合肥一中2019年高考冲刺最后一卷--理数.pdf

合肥一中 2019 年高考冲刺最后一卷 数学试题（理科） （考试时间： 120 分钟满分： 150 分） 注意事项： 1选择题用答题卡的考生，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目 用 2B 铅笔涂写在答题卡上。 2选择题用答题卡的考生，答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在 试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第I 卷时，每小题选出答 案后，填在答题卷相应的选择题栏上。 3答题卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位 置；答题时，请用0.5 毫米的黑色签字笔直接答在答题卷上，不要在试题卷上答题。 参考公式： 如果事件A、B 互斥，那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS 如果事件A、B 相互独立，那么 P(A· B)=P(A) ·P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k 3 3 4 RV球 次的概率 knkk nn PPCkP)1 ()(其中 R 表示球的半径 第 I 卷（选择题，共50 分） 一、选择题： （每小题5 分，共 50 分） 1已知(12sin)(2cos3) (0),zi是纯虚数 则= （） A 6 B 3 C 5 6 D 5 66 或 2如图是将二进制数111111（2）化为十进制数的一个程序框图， 判断框内应填入的条件是（） A5iB6i C5iD6i 3已知集合|(1)()0,|1|AxxaxBxx集合 |2| 3,(), R xC ABRa且则实数的取值范围是 （） A(,2)B( 1,) C1，2 D 1,1)(1,2 4已知向量(3,1),(2, 1),/ /OAOBOCOA ACOB， 则向量OC= （） A （1， 3）B （ 1，3） C （ 6， 2）D （ 6，2） 5已知函数( )sin(2 )() 3 f xxxR，下面结论错误的是（） A函数的最小正周期是B函数( )fx的图像关于直线 5 12 x对称 C函数( )f x的区间, 64 上是增函数D函数( )f x的图像关于点(,0) 6 对称 6等差数列,0. nn and的前 项和为 S 公差若存在正整数(3), mm m maS使得则 “ * ()nm nN”是“ nn Sa”的（） A既不充分也不必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D充要条件 7设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与圆 22 (3)1xy只有一个公共 点，则双曲线的离心率为（） A 3 2 B3 C 6 2 D3 8正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线 AD 、B1C、 A1C1都相交的直线 （） A有且仅有一条B有且仅有两条 C有且仅有三条D有无数条 9第四届全国体育大会期间，5 名志愿者被安排参加三个 不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一 人参加的安排方法有（） A60 种B150 种 C240 种D540 种 10已知函数 1 |1|,(,2) ( ), 1 (2),2,) 2 xx f x f xx 则函数( )( )1F xxfx的零点个数为 （） A4 B5 C6 D7 第卷（非选择题，共100 分） 二、填空题（每小题5 分，共 25 分） 11从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量分别为（单位：克）x、127、y、125、123， 且平均质量为125，则该样本方差s2的最小值为。 12已知实数x、 y 满足 20 11 43120,( )( ) 24 330 xy xy xyz xy 则 的最小值为。 13对任意的实数a、b，0,| 23 | 23 | |(|1|1|)aababaxx不等式，则 实数 x 的取值范围是。 14由 x 轴、y 轴和直线1 34 xy 围成的三角形的三边与曲线 cos () sin xa yb 为参数共 有 4 个公共点，则动点（a，b）所形成区域的面积为。 15已知矩形ABCD 中 AB=4 ，BC=3，将其沿对角线AC 折起，形成四面体ABCD ，则以下 命题正确的是：（写出所有正确命题的序号） 四面体ABCD 体积最大值为 24 5 ； 四面体ABCD 中， ABCD； 四面体ABCD 的侧视图可能是个等腰直角三角形； 四面体ABCD 的外接球表面积是25 三、解答题（本题共75 分） 16 （本题满分12 分） 已知 ABC 中，()(sinsin)sin,cos2cos1cos().baBAaBCCAB又 （I）试判断 ABC 的形状； （II）求cosC的值。 