二元一次方程应用题13种经典习题剖析.pdf

考点一-二元一次方程概念与解法 例 1已知 x2， y1 是二元一次方程组 mxny8， nxmy1 的解，则 2mn= 例 2小明和小佳同时解方程组 132 5 nyx ymx ，小明看错了m，解得 2 2 7 y x ，小华看错了n，解得 7 3 y x ，你能知道原方程组正确的解吗？ 总结分析：灵活学会“方程解”概念解题。 【巩固】 已知方程组 256 a4 xy xby - 和方程组 3516 8 xy bxay 的解相同， 求 2014 (2)ab 的 值。 考点二 -解决实际问题 列方程 (组)解应用题的一般步骤 1、审：有什么，求什么，干什么； 2、设：设未知数，并注意单位 ； 3、找：等量关系； 4、列：用数学语言表达出来； 5、解：解方程 (组 ) 6、验：检验方程 (组)的解是否符合 实际 题意 7、答：完整写出答案(包括 单位 ) 列方程组思想 ： 找出相等关系“未知”转化为“已知”. 有几个未知数就列出几个方程， 所列方程必须满足：(1) 方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一； (3) 方程两边的数值要相等. 列二元一次方程-解决实际问题 甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而 行， 1 小时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后 调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖 拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关 系，是行程问题的常用的解决策略。 【变式 】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。 二、 工程问题 三个基本量的关系： 工作总量工作时间×工作效率； 工作时间工作总量÷工作效率； 工作效率工作总量÷工作时间 甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1 ” 。 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需 付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成， 需付两组费用共3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？ (2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24 天完成，单独请哪组，商店 所付费用最少？ 总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统 一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工 程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。 【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需 工钱 5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成， 需工钱 4.8 万元 . 若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应 选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 三：商品销售利润问题 利润问题：利润 =售价 进价，利润率 =（售价 进价）÷进价×100% 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可 获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为4% ，乙商品的利润率为5% ，共可 获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？ 【变式 】某商场用36 万元购进A、B 两种商品，销售完后共获利6 万元，其进 价和售价如下表： AB 进价（元 / 件）12001000 售价（元 / 件）13801200 求该商场购进A、B 两种商品各多少件； 四、银行储蓄问题 银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间， 税后利息 =本金×利率×时间本金×利率×时间×税率 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行 共存了2000 元钱，一种是年利率为2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款，一年后可取出2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少 钱？（利息所得税利息金额×20% ，教育储蓄没有利息所得税） 【变式 】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存 了 4000 元钱 .第一种，一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同， 这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年 利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息303.75 元(不计利息税 )，问小敏的爸爸 两种存款各存入了多少元？ 五、生产中的配套问题 产品配套问题：加工总量成比例 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ， 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【变式 】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面， 用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方 桌？ 六、增长率问题 增长率问题：原量×（1 增长率） =增长后的量 原量×（ 1 减少率） =减少后的量 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增 加了 20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780 万元， 去年的总产值、 总支出各是多少万元？ （1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 【变式 2】某城市现有人口42 万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增 加 1.1%，这样全市人口增加1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口。 七、和差倍分问题 和差倍总分问题：较大量=较小量 +多余量，总量 =倍数×倍量 “爱心”帐篷厂和“温暖” 帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震 灾区急需帐篷14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加 班加点， “ 爱心 ” 帐篷厂和 “ 温暖 ” 帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“ 爱心 ” 帐 篷厂和 “ 温暖 ” 帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 【变式 】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如 果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比 红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？ 八：数字问题 首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到 一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数， 已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。 【变式 】一个两位数， 十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字 与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9， 求这个两位数？ 【变式 】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数 字减 1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列， 求原三位数。 九：浓度问题 溶液×浓度 =溶质 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液 的酒精与水的比是41，今要得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg，问 甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 【变式】 一种 35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓 度为 35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药 800 千克？ 十、几何问题 必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽 分别是多少？ 【变式 】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补 到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 十一、年龄问题 人与人的岁数是同时增长的 今年父亲的年龄是儿子的5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父 亲和儿子的年龄各是多少？ 【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现， 12 年之后，他的 年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄. 二、优化方案问题： 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗 加工后销售，每吨利润可达4500 元； 经精加工后销售， 每吨利润涨至7500 元. 当 地一家农工商公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对 蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨；如果进行细加工，每天可加工6 吨. 但 两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批 蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直 接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完 成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【变式 】某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种不 同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种 每台 2500 元。 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去9 万元，请你 研究一下商场的进货方案； (2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、200 元、250 元， 在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？