【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中常见不等关系的确立.doc

圆锥曲线中常见不等关系的确立圆锥曲线中的范围问题，是一个难点问题，这类问题涉及的知识范围广，条件隐含，能力要求高，同学们对这类问题往往思路不清，不会建立元素之间的关系（不等关系），本文将介绍解决这类问题的几种常用方法，供同学们在复习中参考。一、利用点与曲线的位置关系建立不等关系例1、已知椭圆C的方程试确定m的取值范围，使得对于直线，在椭圆C上有不同的两点关于该直线对称。分析：由题可得关于直线对称的两点P、Q的中点在直线上，且PQ所在的直线与的交点在椭圆的内部，利用点在椭圆的内部求解。解析：设是椭圆C上的关于直线对称的不同的两点，M（x,y）是弦PQ的中点，因为点P,Q都在椭圆上，故有，由-得即，又，则有，所以，即，联立方程组解得交点M。因为点M在椭圆内，所以，解得。点评：本题的解法可概括为，先寻求问题中涉及的基本量将其化归为点与曲线的位置关系，在利用点与椭圆的位置关系点在椭圆内部；点在椭圆外部；点在椭圆上，来建立不等式或不等式组求解。二、利用曲线本身的范围建立不等关系例2、已知椭圆，长轴的两端点是A、B。若椭圆C上存在点Q，使，求离心率e的范围。分析：先寻求问题中涉及的基本量及的利用途径，将其化归为曲线方程的基本量a、b、c的范围问题，再利用曲线本身的范围求解。解析：设Q（x,y），由椭圆的对称性，不妨设Q在x轴的上方，即y>0，易知，由得又点Q在椭圆上，故有 所以由，得，因为（当y=0时，点Q与A（或B）重合），所以，由（短半轴的范围），得，即所以，又，点评：充分利用圆锥曲线自身的范围是解决范围问题的方法之一，根据圆锥曲线的范围建立相应的不等式，从而求出参数的取值范围。如在焦点在x轴上的椭圆中有：，等。三、利用判别式建立不等关系例3、设P是椭圆C：上的一点，、是焦点，且，求它的离心率e的范围。分析：本题涉及到焦点三角形，并且是直角三角形，可考虑联系椭圆的定义、勾股定理去建立关于e的不等关系。解析：由椭圆的定义得 ，在中，由勾股定理得 ，由、化简可得 ，由、，根据一元二次方程根与系数的关系，可知是方程的两根，则有，所以，即，又，故。点评：本题的解法可概括为先找到题目中的已知量，与椭圆的定义相结合，将看作一元二次方程的两个根，由方程的判别式大于等于零，找到不等关系。总之，在圆锥曲线中，涉及到求范围，或求最值问题时，往往考虑要找到题目中的等量及不等关系，有时不等关系题目当中直接给出，有时需要挖掘题目中的隐含条件，有时也用基本不等式或函数的单调性，平面几何知识，构造方程利用方程根的分布等建立不等关系。这就要求同学们在平时的学习中多积累，多练习，掌握通性通法。