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    安徽省皖南八校2019届高三第一次联考(数学理).pdf

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    安徽省皖南八校2019届高三第一次联考(数学理).pdf

    皖南八校 2019 届高三第一次联考 数学试题(理科) 考生注意: 1本试卷分第I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分100 分,考试时间100 分钟。 2答题前,请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所 有试题的答案涂、写在答题纸上,在试题卷上作答无效 。 第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题10 小题,每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1已知全集U=R,集合 2 |(1)4Axx,则 U C A等于() A|13x xx或B|13x xx或 C|13xxD|13xx 2设复数 2 22 1,zi zz 则等于() A1iB1iC12iD12i 3命题“对任意直线l,有平面与其垂直”的否定是() A对任意直线l,没有平面与其垂直 B对任意直线l,没有平面与其不垂直 C存在直线 0 l,有平面与其不垂直 D存在直线 0 l,没有平面与其不垂直 4已知等比数列 ,5443 1,31,21, nn anSqSaSa的前项和为公比若则 q 等于 () A2 B 2 C3 D 1 5设点P 是双曲线 22 22 1(,0) xy ab ab 与圆 2222 xyab在第一象限的交点F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,且 12 |2 |PFPF,则双曲线的离心率为() A5B 5 2 C10D 10 2 6若变量 , x y满足约束条件 20 0 1 xy xy y ,则目标函数2zxy的最大值为() A 3 B3 C 1 D1 7有一种波,其波形为函数sin() 2 yx的图象,若在 区间0, t上至少有2 个波峰(图象的最高点),则 正整数t的最小值是() A3 B4 C5 D6 8如右图程序框图,若输出63p,则输入框应填入 A 6i B 5i C4iD3i 9 若函数( )( , )yf xa b的导函数在区间上不是单调函数, 则函数( )yf x在区间 , a b上 的图象可能是() ABCD 10考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9 条棱,甲从这9 条棱中任选一条,乙从这9 条 棱中任选一条,则这两条棱互相垂直的概率为() A 22 81 B 37 81 C 44 81 D 59 81 第卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11已知向量(2,1),( , 2),( 1,3),( , ) / / ,abxca bcx若则= 。 12在二项式 3 3 () n x x 的展开式中,各项的系数和比各项的二项系数和大240,则n的值 为。 13在平面直角坐标系xOy中,以 O 为极点,x轴正半轴为极辆,取相同的长度单位,建立 极 坐 标 系 , 则 直 线cos()2 3 被 圆 22 cos ( 2 sin x y 为 参 数 ) 截 得 的 弦 长 为。 14一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正 (主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆, 俯视国科是等腰三角形,则这个几何体的表现积是 cm 2。 15若定义域为R的奇函数( )(1)( )f xfxf x满足, 则下列结论:( )f x的图象关于点 1 (,0) 2 对称; ( )f x的图象关于直线 1 2 x对称;( )f x是周期函数, 且 2 个它的一个周期; ( )f x 在区间( 1, 1)上是单调函数,其中正确结论的序号是。 (填上你认为所有正确 结论的序号) 三、解答题 ;本大题共6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 (本小题满分12 分) 在ABC,角 A,B,C 的对边分别为, , ,()a b cAB ACCA CBk kR若。 ( 1)判断ABC的形状; ( 2)若1,kb求的值。 17 (本小题满分12 分) 甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4 的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒 中任取一小球,记下号码x后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码y,设随机 变量|.Xxy ( 1)求2y的概率; ( 2)求随机变量X的分布列及数学期望。 18 (本小题满分12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面ACD平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平面 ABC所成的角为60°, 且点 E在平面 ABC上的射影落在 ABC的平分线上。 ( 1)求证: DE/平面 ABC ; ( 2)求二面角EBCA 的余弦; ( 3)求多面体ABCDE的体积。 19 (本小题满分13 分) 在数列 * 11 12 ,1,1, 421 nnn nn aaabnN aa 中其中。 ( 1)求证:数列 n b是等差数列,并求数列 n a的通项公式 n a; ( 2)设 1 2 n nncna,求数列nc的前n项和。 21 (本小题满分13 分) 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为 1 2 ,且椭圆E上一点到两 个焦点距离之和为4; 12 ,ll是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线, 1 l交 E于 A,B 两 点, 2 l交 E交 C,D 两点, AB,CD的中点分别为M,N。 ( 1)求椭圆E的方程; ( 2)求 1 l 的斜率k 的取值范围; ( 3)求OMON的取值范围。 21 (本小题满分13 分) 已知函数 2 ( ),( )2 ln( x f xg xax e e 为自然对数的底数) ( 1)求( )( )( )F xf xg x的单调区间,若( )F x有最值,请求出最值; ( 2)是否存在正常数a,使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有 共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说 明理由。 参考答案 15BDDAA 610BCCDC 11-1 12 4 132 3142 2215 16解:(1),cos,cos,ABACCA AB ACcbA CA CBbaC coscosbcAabC 根据正弦正理,得sincossincosCAAC 即sincoscossin0,sin()0ACACAC ( 2)由( 1)知ac 由余弦定理,得 2222 cos 22 bcab AB ACbcAbc bc 1AB ACk 2 1,2. 