【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中的取值范围最值问题.doc

圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知分别是双曲线=l（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若 ,且的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为。 （I）求椭圆的方程； （）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值90.解：设，不妨P在第一象限，则由已知得 解得（舍去）。设椭圆离心率为 可设椭圆的方程为 （）当AB 当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，由已知得代入椭圆方程，整理得 当且仅当时等号成立，此时当 综上所述：，此时面积取最大值85.已知曲线C的方程为，F为焦点。（1）过曲线上C一点（）的切线与y 轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间的关系；（2）若在（1）的条件下P点的横坐标，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线的距离，圆M能覆盖三角形APN，当圆M的面积最小时，求圆M的方程。85.74.已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点一动圆过点，且与直线相切() ()求椭圆的方程； ()求动圆圆心轨迹的方程；() 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值74.解：()()由已知可得，则所求椭圆方程.()由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为. ()由题设知直线的斜率均存在且不为零设直线的斜率为，则直线的方程为：联立 消去可得 由抛物线定义可知:同理可得 又(当且仅当时取到等号)所以四边形面积的最小值为.69.如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，。（）求直线l和抛物线C的方程；（）抛物线上一动点P从A到B运动时，求ABP面积最大值69.解：（）由得, 设则因为= 所以解得 所以直线的方程为抛物线C的方程为（）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，APB面积最大，所以 所以此时到直线的距离 由得，ABP的面积最大值为（）方法2：由得， 9分设 ，因为为定值，当到直线的距离最大时，ABP的面积最大，因为，所以当时，max=，此时 ABP的面积最大值为66.椭圆与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点， （I）求椭圆的方程； （II）若椭圆上两点E、F使面积的最大值66.解：（I）根据题意， 设A解得 （）设 由-得直线EF的方程为即并整理得， 又 当63.已知椭圆C，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程； （）设点，求的最大值. 63. （）解：设A(x1, y1)， 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得， 则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或. （）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则所以，则当直线AB的斜率不存在时，其方程为，此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为，由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得所以， 则，所以，当时，等号成立, 即此时取得最大值1. 综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1. 50.已知点A是抛物线y22px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知AKAF，三角形AFK的面积等于8 （1）求p的值； （2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H.求GH的最小值50.解：（）设，因为抛物线的焦点，则，而点A在抛物线上，.又故所求抛物线的方程为.6分（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.设的方程为，则的方程为.48.椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程48.解：设椭圆的方程为直线的方程为， ，则椭圆方程可化为即，联立得 （*） 有而由已知有，代入得 所以，当且仅当时取等号 由得，将代入（*）式得所以面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。 （1）已知椭圆的离心率； （2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.46.解：（1）由题意可知直线l的方程为，因为直线与圆相切，所以=1，既 从而 （2）设则j当 此时椭圆方程为k当 解得但故舍去。综上所述，椭圆的方程为 25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.25.解：（） 直线相切， 椭圆C1的方程是 （）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 点M的轨迹C2的方程为 （）Q（0，0），设 ，化简得 当且仅当 时等号成立当的取值范围是8. 8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围 【解】（）点A代入圆C方程，得m3，m1圆C：设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即直线PF1与圆C相切，解得当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4F1（4，0），F2（4，0）2aAF1AF2，a218，b22椭圆E的方程为： 2（），设Q（x，y），即，而，186xy18则的取值范围是0，36的取值范围是6，6的取值范围是12，012. 12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点（）若，求证：曲线是一个圆；（）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围【解】（）证明：设直线与曲线的交点为 即： 在上，两式相减得： 即： 曲线是一个圆 （）设直线与曲线的交点为，曲线是焦点在轴上的椭圆 即： 将代入整理得： ， 在上 又 2 15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 设点P的轨迹方程为c。 （1）求点P的轨迹方程C； （2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q坐标为求QMN的面积S的最大值。15.【解】（1）设 （2）t=2时， 25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.25.解：（） 直线相切， 椭圆C1的方程是 （）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 点M的轨迹C2的方程为 （）Q（0，0），设 ，化简得 当且仅当 时等号成立当的取值范围是37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线（）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；（）若点在轴右边，求面积的最小值37.解：(1) 设，由已知，设直线PB与圆M切于点A，又，(2) 点 B（0，t），点，进一步可得两条切线方程为：，又时，面积的最小值为