17 （本题满分12 分） 如图所示，是合肥一中教学区示意图，现有甲乙丙丁4 人来校加全国中学语文十校 论坛， 4 人只能从校门进入校园，甲丁必从同一校门进校，甲乙丙3 人从哪个校门进校 互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的。 （I）求仅有一人从西大门进入学校的概率； （II）设 4 人中从西大门进入校园的人数为随机变量，求的数学期望和方差； （III ）设随机变量 3(,0,1,2,3) ( ), 4(,0,1,2,3) xx x xE xx x 求 的最大值。 18 （本题满分12 分） 如图，ABC 和 A1AC 是正三角形， 平面 A1AC 底面 ABC ， A1B1/AB ， A1B1=AB=2 ， （I）求直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值大小； （II）已知点 D 是 A1B1的中点，在平面 ABCD 内搁一点E，使 DE平面 AB 1C，求点 E 到 AC 和 B 的距离。 19 （本题满分12 分） 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线 已知抛物线C 的方程为 2 00 (0,0).(,)yaxaxM xy点是 C 上任意点， 过点 M 作 C 的切线 l，法线 m。 （I）求法线m 与抛物线C 的另一个交点N 的横坐标 N x取值范围； （II）设点 F 是抛物线的焦点，连接FM，过点 M 作平行于y 轴的直线n，设 m 与 x 轴的 交点为 S，n 与 x 轴的交点为K，设 l 与 x 轴的交点为T，求证 SMK= FMN 20 （本题满分13 分） 已知函数 2 ( )4ln 2 a f xxxx有两个极值点。 （I）求实数 a 的取值范围； （II）若存在实数a，使函数( ) ,2f xb b在区间上单调递增，求实数b 的取值范围。 21 （本题满分14 分） 数列 2 22 12 2 1 1,2,1,2,3, 1 nn n n n aa aaan aa 满足 （I）求证： 1 1 ,(1,2,3) nn n aan a （II）求证：2132 n nan； （III ）令 1 1 ,(1,2,3,), n nnn a bnbb n 判断与的大小，并说明理由。 合肥一中 2019 年冲刺高考最后一卷 数学( 理) 参考答案 一、选择题： ACCBC DDDBC 二、填空题： 11. 8 5 12. 1 64 13. 2,2 14. 476 12 15. 三、解答题： 16.( 本小题满分 12 分) 解：( ) 由cos2cos1cos()CCAB得coscos()1cos2CABC， 2 cos()cos()2sinABABC，即 2 sinsinsinABC，根据正弦定理， 2 abc， ，又由正弦定理及()(sinsin)sinbaBAaB可知 22 baab，由得 222 bac， 所以ABC是直角三角形，且90B； 8 分 ()90AC， 2 sinsinsinsincosCABAC， 从而 2 coscos10CC，解得 15 cos 2 C或 15 cos 2 C( 舍去)，即 15 cos 2 C. 12 分 17.( 本小题满分 12 分) 解：( ) 112 12 128 ( ) ( ) 3327 PC， 即仅有一人从西大门进入学校的概率是 8 27 ； 4 分 () 0 1 2 3 4 P 3 2 ( ) 3 112 2 12 ( ) ( ) 33 C 22 1212 ( )()( ) ( ) 3333 12 2 12 () ( ) 33 C 3 1 ( ) 3 886414 01234 27272727273 E； 340 243 D 8 分 ()当0x时，(0)0E；当1x时， 43 (1) 27 E；当2x时， 66 (2) 27 E； 当3x时， 47 (3) 27 E；当4x时， 36 (4) 27 E； 综上，当2x时， max 66 ()(2) 27 EE 12 分 18.( 本小题满分 12 分) 解：平面 1 A AC底面ABC，作 1 AOAC 于点O， 1 AO底面ABC. 又 11 2A BAB，ABC和 1 A AC是正三角形，知 1 60ABCA AC， 1AO， 1 3OAOB，BOAC 2 分 故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 (0, 1,0)A，( 3,0,0)B， 1(0, 3,0)A，(0,1,0)C， 1 (0,1,3)AA. 