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高考数学常用公式 1. 德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. 2. UU ABAABBABC BC A U AC B U C ABR 3.()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 一 般 式 2 ( )(0)fxaxbxc a; 顶 点 式 2 ( )()(0)f xa xhk a; 零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 5. 设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是增函数； 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是减函数 . 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则 )(xf为减函数 . 6. 函 数( )yf x的 图 象 的 对 称 性 : 函 数( )yf x的 图 象 关 于 直 线xa对 称 ()()faxfax( 2)()faxfx. 函数( )yf x的图象关于直线 2 ab x 对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 7. 两个函数图象的对称性: 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即y轴) 对称 . 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称 . 函数 )(xfy和)( 1 xfy的图象关于直线y=x 对称 . 8. 分数指数幂 1 m n nm a a （0,am nN，且1n）. 1 m n m n a a （0,am nN，且1n）. 9. log(0,1,0) b a NbaN aaN . 10. 对数的换底公式 log log log m a m N N a . 推论loglog m n a a n bb m . 11. 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 12. 等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前 n 项和公式 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 13. 等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q ； 其前 n 项的和公式 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 14. 等比差数列 n a: 11 ,(0) nn aqad ab q的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ； 其前 n 项和公式为 (1) ,1 1 (),1 111 n n nbn nd q s dqd bn q qqq . 15.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 16. 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= cos sin ，tan1cot. 17. 正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin, sin() 2 ( 1)s, n n n co 2 1 2 ( 1)s, s() 2 ( 1)sin, n n co n co 18. 和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan . 22 sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22 cos()cos()cossin. sincosab= 22 sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决 为偶数 为奇数 为偶数 为奇数 定,tan b a ). 19. 二倍角公式sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. 2 2 tan tan2 1tan . 20. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR及函数cos()yx，xR(A, , 为常数，且A0，0) 的周期 2 T；函数tan()yx，, 2 xkkZ(A, ,为常数，且A0，0) 的周期T. 21. 正弦定理2 sinsinsin abc R ABC . 22. 余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 23. 面积定理（ 1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、分别表示a、b、c 边上的高） . （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. (3) 22 1 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB. 24. 三角形内角和定理在 ABC中，有 () 222 CAB ABCCAB222()CAB. 25. 平面两点间的距离公式 ,A B d=|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A 11 (,)x y，B 22 (,)xy). 26. 向量的平行与垂直设 a= 11 (,)x y,b= 22 (,)xy，且 b0，则 abb=a 1221 0x yx y. ab(a0)a·b=0 1212 0x xy y. 27. 线段的定比分公式设 111 (,)P xy， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段 12 PP的分点 ,是实数， 且 12 PPPP，则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 (1)OPtOPt OP（ 1 1 t ）. 28. 三角形的重心坐标公式ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y )、 33 C(x ,y ), 则 ABC的重心的坐标是 123123 (,) 33 xxxyyy G. 29. 点的平移公式 '' '' xxhxxh yykyyk '' OPOPPP ( 图形 F上的任意一点P(x ， y) 在平移后图形 ' F上的对应点为 ''' ( ,)P x y，且 ' PP的坐标为( , )h k). 30. 常用不等式： （1）,a bR 22 2abab( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （2）,a bR 2 ab ab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5）bababa 31. 极值定理已知yx,都是正数，则有 （1）如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2； （2）如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值 2 4 1 s. 32. 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac，如果a与 2 axbxc 同号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同 号两根之外，异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. 33. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa或xa. 34. 