河北省衡水市2019届高三高考模拟统一考试(数学理).pdf

2019 年衡水市高考模拟统一考试 理科数学 说明： 1. 本试卷共 4页，包括三道大题，22道小题，共 150分. 其中第一道大题为选择题. 2. 所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读 答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3. 做选择题时，如有改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 4. 考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件 A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP球的表面积公式 2 4 RS如 果事件 A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP其中R表示球的半径 如果事件 A在一次试验中发生的概率是P，那么球的体积公式 3 3 4 RV n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 knkk nn PPCkP)1()()2, 1 ,0(nk 一选择题 : 本大题共 12小题，每小题5分，共 60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一 项是符题目要求的。 (1) 复数 i i 21 2 等于 Ai2 Bi Ci Di2 (2) 设 0 2 1 0 2 1 0 2 1 25coslog,25sinlog,70tanlogcba， 则它们的大小关系为（） A bca B . acb C . cba D. cab (3) 在 ABC中，已知 5 cos 13 A， 3 sin 5 B，则cosC的值为 A. 16 65 B. 56 65 C. 16 65 或 56 65 D. 16 65 (4) 已知数列 na 的前 n 项和 2 9 n Snn，第 k 项满足58 k a，则 k 等于 A9 B 8C 7D6 (5) 正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E为 PC的中点， 那么异面直线BE与 PA所成角的余弦 值等于 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 (6) “函数( )f xxm在区间(,4为减函数”是“m=4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (7)将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多2 名，且甲乙两位老 师不在同一个班，则不同的分配方案有 A90 种B162 种 C180 种D 72 种 (8)过双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）的右焦点F作圆 222 ayx的切线 FM（切点为M） ， 交 y 轴于点 P. 若 M 为线段 FP的中点，则双曲线的离心率 A2B3C2 D5 (9)已知ABC中 ,点D是BC的中点 ,过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点 ,若 0AEAB,0AFAC,则 41 的最小值是 A.9B. 2 7 C.5 D. 2 9 (10) 已知函数)(xfy满足：是偶函数)1(xfy；在, 1上为增函数 , 若 0,0 21 xx, 且2 21 xx, 则)( 1 xf与)( 2 xf的大小关系是 A.)()( 21 xfxf B. )()( 21 xfxf C. )()( 21 xfxf D. 无法确定 (11) 已知公比不为1 的正数等比数列 n a的通项公式为 * ( )() n af nnN ，记其反函数为 1( ) yfx，若 11 (3)(6)7ff，则数列 n a的前 6 项乘积为 A. 3 3 B. 6 3 C. 3 6 D. 3 18 (12) 已知)(xf为R上的可导函数，且)()( / xfxf和)(xf0对于Rx恒成立 , 则有 A)0()2010(),0()2( 20102 feffef B)0()2010(),0()2( 20102 feffef C.)0()2010(),0()2( 20102 feffef D)0()2010(),0()2( 20102 feffef 二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分. （ 13 ） 对 任 意 的 实 数x， 有 323 0123 (2 )(2 )(2 )xaaxaxax， 则 2 a的 值 是. （14）设抛物线yx12 2 的焦点为F，经过点 P（2，1）的直线 l 与抛物线相交于A、B 两点， 又知点 P恰为 AB 的中点，则BFAF. （15）已知球的表面积为20，球面上有A、B、C 三点， AB=AC=2 ，BC=2 3，O 为球心，则 直线 OA与平面 ABC所成的角的正切值为. （16）已知x，y满足 0 4 1 cbyax yx x 且目标函数yxz2的最大值为7，最小值为， 则 a cba . 