【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线三种弦长问题的探究.doc

圆锥曲线三种弦长问题的探究在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究：一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，求椭圆的方程；弦AB的长度.思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：由被椭圆C截得的弦长为，得， 又，即，所以. 联立得，所以所求的椭圆的方程为. 椭圆的右焦点，的方程为：， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，从而，由弦长公式，得，即弦AB的长度为点评：本题抓住的特点简便地得出方程，再根据得方程，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，则有，两式相减，得又则，所以所求直线AB的方程为，即.解法2：设AB所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又P是AB的中点，所以所求直线AB的方程为.由 整理得，则有弦长公式得，.点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、）另解：椭圆的右焦点，的方程为： ， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，由过右焦点，有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.