无理不等式（1） ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) fx f xg xg x fxg x . （2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. （3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x . 35. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时 , ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2) 当01a时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 36.斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 (,)P xy、 222 (,)P xy）. 37.直线的四种方程 （1）点斜式 11 ()yyk xx( 直线l过点 111 (,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 (,)P x y、 222 (,)P xy ( 12 xx). （4）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0). 38.两条直线的平行和垂直（1）若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 ,llkk bb ; 1212 1llkk . (2)若 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC,且 A1、 A2、B1、B2都不为零 , 111 12 222 ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B ； 39.夹角公式 21 21 tan| 1 kk k k .( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) 1221 1212 tan A BA B A AB B ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线l1与 l2的夹角是 2 . 40.点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 41. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr . （4）圆的直径式方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy( 圆的直径的端点是 11 (,)A xy、 22 (,)B xy). 42. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是 cos sin xa yb . 43. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 焦半径公式)( 2 1 c a xePF，)( 2 2 x c a ePF. 44. 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦半径公式 2 1 | () | a PFe x c ， 2 2 | () | a PFex c . 45. 抛 物 线 pxy2 2 上 的 动 点 可 设 为P), 2 ( 2 y p y 或 或)2,2( 2 ptptP P(,)xy， 其 中 2 2ypx. 46. 二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa (0)a的图象是抛物线： （1）顶点坐标 为 2 4 (,) 24 bacb aa ； （ 2 ） 焦 点 的 坐 标 为 2 41 (,) 24 bacb aa ；（ 3 ） 准 线 方 程 是 2 41 4 acb y a . 47. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy或 2222 211212 (1)()|1tan|1tABkxxxxyyco（弦端点 A),(),( 2211 yxByx，由方程 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到0 2 cbxax，0,为直线 AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 48. 圆锥曲线的两类对称问题： （1）曲线( , )0F x y关于点 00 (,)P xy成中心对称的曲线是 00 (2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是 2222 2 ()2 () (,)0 A AxByCB AxByC F xy ABAB . 49.“四线”一方程对于一般的二次曲线 22 0AxBxyCyDxEyF， 用 0 x x代 2 x， 用 0 y y代 2 y，用 00 2 x yxy 代xy，用 0 2 xx 代x，用 0 2 yy 代y即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF，曲线的切线， 切点弦， 中点弦， 弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b0 )，ab存在实数 使 a=b 51. 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC， 则四点 P、A、B、C是共面1xyz 52.空间两个向量的夹角公式 cos a，b= 1 12233 222222 123123 aba ba b aaabbb （a 123 (,)a a a，b 123 ( ,)b b b）. 53.直线AB与平面所成角sin | AB m arc ABm (m为平面的法向量 ). 54.二面角l的平面角cos | m n arc m n 或cos | | m n arc m n （m，n为平面， 的法向量） . 55. 设 AC是 内的任一条直线，且BC AC ，垂足为C，又设 AO与 AB所成的角为 1， AB与 AC 所成的角为 2 ，AO与 AC所成的角为则 12 coscoscos. 56. 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1,2, 与二面角 的棱所成的角是，则有 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos ; 1212 |180()( 当且仅当90时等号成立 ). 57. 空间两点间的距离公式若 A 111 (,)x y z，B 222 (,)xyz，则 ,A B d=|ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz. 58. 点Q到直线l距离 22 1 (|)() | haba b a ( 点P在直线l上，直线l的方向向量 a=PA，向量 b=PQ). 59.异面直线间的距离 | | CD n d n ( 12 ,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是 12 ,ll 上任一点，d为 12 ,l l间的距离 ). 60.点B到平面的距离 | | AB n d n （n为平面的法向量， AB是经过面 的一条斜线， A ）. 61.异面直线上两点距离公式 222 2cosddmnmn (两条异面直线a、b 所成的角为 ，其公垂线段 ' AA的长度为h. 在直线 a、b 上分别取两点E、 F， ' A Em,AFn,EFd). 62. 2222 123 llll 222 123 coscoscos1 （长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123 lll、 、，夹角分别为 123 、） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）. 63. 面积射影定理 ' cos S S (平面多边形及其射影的面积分别是S、 ' S，它们所在平面所成锐二面角的为). 