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分10 分） 已知向量)1 ,3(, 2 sin, 2 cosb xx a, 记 2 cos2 x baxf. （ I）若 2 , 0x, 求函数xf的值域 ; （ II）在 ABC中, 角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，若13Cf , 且acb 2 , 求Asin的值 . （18）(本小题满分12 分) 环保局决定对衡水湖的四个区域A、B、C、D 的水质进行检测，水质分为I、II、III 类， 每个区域的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有III 类或两次都是II 类，则该区域的水质不合格，设各区域的水质相互独立，且每次检测的结 果也相互独立，根据多次抽检结果，一个区域一次检测水质为I、II、 III 三类的频率依次为 6 1 , 6 1 , 3 2 （I）在衡水湖的四个区域中任取一个区域，估计该区域水质合格的概率； （II）如果对衡水湖的四个区域进行检测，记在上午检测水质为I 类的区域数为，并以水质 为 I 类的频率作为水质为I 类的概率， 求的分布列及期望 值. (19)(本小题满分12 分 ) 如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，1,2ABAD， 1,60 0 AFADC. （I） 求证：ACBF； （II）求 A 点到平面BDF的距离； （III）求二面角 AFDB的大小 . (20)(本小题满分12 分 ) 函数)(xf对任意x R都有)1 ( 2 1 )(xfxf （ I）求)( 1 () 1 ( * Nn n n f n f的值； （ II） 数列),1() 1 () 2 () 1 ()0( nnn af n n f n f n ffaa求数列满足的通 项公式 . （ III）令 n SbbbbT a b nnn n n 16 32, 14 422 3 2 2 2 1 试比较 Tn与 Sn的大小 . (21)（本小题满分12 分） 已知圆O：8 22 yx交x轴于BA,两点，曲线C是以AB为长轴，直线：4x为 准线的椭圆 （I）求椭圆的标准方程； （II）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于QP,两点，求证：直 线PQ必过定点E，并求出点E的坐标； （III）如图所示， 若直线PQ与椭圆C交于HG,两点，且HEEG3，试求此时弦PQ的长 P Q O A H G M X B y (22)（本小题满分12 分） 设函数 2 )1ln()(xxbxf （I）若对定义域的任意x，都有)1()(fxf成立，求实数b 的值； （II）若函数)(xf在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围； （III）若1b，证明对任意的正整数n，不等式 333 1 1 3 1 2 1 1) 1 ( n k f n k 都成立 . 2019年衡水市高考模拟统一考试 理科数学答案 一选择题：1-5 CAABD 6-10 BDADA 11-12 DD 二填空题 ： 13.6 14.8 15. 2 1 16.-2 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17解（ 1） 2 cos 2 sin2 2 cos32 2 xxx xf xxsin)cos1 (33 6 cos2x- - 2 分 2 ,0x, 366 x1 6 cos 2 1 x, xf的 值 域 为 32,31 . - -5 分 (2)133 6 cos2)(CCf 2 1 6 cos C, 2 ,0CC， - - 7 分 在ABCRt中， 2222 ,bacacb, 01 2 22 c a c a acac解得 2 51 c a 2 15 sin, 1sin0 c a AA. - -10 分 18 解： （I）该区域两次检测中，水质均为I 类的概率为 3 2 3 2 9 4 - 分 该区域两次检测中，水质一次为I 类，另一次为II 类的概率为 3 2 6 1 - 9 2 -分 该区域的水质合格的概率为 3 2 3 2 3 2 6 1 3 2 -分 （II）由题意可知，的取值为，- 分 （） i n C（ 3 2 ） i （ 3 1 ） i4 （，-10 分 随机变量的分布列为 81 1 81 8 81 24 81 32 81 16 -11 分 服从（， 3 2 ）， 3 2 3 8 . -12 分 19解：（1）易求3AC，从而 2 BACACD，由三垂线定理知:ACBF. -3 分 （ 2 ） 由 等 体 积 ABDFBDFA VV, 求 出7,2,5,BDBFDF由 勾 股 定 理 知 0 90BFD DFB为直角三角形， 2 10 52 2 1 DFB S, 2 3 120sin21 2 10 DAB S 设 A 点到平面BDF的距离为 hDABDFB SAFhS 3 1 3 1 ，求得h= 10 30 A到面BFD的距离是 10 30 . -7 分 （3）法一：设点A在面BFD内的射影为O，过A作AGDF于G，连结 GO 、AO. 