中考数学复习必备教案：等腰三角形.pdf

中考数学复习必备：等腰三角形 知识点回顾 知识点一 : 等腰三角形的性质等边对等角 等腰三角形的两个底角 . 例 1： （2009 年贵州黔东南州）如图，在ABC中， AB AC ，点 D 在 AC 上， 且 BDBC AD ， 则 A等于 （） A 30 o B 40 o C 45 o D 36 o 分析： 根据等边对等角的性质可知：ABCC，BDCC，BAD ABD因此就有ABCCBDC，因此若设Ax，则有BADABDx，BDC ABCC2x所以可列方程：x+2x+2x180°可以解得x36° 同步检测一： 1. 在 ABC中，AB AC ，若 A70°，则 B °，C°若 B40°， 则 A° 2. （ 08 嘉兴）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（） 50° 80° 50°或 80° 40°或 65° 知识点二：等腰三角形的性质三线合一 等腰三角形的、互相重合。 例 2：如图，在ABC中，ADAE，BDCE，求证：ABAC 解： 过点A作AFBC ADAE，DFEF， BDCE，BFCF AF垂直平分BC ABAC 同步检测二： 1. 在 ABC中， AB AC ， D为 BC的中点， B70°， BC 10 ，则 BD ， BAD ° 知识点三：等腰三角形的判定等角对等边 在 ABC中，如果 A B，则有 例 3：如图，已知BD是 ABC的角平分线， DE BC交 AB于 E， 求证： BED是等腰三角形 A B C D E F A B C D E 解： BD是 ABC的角平分线 ABD CBD DEBC CBD BDE ABD BDE BEDE BED是等腰三角形 同步检测三： 1. 在 ABC中 A50°， B80°， BC10 ，则 AB 知识点四：等边三角形的性质与判定 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等且都等于° 都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有 一个角是的等腰三角形是等边三角形 例 4: 如图，C为线段 AB上一点， ACD ，CBE是等边三角形， AE与 CD交于点 M ，BD与 CE交于点 N，AE交 BD于点 O 求证： AEBD AOB 120° CMN 是等边三角形 分析： 根据等边三角形的性质可用SAS证明 ACE DCB ，则得AE BD同时可得 CEA CBD ，因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得AOB AEB EBO AEC CEB EBO OBC CEB EBO BEC CBE 60° 60° 120°易知 DCE 60°，故只需证MCE NCB即可 . 同步检测四： 1若 ABC是等边三角形，D为 AC的中点，则DBC ° 2下列三角形： 有两个角等于60°的三角形；有一个角为60°的等腰三角形；三个外角（每个顶点 处各取一个外角）均相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中 可以确定是等边三角形的是。 知识点五：含30°的直角三角形的性质 在 Rt中， 30°的角所对的直角边等于斜边的 O N M E D C B A 例 5： 如图，有一块形状为等边ABC的空地， DE 、EF 为地块中的 两条路，且D 为 AB的中点， DE AC ，EFAB ，现已知AE 5m ，你 能求出地块EFC的周长吗？ 分析： 易知 EFC 为等边三角形，则只需求出其边长即可。而由含 30°的直角三角形的性质可求出AD 10m ，从而得AB为 20m ，进而 得 CE为 15m 。 同步检测五： 在 RtABC中， CD是斜边 AB上的高，若A30°， BC 2 ， 则 BD ， AD 随堂检测： 1等边三角形ABC中， D为 AC的中点，延长BC到 E，使 CE CD ，若 AB 10，则 BE 2如图，已知OC平分 AOB ，CD OB ，若 OD 3 ，则 CD 3等腰三角形的一个外角为140°，则这个三角形的顶角为° 4等腰三角形的两边长分别为9 和 4，它的周长为 5 ABC中， A B C123，AB 10 ，则 BC 6如图， ABC中， AB AC ， B30°， EF垂直平分AB如 CF 8，则 BF 7 （ 09 广西河池）如图，在RtABC中，90A，AB=AC8 6，点E为AC的中点， 点F在底边BC上，且FEBE，则CEF的面积是（） A 16 B 18 C 6 6 D 7 6 D C B A 第6题图 F E CB A 第2题图 第1题图 O D C B A E D C B A C B F A E 图 D C B A F E D C B A 第 9 题图 8 （ 09 重庆）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm，则其腰上的高 为 cm. 9 （ 09 重庆）如图，在梯形ABCD 中， ADBC,AB AD DC,B60o. (1) 求证： AB AC ； (2) 若 DC 6, 求梯形 ABCD 的面积 . 10. （09 湖北宜昌）已知：如图， AF平分BAC，BCAF， 垂足为E，点D与点A关于点E 对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M (1) 求证：AB=CD； (2) 若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由 FM P E D C B A 参考答案： 115；23；3 40°或 100°； 417 或 22；5. ； 6： 7； 832；9证明： (1) AD BC，AB=DC B=60° DCB B60° DAC ACB 又 AD=DC DAC DCA DCA= ACB 0 060 30 2 B+ACB 90° AB AC （2）过点 A作 AE BC于 E B60° BAE 30°又 AB=DC 6 BE=3 22 3693 3AEABBE ACB 30°， AB AC BC=2AB=12 11 ()(612) 3 327 3 22 SADBCAE 梯 10解： (1) 证明：AF平分BAC，CAD=DAB= 1 2 BAC D与A关于E对称，E为AD中点 BCAD，BC为AD的中垂线，AC=CD 在 RtACE和 RtABE中， （注：证全等也可得到AC=CD） CAD+ACE=DAB+ABE=90°，CAD=DAB ACE=ABE，AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB） AB=CD (2)BAC=2MPC， 