【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线对称问题.doc

圆锥曲线的对称问题问题1：点P(x，y)、P(x，y)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？Q点是P与P的中点，即满足问题2：P(x，y)，P(x，y)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P和P的中点是原点即x=-x且y=-y问题3：若P和P关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x且y=-y问题4：若P和P关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y且x=-x问：若P和P关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？y=x且x=y问题5：双曲线与的位置如何？它们关于直线y=x对称问题6：若P与P关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？P和P必须在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称,及P和P到直线Ax+By+C=0的距离相等问题7：P与P到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？就是P与P的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0问题8：两点P(x，y)、P(x，y)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？应满足两个条件第一个条件是PP的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P的中点应落在直线Ax+By+C=0上这两个条件能否用方程表示：方程组：方程组中含有x，y，也可认为这是一个含x，y的二元一次方程组换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P(x，y)的坐标今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性但也还有其他方法，大家一起看下面的例题例1  已知直线和关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若的方程是3x-2y+1=0，求的方程(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设的斜率为，由两条直线的夹角公式可求出，再用点斜式求得的方程解：由得交点(0，)，设的斜率为，由两直线的夹角公式得： =由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0另解：在直线上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出的直线方程。解  由方程组：得交点(0，)，在直线上任取一点P(1,2)，找P关于22+1=0的对称点P(，)，如图。从得。P（，）由直线2210与的交点（0，）得直线的方程：4630另解：在上任取一点P(，)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P(x，y)在上，列出P，P的方程组，解出x，y，代入问题就解决了解  设P(x，y)为上的任意一点，则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P(x，y)在上(如图2-75)，得：又因为P(x，y)在直线：3x-2y+1=0上，所以3·x-2y+1=0的方程为：4x-6y+3=0问题9：如果把改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？引申：已知曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程可先在y=x2上任取一点P0(x0，y0)，它关于直线的对称点P(x1，y1)，可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可(如图2-76)解  设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)由得交点由中点坐标得：2，2，代入曲线C得：2(2)，于是可知所求的对称曲线方程是：=+4+6解法二：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上得代入C的方程可得=+4+6例2 已知点A(0,2)和圆C：(-6)+(-4)=，一条光线从A点出发射到轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程(如图2-77)解  已知点A关于x轴的对称点为A(0，-2)，所求的路程即为|AD|。在RtACD中，|AD|=|AC|-|CD|。|AD|=光线从A点到切点所经过的路：|AM|+|MD|=。变式1：若已知A(0，2)，D(4，1)两定点，在x轴上求一点P，使得|AP|+|PD|为最短先过A(0，2)关于x轴的对称点A(0，-2)，连结AD与x轴相交于点P，P为所求(如图2-78)因为A，A关于x轴对称，所以|AP|=|AP|，这时|AP|+|PD|=|AD|为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P处，那么，连结AP、AP和PD这时|AP|+|PD|=|AP|+|PD|AD|理由(三角形两边之和大于第三边)所以|AD|为最短即P为所求变式2：已知点A(0,2)和圆C：(-6)+(-4)=，M和P分别为轴和圆C上的动点，求|AM|+|MP|的最小值。先作A点关于x轴的对称点A(0，-2)，连结A和圆心C，AC交x轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小(如图2-79) 由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|AM|+|MP|最小解：A点关于x轴的对称点为A(0，-2)，连AC交x轴于M，交圆C于P点，因为A(0，-2)，C(6，4)，所以|AC|=|AP|=|AC|-R=6-。(R为圆半径)|AM|+|MP|的最小值为例3  若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围如图2-80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。解方程组：得AB中点C的坐标(-，)。联立消去得-(+1)=0。 (*)依题意(*)式=1+4(+1)>0，且=-1，再由>0得>解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方程组：+0=，代入=1得关于的二次方程：，由>0得>。练习：1一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线对称，求直线l的方程(2+5=0)2ABCD是平行四边形，已知点A(-1，3)和C(-3，2)，点D在直线x-3y-1=0上移动，则点B的轨迹方程是_。(3+20=0)3若光线从点A(-3，5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B(3，9)，则此光线所经过的路程长是_。(12)4已知曲线C：y=-+2关于点(，2)对称的曲线是C，若C与C有两个不同的公共点，求的取值范围(-2a15设、是椭圆的两焦点，P是直线=1上的点，求|+|的最小值及相应的点P的坐标。(4，P()题目1过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，MAQ垂心的轨迹方程解  如图2-81所示P为AMQ的垂心，连OQ，则四边形AOQP为菱形，所以|PQ|=|OA|=2，设P(x1，y1)，Q(x0，y0)于是有x0=x1且=2，因为(，)为已知圆上的点，可得：+(2)=4，重心P的轨迹方程是：+(2)=4，除去(0,0)、(0,4)两点。题目2若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围解  (如图2-82)设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线=(3)对称，AB中点为M(，)，显然0，则。则，=将(，)代入直线方程得：=由知，、是方程的根。由>0得(2+1)(62+1)<0<。题目3 求证：抛物线=1上不存在关于直线=对称的两点。证明  如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且，、R，则：两式相减得：+=2，=2，再代入前一式得+2+2=0其判别式=48<0。所以R这与题设矛盾。PQ两点不存在。5练习4，5题的参考解答：4题解设P(x，y)是曲线y=-x2+x+2上任一点，它关于点(a，2a)的对称点是P(x0，y0)，则x=2a-x0，y=4a-y0，代入抛物线C的方程便得到了C的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)联立曲线C与C的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由0得-2a15题略解：如图2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1关于直线x-y=1的对称点为F1(3，-6)，直线F1F2的方程为2x+y=0，代入x-y=1解得：P()此时|+|4。