|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 .,解题导引,解析 设a与a+b的夹角为,由|a|=|b|得|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|得|b|2=|a-b|2, 则a·b= |a|2,|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,|a+b|= |a|. cos = = = = . 又知0, = ,即a与a+b的夹角为 .,答案,一题多解 如图,设 =a, =b,则 =a-b,以a,b为邻边作平行四边形 OADB,则由题可知四边形OADB为菱形,且AOB=60°,故a与a+b的夹角 为AOD=30°.,方法3 用向量法解决平面几何问题 1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的 问题;通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 把运算结果转化成几何关系. 2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐 标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂 的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.,例3 在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60°,E为CD的中点.若 · =1,则AB的长为 .,解题导引,解析 解法一:由题意可知, = + , =- + . 因为 · =1,所以( + )· =1, 即 + · - =1. 因为| |=1,BAD=60°, 所以 · = | |, 因此式可化为1+ | |- | |2=1. 解得| |=0(舍去)或| |= , 所以AB的长为 . 解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D,作DMAB于点M. 由AD=1,BAD=60°,可知AM= ,DM= , D . 设| |=m(m0),则B(m,0),C , 因为E是CD的中点,所以E . 所以 = , = .,由 · =1可得 + =1, 即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或m= . 故AB的长为 .,答案,