高中理科数学第一轮复习：数列通项的求法.pdf
数列通项的求法 【知识点精讲】 求数列的通项方法 1、 由等差，等比定义，写出通项公式 2、 利用迭加an-an-1=f(n) 、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代 3、一阶递推qpaa nn1 ,我们通常将其化为AapAa nn1 看成 bn 的等比 数列 4、利用换元思想 5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明 6、对含 an与 Sn的题，进行熟练转化为同一种解题 【例题选讲】 例 1、设 an 的首项为 1 的正项数列，且,.3,2,101 1 22 1 naanaan nnnn 求它 的通项公式。 解：由题意a1=1 , an0,(n=1,2,3, ) 01 11nnnn naanaa nnnnn a n n aaaa 1 0,0 11 有 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n nn n n n a n 1 1 1 2 1 21 n an 1 变式：已知数列an,a1=2,an+1=an+3n+2,求 an, 解： an=（an-an-1）+（ an-1-an-2）+（an-2-an-3） +（a2-a1）+a1 点评 根据数列递推公式，利用迭加（an-an-1=f(n) ） 、迭乘（ an/an-1=f(n) ） 、迭代 例 2、已知数列 an ，a1=1,an+1= nn aa求,1 3 2 解法一：)()(221 3 2 11 3 2 11 naaaa nnnn 由(1)-(2) 得：)( 11 3 2 nnnn aaaa设为等比数列则数列 nnnn baab 1 nn nnn aab）（）（ 3 2 3 2 3 2 1 1 n n n nn aaa 3 2 33 3 2 1 3 2 法二：设3 3 2 33 3 2 11nnnn aaAAaAa即原式化为解得： 设为等比数列则数列,3 nnn bab， n n n nn aab 3 2 33 3 2 23 1 )( 法三：,1 3 2 12 aa1 3 2 3 2 1 3 2 2 23 aa1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 23 34 aa 1 3 2 . 3 2 1 3 2 1 1 n nn aa n n a 3 2 33 点评 注意数列解题中的换元思想,如3 nn ab 对数列递推式qpaa nn1 ,我们通常将其化为AapAa nn1 看成 bn的等 比数列 练习 :(1):数列 an中,a1=1,2an= nn ana求),2(2 1 解方法同上 : 1 2 1 2 n n a (2) 数列 an 中,a1=1,Nn a a a n n n 2 2 1 解:原式化为1 22 1nn aa ,利用换元思想。利用上法得22na n 例 3、 （猜证）已知数列an 满足 a1=1,.23 1 1 naa n n n （1）求 a2,a3 ,a4(2)证明： 2 13 n n a 解： （ 1）a24a313 a4=40 （2） a1 ,a2,a3 ,a4由前可知，成立 假设 n=k 时也成立，即 2 13 k k a n=k+1 时, 2 13 2 13 33 1 1 kk k k k k aa也成立 综上， 2 13 n n a 练习：设正数数列an 前 n 项和 Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有, 2 n n at ts 则通过归纳猜想得到Sn 并证明？ 解： n=1 时，得 a1=t，n=2 时，得 a2=3t，n=3 时，得 a2=5t,猜测 an=(2n-1)t 证明： n=1,2,3 时,已经成立 假设 n=k 时也成立，即ak=(2k-1)t, 则 Skk 2t n=k+1 时， , 2 1 1 k k at ts 2 11 2 )()(4 kk atatkt 1t-1)2(k1)t(2k0)14(2 1 22 1 2 1kkk atktaa也成立 综上， an=(2n-1)t , Sn= n 2t 点评 用数学归纳法，由n=k 证明 n=k+1 成立时，从递推式入手 例 4、设数列 an的首项为 1，前 n 项和为 Sn，满足关系 NnnttSttS nn ,2,03323 1 （1）求证：数列 an是等比数列； （2）设数列 an的公比为f(t) ，作数列 bn,使 b1=1,bn= 1 1 n b f(n=2,3,4, ) 求bn 的通项公式 解(1)由 221211 1, 1aaaSaS t t a 3 32 2 t t a a 3 32 1 2 又 0323)2()1( )2.(3323 )1.(3323 1 21 1 nn nn nn atta tSttS tSttS 5,4,3,2 3 32 1 n t t a a n n 得证 (2) 1 1 3 211 3 2 3 32 )( n n n b b fb tt t tf 3 1 3 2 1 3 2 1nnb n 点评 对 an与 Sn进行熟练转化解题 练习 :设数列 an 为正项数列 ,若对任意正整数n, an与 2 得 等差中项等于其前n项和 Sn与 2 的等比中项 , 求an 的通项公式 解: 2 2 8 1 ,2 2 2 nnn n aSS a 2404,2 1111 naaaaaaSSan nnnnnnnnn 当 242 11 naSa n 备用补充： 求下列数列 （1）nS n n 1 1（2）xaxynxa n n 前三项和,0,0 1 （3）nnsaa nn 2,0 2 11 答案 212 10 3332222111 nn n nnn n n n 或 【课堂小结】 求数列的通项方法 1.由等差，等比定义，写出通项公式 2.利用迭加an-an-1=f(n) 、迭乘 an/an-1=f(n) 、迭代 3.一阶递推qpaa nn1 ,我们通常将其化为AapAa nn1 看成 bn 的等比 数列 4.利用换元思想 5.先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明 6.对含 an与 Sn的题，进行熟练转化为同一种解题 【作业布置】 优化设计