由 11 AABB ，可得 1( 3,1, 3) B. 1 ( 3,2,3)AB，(0,2,0)AC 设平面 1 ABC 的法向量为( , ,1)nx y，则 1 3230 20 n ABxy n ACy ， 解得( 1,0,1)n 由 1 1 1 36 cos, 4| | 2 2 AA n AA n AAn 6 分 而 1 AA 与平面 1 ABC 所成角，即向量 1 AA 与平面 1 ABC 的法向量所成锐角的余角， 所以 直线 1 AA 与平面 1 ABC 所成角的正弦值为 6 4 ； 7 分 (几何方法也，对照给分 ) ()连接 1 AB ，取AC中点O，连接 1 AO 、BO， 易得 1 AOAC ，所以AC平面 1 AOB ， 1 ACAB, 又四边形 11 AAB B是正方形，所以 11 ABAB, 又 1 A BAC, 1 AB平面 1 ABC , 过D作 1 /DFAB , 很明显DF交AB于E，此时 点E到AC和B的距离分别是1、 3 3 2 . 12 分 19.( 本小题满分 13 分) 解：( ) 易得直线 m的方程： 00 0 1 () 2 yyxx ax 与 2 yax 联立得 22 0 0 1 0 22 x axax axa ， 2 002 1 2 N xxx a ， 0 2 0 1 2 N xx a x ， 易得 22 (,) 22 N x 即 N x 取值范围是 22 (,) 22 ； 6 分 ()由题意得l的方程 000 2()yyaxxx，令0y得 0 2 T x x， 0 (,0) 2 x T 此时T到直线 n的距离为 0 | 2 x ，又MF方程： 2 0 0 1 1 4 (0) 4 ax a yx ax ，设T到MF 距离为d，则 2 00 0 0 222 00 1 |()| 424 | 2 1 () 4 xx ax x aa d xax a ， TMKFMT，SMKFMN. 13 分 20. ( 本小题满分 13 分) 解( ) 2 141 ( )4(0) axx fxaxx xx ，由题意：0a，又 当0a时， 1 0 a ，( )0fx两根异号，不合题意； 当0a时， 2 0 a 可知1640a，即04a， 此时由( )0fx得 1 24a x a ， 2 24a x a ， 4 分 由下表 x 1 (0,)x 1 x 12 (,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx+ 0 - 0 + ( )f x 故当04a时，函数( )f x的两个极值点 . 6 分 ()结合( ) 可得“(0,4)a，使 2 410axx 对 ,2xb b恒成立” ， 由 ,2(0,)b b得0b，又 22111 4( )4(2)4 xxx 恒成立， 1 2 x 1 2 2 b,或 1 2 b，从而 1 2 b .( 其它解法参照给分 ) 13 分 21. ( 本小题满分 13 分) 解：( ) 由于 1 1a， 2 2a， 2 21 2 1 1 nn nn aa aa ，易知对1n ，0 n a. 当1n 时， 2 21 2 1 1 nn nn aa aa 可得 211 22 1 11 nnnn nn aaaa aa ，从而 21 1 1 11 nn nn nn aa aa aa ， 依此递推可得 112 21 21 2 1 1111 1 1 nn nn nn aaa aaa aaa ，从而 1 1 nn n aa a ，(1,2,3,)n 4 分 ()显然，由 1 1a， 1 1 nn n aa a 可知：1n ，1 n a 成立，即 2 1 01 n a ,， 当2n 时， 222 11 2 11 11 ()2 nnn nn aaa aa ，故 22 1 23 nn aa,，于是 22 1 23 nn aa, 22 12 23 nn aa, 22 23 23 nn aa, 22 32 23aa , 22 21 23aa , 将经上各式相加得 22 1 2(1)3(1) n naan,，即得 2132 n nan剟；(亦可用数学归纳法 ) 9 分 ( ) 解法一： 12 2 1 1 11 (1)(1) 21111 nn nn n bannn banannn 2 2 2(1)2(1)44 1 (21)441(21)1 n nnnnn nnnnn ，故 1nn bb . 13分 解法二： 211 11 1 11 () 11 nnn nnn n aaa bba a nnnn 2 1 11 11 (1)(1)(21) (1)(1) n nn nnn annnn n nan na , 1 1 (1)(21) (1)(1) n nnnn n nnn a 1 1 (1)(1) (1)(1) n n nn n nnn a 1 1 (1)0 (1) n nn nnn a 所以 1nn bb . 解法三： 222 222211 112 1 11 (2) 11 nnn nnn n aaa bba nnnan 2 1 2 1 111121 (2)(2) 1121 n n an nannnn 111 ()0 1 21nnn 从而 22 1nn bb ，因此 1nn bb .