64. 欧拉定理 ( 欧拉公式 ) 2VFE( 简单多面体的顶点数V、棱数 E和面数 F) 65. 球的半径是R，则其体积是 34 3 VR, 其表面积是 2 4SR 66. 分类计数原理（加法原理） 12n Nmmm. 67. 分步计数原理（乘法原理 ） 12n Nmmm. 68. 排列数公式 m n A=)1()1(mnnn= ！ ！ )(mn n .(n，mN *，且 mn) 69. 排列恒等式（1） 1 (1) mm nn AnmA; （2） 1 mm nn n AA nm ; （3） 1 1 mm nn AnA; （4） 1 1 nnn nnn nAAA; （5） 1 1 mmm nnn AAmA. 70. 组合数公式 m n C= m n m m A A = m mnnn 21 )1()1( = ！ ！ )(mnm n (n，mN *，且 mn). 71. 组合数的两个性质(1) m n C= mn n C ;(2) m n C+ 1m n C= m n C 1 72. 组合恒等式 （1） 11mm nn nm CC m ;（2） 1 mm nn n CC nm ;（3） 1 1 mm nn n CC m ; （4） n r r n C 0 = n 2; （5） 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC. 73. 排列数与组合数的关系是： mm nn Am C！ . 74. 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 )( ; 二项展开式的通项公式： rrnr nr baCT 1 )210(nr，. 75. 等可能性事件的概率( ) m P A n . 76. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 77.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2 An)=P(A 1) P(A2) P(An) 78. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A) ·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A2·· An)=P(A1) · P(A2) ·· P(An) 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1). kkn k nn P kC PP 81. 离散型随机变量的分布列的两个性质：（ 1）0(1,2,) i Pi; （2） 12 1PP. 82. 数学期望 1122nn Ex Px Px P 83. 数学期望的性质： （1）()( )E abaEb； （2）若( ,)B n p，则Enp. 84. 方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 85. 标准差= D . 86. 方差的性质(1) 22 ()DEE;(2) 2 D aba D； （ 3）若( ,)B n p，则 (1)Dnpp. 87. 正态分布密度函数 2 2 26 1 , 26 x fxex式中的实数 ， （0） 是参数， 分别表示个体的平均数与标准差. 88. 标准正态分布密度函数 2 2 1 , 2 6 x fxex. 89. 对于 2 ( ,)N，取值小于x 的概率 x Fx . 12201 xxPxxPxxxP 21 F xF x 21 xx . 90. 回归直线方程 yabx，其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx . 91. 相关系数 1 22 11 ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 1 2222 11 ()() n ii i nn ii ii xxyy xnxyny . |r| 1，且 |r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 92. 特殊数列的极限（1） 0| 1 lim11 | 11 n n q qq qq 不存在或 . （2） 1 10 1 10 0() lim() () kk kkt tt n ttk kt a nanaa kt bnb nbb kt不存在 . （3） 1 1 1 lim 11 n n aq a S qq （S无穷等比数列 1 1 n a q (| 1q) 的和）. 93. 0 lim( ) xx f xa 00 lim( )lim( ) xxxx f xf xa.这是函数极限存在的一个充要条件. 94.函数的夹逼性定理如果函数 f(x) ，g(x) ，h(x) 在点 x0的附近满足： （1）( )( )( )g xf xh x;（2） 00 lim( ),lim( ) xxxx g xah xa（常数） ,则 0 lim( ) xx f xa. 本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 95.两个重要的极限（1） 0 sin lim1 x x x ； （2） 1 lim 1 x x e x (e=2.718281845). 96.)(xf在 0 x处的导数（或变化率或微商） 0 00 0 00 ()() ()limlim xx xx f xxf xy fxy xx . 97. 瞬时速度 00 ()( ) ( )limlim tt ss tts t s t tt . 98. 瞬时加速度 00 ()( ) ( )limlim tt vv ttv t av t tt . 99.)(xf在),(ba的导数( ) dydf fxy dxdx 00 ()( ) limlim xx yf xxfx xx . 100. 函数)(xfy在点 0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 xf， 相应的切线方程是)( 000 xxxfyy. 101. 几种常见函数的导数 (1) 0C（C为常数） . (2) '1 ()() n n xnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5) x x 1 )(ln； e a x x alog 1 )(log. (6) xx ee )(; aaa xx ln)(. 102. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点x处有导数 '' ( ) x ux，函数)(ufy在点 x处的对应点U 处有导数 '' ( ) u yfu，则复合函数( )yfx在点x处有导数，且 ''' xux yyu，或写作 ''' ( ( )( )( ) x fxfux. 103. 可导函数)(xfy的微分dxxfdy)(. 104.,abicdiac bd. （, , ,a b c dR） 105. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi= 22 ab. 106. 复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4) 2222 ()()(0) acbdbcad abicdii cdi cdcd . 107. 复平面上的两点间的距离公式 22 122121 |()()dzzxxyy（ 111 zxyi， 222 zxy i） . 108.向量的垂直非零复数 1 zabi， 2 zcdi对应的向量分别是 1 OZ， 2 OZ，则 12 OZOZ 12 z z的实部为零 2 1 z z 为纯虚数 222 1212 |zzzz 222 1212 |zzzz 1212 | |zzzz0acbd 12 ziz( 为非零实 数). 109. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程 2 0axbxc，若 2 40bac, 则 2 1,2 4 2 bbac x a ; 若 2 40bac, 则 12 2 b xx a ; 若 2 40bac， 它 在 实 数 集R内 没 有 实 数 根 ； 在 复 数 集C内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根 2 2 (4) (40) 2 bbac i xbac a .