又BAC=2CAD，MPC=CAD AC=CDCAD=CDAMPC=CDA MPF=CDM AC=AB，AEBC， CE=BE（ 注： 证全等也可得到CE=BE）AM为BC的中垂线，CM=BM （ 注：证全等也可得到CM=BM） EMBC，EM平分CMB，( 等腰三角形三线合一) CME=BME （注：证全等也可得到CME=BME） BME=PMF，PMF=CME，MCD=F( 三角形内角和) 注：证三角形相似 也可得到MCD=F 同步练习： 1如图，已知ABC是等边三角形，AD BC，CD AD ，则 ACD ，若 AD 2 ，则 ABC的周长为 2等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A顶角 B顶角的一半 C顶角的两倍 D底角的一半 3如图，在ABC中 ， C90°， ABC 60°， BD平分 ABC ，若 AD 6，则 CD 4若等腰三角形的一个内角为50°，则其底角为 5 （ 09 青海）方程 2 9180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长 为（） A12 B12 或 15 C15 D不能确定 6（09 包头） 如图，在ABC中，1202 3ABACABC，° ， A与BC相切于点D ，且交ABAC、于MN、两点，则图中阴影 部分的面积是（保留） 7 （ 09 呼和浩特）在等腰ABC中，ABAC，中线BD将这个三角形的周长分为15 和 12 两 个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A7 B 11 C7 或 11 D7 或 10 8 （09 湛江）如图，在等边ABC中，DE、分别是ABAC、 的中点，3DE，则ABC的周长是（） A6 B9 C18 D24 9 （09 汕头）如图所示，ABC是等边三角形，D点是AC的 中点，延长BC到E，使CECD， （1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不 写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BMEM C A 第3题图 第1题图 D B D C B A A C B D E 第题图 A N C D B M A B C D E A B D C 10 （09 厦门）已知：在ABC中，ABAC(1) 设ABC的周长为7，BCy，ABx(2x 3) 写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象； (2) 如图，D是线段BC上一点，连接AD若BBAD， 求证：ABCDBA 11 如图，已知正三角形ABC中，BDCE ，AD与 BE相交于点P， 求证 APE 60° 如 EFAD ，则判断PF与 PE的大小关系，并给出证明。 12 （09 湖南常德）如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点， 易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕 A 点旋转到图10 的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不 成立请说明理由； （4 分） （2） 当ADE绕 A点旋转到图11 的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明， 并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由（6 分） P F E B C A D 图 9 图 10 图 11 同步练习参考答案： 112；2B；3 3；450°或 65°； 5C；6 3 3； 7C；818； 9 （ 1）作图见答案图， （2） ABC 是等边三角形， D是AC的中点， BD平分ABC（三线合一） ， 2ABCDBECECD， CEDCDE 又ACBCEDCDE， 2ACBE又ABCACB， 22DBCE，DBCE， BDDE又DMBE，BMEM 10 (1) 解：y72x(2 x3) 画图象略 (2)证明：ABAC，BC. BBAD，BADC. 又BB， BACBDA. 11证ABDBCE(SAS) ；BAP EBC,APEABE+BAPABE+EBC ABC60° 运用 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE2PF 12 （1）CD=BE理由如下 : ABC和ADE为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60 o BAE =BAC EAC =60 o EAC， DAC =DAE EAC =60 o EAC， BAE=DAC， ABE ACD CD=BE （2）AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD，ABE=ACD 答案图 A C B D E M 图 10 C N D A M E B DCB A M 、N分别是BE、CD的中点， BM= 11 22 BECDCN AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60 o AMN是等边三角形 设AD=a ，则AB=2a AD=AE=DE，AB=AC，CE=DE ADE为等边三角形，DEC=120 o ，ADE=60 o， EDC=ECD=30 o ，ADC=90 o 在 RtADC中，AD=a，ACD=30 o ，CD= 3a N为DC中点， 3 2 DNa， 222237 () 22 ANDNADaaa ADE，ABC，AMN为等边三角形， SADESABC SAMN 7:16:4 4 7 :4:1) 2 7 (:)2(: 222 aaa 解法二：AMN是等边三角形理由如下： ABE ACD，M 、N分别是BE 、CN的中点，AM=AN，NC=MB AB=AC，ABM ACN，MAB=NAC， NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60 o AMN是等边三角形 设AD=a ，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a 易证BEAC，BE=aaaAEAB3)2( 2222 ， 3 2 EMaaaaAEEMAM 2 7 ) 2 3 ( 2222 ADE，ABC，AMN为等边三角形 SADESABC SAMN 7:16:4 4 7 :4:1) 2 7 (:)2(: 222 aaa 图 11 C N D A B M E