【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法.doc

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） 【复习目标】 1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； 2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。【基础练习】1到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A B C D2已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C两条射线 D以上都不对3设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( ) A椭圆 B线段 C. 不存在 D椭圆或线段4动点P与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为_.【例题精选】一、 直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。例1已知中，试求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。点P的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。例1C：内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P，求点P的轨迹方程.例2设动点到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；练习若动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。例1、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 针对练习一、客观题1平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( ) A椭圆 B一条射线 C两条射线 D一条线段2平面上动点到定点的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程为( )A B C或 D或3已知抛物线的方程为，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M在此抛物线上运动, 点N与点M关于点A(1, 1)对称, 则点N的轨迹方程为（ ）A B C D4动点P在抛物线上移动，则点P与点连线中点M轨迹方程是_.5一动点P到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，则点P的轨迹方程是 .二、解答题6动圆M过定点P（4，0），且与圆C：x2 + y28x = 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。、7已知抛物线= x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA =12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程8.已知数列an的前n项和为Sn，点在直线上，数列bn满足，b3=11，且bn的前9项和为153.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设，记数列cn的前n项和为Tn，求使不等式对一切nN*都成立的最大正整数k的值19.（本题满分14分） 已知点C(1，0)，点A、B是O: x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。 (1)求点P的轨迹T的方程； (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由20、(本题满分14分) 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,（1）求点P的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。一、知识概要：1. 定义法: 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。2. 直接法:根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。二、基本训练：1、已知ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？答: . 2、若, 则点M的轨迹方程是 . (注意区别轨迹与轨迹方程两概念)三、例题：例1、两根杆分别绕着定点A和B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直,求两杆交点的轨迹方程.例3、过点，作直线l交双曲线于A、B不同两点，已知。（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：（1）、设直线l的方程为，代入得，当时，设，则，设，由，则，解之得 再将代入得（1）当时，满足（1）式；当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；当时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。当不存在时，A、B坐标分别为，不满足上式。又化简得：，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。课外作业：1已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线2如图,已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点，则线段AC的垂直平分l与线段CB的交点P的轨迹方程是 .3已知,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C的轨迹方程是 .6*ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为 .8 (06全国)在平面直角坐标系xoy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x, y轴的交点分别为A、B，且向量。求点M的轨迹方程.9如图, 过A(-1,0),斜率为k的直线l与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。一、知识概要：代入法（相关点法）有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。二、基本训练：1、双曲线有动点P，F1, F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的轨迹方程。例2、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。由于OM平分AOP，故M分AP的比为： = = 3 由定比分点公式，得， 即，由于x 1 2 + y 1 2 = 1， 故 ，即 。 故所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆。例3、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 错解分析: 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题。 技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。 解: 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程。课外作业：1( 01上海) 设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。2若动点P在y =2x2+1上移动,则点P与点Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程是 。 3P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则F1F2P的重心G的轨迹方程是 。一、知识概要：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。二、基本训练：1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为 .三、例题：例1、（2006年深圳一模）过抛物线y2 = 4 px ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA和OB。求AB中点P的轨迹方程。例2、过点M( -2, 0)作直线L交双曲线xy = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。例3、已知常数，经过定点以为方向向量的直线与经过定点，且以为方向向量的直线相交于点，其中 求点的轨迹的方程，它是什么曲线； 若直线与曲线相交于两个不同的点、，求曲线的离心率的范围解: (1) （用交轨法）过以为方向向量的直线方程为：过以为方向向量的直线方程为：由消去得：的轨迹为双曲线分(2)联立方程消去得分依题意有，即又分课外作业：1设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 2已知椭圆+= 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C是椭圆上的动点, 求ABC的垂心H的轨迹方程。3*. 过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。5*已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R (1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值 8如图11-5-1，已知圆： 点，为圆上任意一点，直线与垂直，并交圆于另一点.POx yABCD图11-5-1 （1）求证：； （2）若点在线段上，且，求点的轨迹方程.