则AGO为二面角AFDB的平面角 . -10 分 在 RT ADF 中由面积法求得 2 5 AG，由 (2) 30 10 AO，在 RTAOG中 所以 6 sin 4 AGO，所以求二面角AFDB的大小为 6 arcsin 4 . -12 分 法二：求出7,2,5,BDBFDF由勾股定理知 0 90BFDDFB 为直角三角 形，过A作AGDF于G，又过G作/GHBF交BD于H，连结AH.则易证AGH为 二面角AFDB的平面角-9 分 .在 ADF 中由面积法易求 2 5 AG，从而 4 , 5 DG于是 4 5 DG DF ， 所以 4 217 , 555 GHBHBD， 在BAD中由余弦定理求得 2 cos 7 ABD.再在BAH中由余弦定理求得 2 12 25 AH. 在AGH中 由 余 弦 定 理 求 得 10 cos 4 AGH， 所 求 二 面 角AFDB的 大 小 为 10 arccos 4 . - 12 分 20.解： （1）令) 1 () 1 ( 2 1 ) 1 1 () 1 ( 1 n n f n f n f n f n x得 - 2 分 （2）)1() 1 () 1 ()0(f n n f n ffan 又)0() 1 () 1 () 1(f n f n n ffan，两式相加 )0()1 () 1 () 1 ()1 ()0(2ff n n f n fffan 2 1n *)( 4 1 Nn n an, 2 1 )1 ()0( 1 ffa满足上式 . 故*)( 4 1 Nn n an-6 分 （3） na b n n 4 14 4 222 22 2 2 1 1 3 1 2 1 1(16 n bbbT nn ) )1( 1 32 1 21 1 116 nn ) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 (116 nn ) 1 2(16 n n S n 16 32所以 nn ST .当 n=1 时等号成立。 -12 分 21. 解： （）设椭圆的标准方程为 22 22 10 xy ab ab ，则： 2 2 2 4 a a c ，从而 2 2 2 a c ，故2b,所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy .-4 分 （）设( 4,)Mm，则圆K方程为 2 2 2 24 24 mm xy 与圆 22 :8O xy联立 消去 22 ,xy得PQ的方程为480xmy，所以直线过定点2,0E. -8 分 （）解法一：设 1122 ,G x yH xy，则 22 11 22 22 28 28 xy xy , 3EGHE， 1122 2,32,xyxy，即： 12 12 83 3 xx yy 代入解得： 2 2 8 3 2 3 x y （由图舍去正值） ，) 3 2 , 3 8 (),2, 0( 2 0 1 1 HG y x 1 GHPQ KK1 PQ k，所以:20PQ xy， 从而圆心0,0O到直线PQ的距离 2 2 2 d ， 从而 622 22 dRPQ. -12 分 解 法 二 : 将:PQ480xmy与 椭 圆 方 程 22 1 84 xy 联 立 成 方 程 组 消 去x得 ： 22 3216640mymy, 设 1122 ,G x yH x y，则 121 2 22 1664 , 3232 m yyy y mm . HEEG3， 1122 2,32,xyxy，所以 12 3yy代入韦达定理得： 2 2222 864 ,3 3232 m yy mm . 消去 2 y得： 2 16m，4m，由图得：4m. 所以:20PQ xy，以下同解法一. 22.解： （1）由 x + 10 得 x 1 f(x)的定义域为 ( - 1，+ ). 对 x( - 1，+ ),都有 f(x)f(1). f(1)是函数 f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0. ,0 2 2, 1 2)( /b x b xxf 解得 b= - 4. -4 分 （2） 1 22 1 2)( 2 / x bxx x b xxf. 又函数 f(x)在定义域上是单调函数f / (x) 0 或 f/(x)0 在( - 1，+ )上恒成立 . 若 f / (x) 0， x + 1 0， 2x2 +2x+b0 在( - 1，+ )上恒成立 . 即 b-2x2 -2x = 2 1 ) 2 1 (2 2 x恒成立 ,由此得 b 2 1 . -6 分 若 f / (x) 0, x + 10, 2x2 +2x+b 0,即 b-(2x2+2x)恒成立， 因-(2x 2+2x) 在 ( - 1， + )上没有最小值 . 不存在实数b 使 f(x) 0 恒成立 . 综上所述，实数b 的取值范围是, 2 1 . -8 分 （3）当 b= - 1 时，函数f(x) = x2 - ln(x+1) 令函数 h(x)=f(x) x3 = x 2 ln(x+1) x 3. 则 h /(x) = - 3x2 +2x - 1 )1(3 1 1 23 x xx x . 当,0x时， h/(x)0 所以函数 h(x)在,0x上是单调递减. -10 分 又 h(0)=0，当,0x时，恒有h(x) h(0)=0, 即 x 2 ln(x+1) x 3 恒成立 .故当,0x时,有 f(x) x3. ,0 1 , * k Nk取, 1 k x则有) 1 ( k f 3 1 k . 333 1 1 3 1 2 1 1) 1 ( n k f n k . -12 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m