2 b b得 12 分 17解: (1)(2)(2,2)(2,2)P yP xyP xy 12311 45454 4 分 ( 2)随机变量X可取的值为0,1, 2,3 5 分 当 X=0时,( , )(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y 121212122 (0) 454545455 P X 当 X=1时,( , )(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y 1111111111118 (1) 45454545454510 P X 同理可得 11 (2);(3) 510 P XP X 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2 5 3 10 1 5 1 10 10 分 2311 01231 510510 EX 12 分 18解:方法一: (1)由题意知,,ABCACD都是边长为2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则,BOAC DOAC 平面 ACD平面 ABC DO 平面 ABC,作 EF平面 ABC , 那么 EF/DO,根据题意,点F落在 BO上, 60EBF ,易求得3EFDO 所以四边形DEFO是平行四边形,DE/OF; DE 平面 ABC,OF平面 ABC, / /DE平面 ABC 4 分 ( 2)作 FGBC,垂足为 G,连接 FG; EF平面 ABC,根据三垂线定理可知,EGBC EGF就是二面角EBCA 的平面角 1 sin 2 FGBFFBG 22 13 3, 2 EFEGEFFG 13 cos 13 FG EGF EG 即二面角E BCA 的余弦值为 13 . 13 8 分 ( 3)平面 ACD平面 ABC,OBAC OB平面 ACD;又/ /DEOB DE平面 DAC,三棱锥 EDAC的体积 1 1133 3 (31) 333 BAC VSDE 又三棱锥E ABC的体积 2 11 331 33 ABC VSEF 多面体 DEABC的体积为 V=V1-V2= 63 3 12 分 方法二:(1)同方法一 ( 2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 可求得平面ABC的一个法向量为 1(0,0,1) n, 平面 BCE的一个法向量为 2( 3, 3,1) n 所以 12 12 12 cos, | | nn n n nn 13 13 又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角EBCA 的余弦值为 13 13 ( 3)同方法一 19解:(1)证明: 1 1 22 2121 nn nn bb aa * 4222 2() 1 212121 2(1)1 4 n nnn n a nN aaa a 数列 n b是等差数列3 分 11 1 2 1,2 21 ab a 2(1)22 n bnn 由 * 221 ,21() 21 nn nn banN abn 得 1 2 n n a n 6 分 ( 2)由( 1)的结论得 1 1, 2(1) 2 2 nn nnn n acnan n 7 分 123 2 23 24 2(1) 2 n n Sn 8 分 2341 22 23 24 22(1) 2 nn n Snn , 9 分 - ,得 1231 2 2222(1) 2 nn n Sn 111 222(1) 22, nnn nn 11 分 1 2 n nSn 12 分 20解:(1)设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab 由 222 1 2 2 24 3 c a a a b abc 得 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 ( 2)由题意知,直线 1 l的斜率存在且不为零 12 1 :2,:2.lykxlyx k 由 22 1 43 2 xy ykx 消去y并化简整理,得 22 (34)1640kxkx 根据题意, 22 (16 )16(34)0kk 解得 21 . 4 k 同理得 22211111 (),4,4,( 2,)(,2) 4422 kkk k 9分 ( 3)设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyM xy 那么 12 120 22 168 , 23434 xxkk xxx kk 00 222 686 2,(,) 343434 k ykxM kkk 同理得 22 1 8() 6 (,) 11 34()34() k N kk 即 22 8 6 (,) 44 33 k N kk 22 2 222 8 86628 441 3434 332512() k k OM ON kk k kkk 10 分 22 2 1117 4,2 44 kk k 2 2 4287 1 719 2512()k k 即OMON的取值范围是 47 , 719 13 分 21解:(1) 3 222() ( )( )( )(0) xaxea Fxfxgxx exex 61 分 当0,( )0aFx时恒成立 ( )(0,)F x 在上是增函数,( )F xF 只有一个单调递增区间(0,-) ,没有最值3 分 当0a时, 2() ( )(0) xea xea F xx ex , 若0xea,则( )0,( )(0,)FxF xea在上单调递减; 若xea,则( )0,( )(,)FxF xea在上单调递增, xea当时,( )F x有极小值,也是最小值, 即 min ( )()2 lnlnF xFeaaaeaaa 6 分 所以当0a时,( )F x的单调递减区间为(0,)ea 单调递增区间为(,)ea,最小值为lnaa,无最大值7 分 ( 2)方法一,若( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点, 则方程( )( )0f xg x有且只有一解,所以函数( )F x有且只有一个零点8 分 由( 1)的结论可知 min ( )ln01F xaaa得 10 分 此时, 2 ( )( )( )2ln0 x F xf xg xx e min ( )()0F xFe ()()1,( )( )fegef xg x与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e 又 2 ()()fege e ( )( )f xg x与的图象在点(,1)e处有共同的切线, 其方程为 2 1()yxe e ,即 2 1yx e 13 分 综上所述,存在a1,使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点(,1)e,且在该点处 的公切线方程为 2 1.yx e 14 分 方法二:设( )f x 与 g(x)图象的公共点坐标为 00 (,)xy, 根据题意得 00 00 ()() ()() f xg x fxg x 即 2 0 0 0 0 2 ln 22 x ax e xa ex 由得 2 0 x a e ,代入得 02 1 ln, 2 xxe 从而1a 10 分 此时由( 1)可知 min ( )()0F xFe 0xxe当且时,( )0,( )( )F xf xg x即 因此除 0 xe外,再没有其它 0 x,使 00 ()()f xg x 13 分 故存在1a,使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切 线,易求得公共点坐标为(,1)e,公切线方程为 2 1yx e 14 分

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