高三数学教案：角的概念及任意角的三角函数.pdf
课题§4.1 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一知识精讲 角的概念和弧度制 1 角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。其 中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。 2 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3 在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴 上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。（注意前提条 件，否则不能从终边的位置来判断某角属于第几象限）。若角的终边 在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 4 与角终边相同的角的集合：Zkk,360 注：终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5 正确理解角：“900间的角”指的是：900； “第一象限的 角” ， “锐角”， “小于90 的角”，这三种角的集合分别表示为： Zkkk,90360360， 900 ， 90 。 6弧度制 规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数 为零。任一已知角的弧度数的绝对值 r l 。 这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值 r l 与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 7弧度与角度的换算：180 0= （弧度），1 弧度 =（ 180/）057018 。 8弧长公式，扇形的面积公式： rl ， 2 2 1 2 1 rlrS扇形 。 任意角的三角函数 1 定义：设是任意大小的角。 角的终边上任意一点p的坐标是yx,， 它与原点的距离是 )0(rr ，那么角的 6 个三角函数分别为： （略） 2 定义域，值域。三角函数值在每个象限的符号。 二重点、难点：任意角的概念和任意三角函数的定义； 三思维方式: 四特别注意： 问题讨论 例 1给出下列命题，其中正确的是 （1）弧度角与实数之间建立了一一对应（2）终边相同的角必相等 （3）锐角必是第一象限角（ 4）小于 90 0的角是锐角 （5）第二象限的角必大于第一象限角 A （1）B （1） （2） （5）C（3） （ 4） （5）D（ 1） （3） 【思维点拨】正确理解角：“ 900间的角”指的是：900； “第一象 限的角”， “锐角”， “小于 90的角”，这三种角的集合分别表示为： Zkkk,90360360，900 ， 90 。 例 2：已知 是第二象限的角 （1）指出 2 所在的象限，并用图象表示其变化范围；4 （2）若同时满足条件|+2|4，求 的取值区间。 解：依题意，2k+/2 2k+（kZ） （1）以 k+/4/2k+/2（k Z） ，若 k 为偶数，则 /2 是第一 象限的角；若k 为奇数，则 /2 是第三象限的角；其变化范围如图中 的阴影部分所示（不含边界） （2） 因为 |+2|4，所以 6 2，即 （ 2k+/2，2k+） 6， 2，结合数轴不难知道，（ 3/2， ）（ /2，2。 【思维点拨】除象限角、终边相同的角以外，还要注意理解区间角的概 念，并能掌握好 角的取值范围与2、/2 角的取值范围间的相互关系。 例 2：(1)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上， 终边经过点2, 1P，求 3 2 2sin 的值 . (2)已知角 的终边在直线y=3x 上，用三角函数的定义求sin与 cot 的值。 解： （1）由已知可得r=|OP|=5，所以sin= 5 52 ，cos= 5 5 。从而 sin2 =2sin cos= 5 4 ， cos2= cos 2-sin2= 5 3 ， 故 3 2 2s i n =sin2 cos 3 2 +cos2sin 3 2 = 10 334 。 （2）设 P（a，3a） ， （ a0）是角 终边 =3x 上一点，则cot= 3 3 。 若 a0，则 是第三象限的角，r 2a，此时 sin = 2 3 ； 若 a0，则 是第一象限的角，r2a，此时 sin= 2 3 ； 【思维点拨】1）注意用三角函数的定义解题；2）有参数时应分类讨论。 例 3： （1）确定 lg（cos6sin6）的符号； （2）若 2 cos1 sin + cos sin1 2 =0，判断 cos（ sin） ?sin（cos）的 符号。 解： （1） 6 是第四象限的角，cos60，sin60，故 cos6sin60； （ cos6sin6）2=1-2sin6cos61， cos6sin61， lg（cos6sin6） 0 （2）由题意可得 cos |cos| |sin| sin =0， sin ?cos0，故 在第二或 第四象限。 若 在第二象限，则0sin1，-1cos0， cos（ sin） 0， sin（cos） 0；原式 0。 若 在第四象限，则-1sin 0，0cos1， cos（sin） 0， sin（cos） 0；原式 0。 【思维点拨】 判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的 角不好判定所在象限时，可转化成用度来表示。 例 4：P(51_)例 1:(1)若是第二象限的角,则sin( ) (sin) com com 的符号是什么 ? (2) 已知 3 4 ， 3 ，求 2的范围。 解：设 2-=A（+） +B （-） ，（A， B 为待定系数） ， 则 2-= （A+B ） +（A-B ）。比较两边的系数得A= 2 1 ，B= 2 3 ；2-= 2 1 （+ ）+ 2 3 （ -） ，从而可求得2 6。 【思维点拨】解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出、的 范围，再求2的范围比实际范围要大。 (备用 )例 5： （1） 已知)( 5 cosNn n nf ， 求)2 0 00()2() 1(fff的值。 （2）已知 sin= 3 1 ，sin（ +） =1，求 sin（2 +）的值。 解： （1）条件中的 5 n 表示 10 条不同终边的角，这10 条终边分成5 组，每 组互为反向延长线，所以f（1）+f（ 2）+,+f（10）=0；f（11）+f（12）+, +f（ 20）=0； , ； f（ 1991）+f（1992）+,+f（2000）=0；故 f（ 1）+f（2）+, +f（ 2000）=0。 （2） sin（ +）=1， +=2k+ 2 ， sin（ 2+）= sin2（ +）-= 3 1 。 【思维点拨】分组考虑与整体代入是常用的技巧。 课堂小结：
