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高三数学试卷（理科） 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 与答题纸一并交回。 符合题目要求的一项. 1. 设集合1Px x， 2 0Qx xx，则下列结论正确的是 APQBPQR CPQDQP 2. 函数sincosyxx的最小值和最小正周期分别是 A2 , 2B2, 2 C2 ,D2, 3. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 24 6aa，则 5 S等于 A10B12C15D30 4. 甲乙两名运动员在某项测试中的8 次成绩如茎叶图所 示， 12 ,x x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均 数， 12 ,s s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准 差，则有 A 12 xx， 12 ssB 12 xx， 12 ss C 12 xx， 12 ssD 12 xx， 12 ss 5. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为 A 13 21 B 21 13 C 8 13 D 13 8 6. 某会议室第一排共有8 个座位，现有3 人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的 坐法种数为 结束 开始 输出 y x 1,1xy yz zxy xy 20z 否 是 7 8 3 5 5 7 2 3 8 9 4 5 5 6 1 2 2 0 1 乙甲 A12B16C24D32 7. 已知区域 1, (,)0, 1, yx x yy x ， 1, (,) 0, yx Mx y y ，向区域内随机投一 点P，点P落在区域M内的概率为 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 8. 如图，平面平面，直线l，,A C是内不同的两点,B D是内不同的 两点，且,A B C D直线l, ,M N分别是线段,AB CD 的中点 . 下列判断正确的是 A当2CDAB时，,M N两点不可能重合 B,MN两点可能重合，但此时直线AC与直线l不 可能相交 C当AB与CD相交， 直线AC平行于l时，直线BD 可以与l相交 D当,AB CD是异面直线时，MN可能与l平行 第卷（非选择题共 110 分） l B A C D M N · · 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 若(2i)iiab，其中,a bR，i为虚数单位，则ab_. 10. 已知2a，3b，a、b的夹角为60，则2ab _. 11. 极坐标方程2cos化成直角坐标方程为_. 12. 如 图 ，PC切O于 点C， 割 线PAB经 过 圆 心O， 弦 CDAB于 点 E， 已 知 O的 半 径 为3， 2PA， 则 PC_，OE_. 13. 已知双曲线 2 2 1 3 y x的左顶点为 1 A，右焦点为 2 F，P为双 曲线右支上一点，则 12 PA PF的最小值为 _. 14. 设函数( )f x的定义域为 D，若存在非零实数l使得对于任意 ()xM MD，有 xlD，且()( )f xlf x，则称( )f x为M上的l高调函数 . 如果定义域是 1,)的函数 2 ( )f xx为 1,)上的m高调函数，那么实数m的 取值范围是 _. 如果定义域为R的函数( )f x是奇函数， 当0x时， 22 ( )f xxaa，且( )f x为 R上的4高调函数，那么实数 a的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.（本小题满分12 分） 已知为锐角，且 tan()2 4 . （）求tan的值； （）求 sin2cossin cos2 的值 . 16.（本小题满分13 分） 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4 轮考核， 每轮设有一个问题，能正确回答者 · P C B A D E O 进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别 为 5 6 、 4 5 、 3 4 、 1 3 ，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期 望. 17.（本小题满分14 分） 在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底 面ABCD是直角梯形， /ABCD， 90ADC， 1ABADPD ， 2CD . （）求证：/BE平面PAD； （）求证：BC平面PBD； （）设Q为侧棱 PC上一点， PQPC， 试确定的值，使得二面角QBDP为45. 18.（本小题满分14 分） 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，长轴端点与短轴端点间的距离为5. （）求椭圆C的方程； （）过点(0,4)D的直线l与椭圆C交于两点,E F，O为坐标原点，若OEF为直 角三角形，求直线l的斜率 . 19.（本小题满分14 分） 已知函数( )(1) x a f xe x ，其中0a A B C D E P （）求函数( )f x的零点； （）讨论( )yf x在区间(,0)上的单调性； （）在区间(, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由 20.（本小题满分13 分） 对于各项均为整数的数列 n a，如果满足 i ai（1,2,3,i）为完全平方数，则称 数列 n a具有“P性质” ； 不论数列 n a是否具有“P性质”，如果存在与 n a不是同一数列的 n b，且 n b同 时满足下面两个条件： 123 , n b b bb是 123 , n a aaa的一个排列； 数列 n b具有 “P 性质” ，则称数列 n a具有“变换P性质” . （）设数列 n a的前n项和 2 (1) 3 n n Sn，证明数列 n a具有“P性质”； （）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,11是否具有“变换P性质” ，具有此性质 的数列请写出相应的数列 n b，不具此性质的说明理由； （）对于有限项数列:1,2,3,An，某人已经验证当 2 12,nm（5m）时，数 列A具有“变换P性质” ，试证明：当 22 1,(1) nmm时，数列A也具有“变换P性 质” . 北京市西城区 2019 年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科）2019.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C A C B D C C B 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9.310.1311. 22 20xyx12. 9 4 , 5 13.214.2m；11a 注：两空的题目，第一个空2 分，第二个空3 分. 三、解答题： （本大题共6 小题，共80 分. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分 .） 15、解：（） 1tan tan() 41tan ，2 分 所以 1tan 2 1tan ，1 tan22tan ， 所以 1 tan 3 .5 分 （） 2 sin 2cossin2sincossin cos2cos2 2 sin(2cos1)sincos2 sin cos2cos2 .8 分 因为 1 tan 3 ，所以cos3sin，又 22 sincos1， 所以 2 1 sin 10 ，10 分 又为锐角，所以 10 sin 10 ， 所以 sin 2cossin10 cos210 .12 分 16、解： 设事件i A（ 1,2,3,4i）表示“该选手能正确回答第i轮问题”， 由已知 1 5 () 6 P A， 2 4 () 5 P A， 3 3 () 4 P A， 4 1 () 3 P A， （）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”， 则 123123 ( )()()()()P BP A A AP A P AP A2 分 5431 (1) 6546 . 3 分 （）设事件 C表示“该选手至多进入第三轮考核” ， 则 112123 ()()P CP AA AA A A5分 112123 1515431 ()()()(1) 6656542 P AP A AP A A A. 6 分 （） X的可能取值为 1,2,3,4.7 分 1 1 (1)() 6 P XP A，8 分 12 541 (2)()(1) 656 P XP A A，9 分 123 5431 (3)()(1) 6546 P XP A A A，10 分 123 5431 (4)() 6542 P XP A A A，11 分 所以，X的分布列为 X1234 P 1 6 1 6 1 6 1 2 12 分 1111 ()12343 6662 E X.13 分 17、解：（）取 PD的中点F，连结,EF AF ， 因为E为PC中点，所以/EFCD，且 1 1 2 EFCD， 在梯形ABCD中，/ABCD，1AB， 所以/EFAB，EFAB，四边形ABEF为平行四边形， 所以/BEAF，2 分 BE平面PAD，AF平面PAD， 所以/BE平面PAD. 4 分 （）平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD， 所以PDAD. 5 分 如图，以 D为原点建立空间直角坐标系Dxyz. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).ABCP 6 分 (1,1,0)DB，( 1,1,0)BC， 所以0BC DB，BC DB， 8 分 又由PD平面 ABCD，可得PDBC， 所以BC平面PBD. 9 分 （）平面 PBD的法向量为( 1,1,0)BC ，10 分 (0,2, 1)PC，PQPC，(0,1) 所以(0,2,1)Q，11 分 设平面QBD的法向量为( , , )a b cn =， (1,1,0)DB，(0, 2 ,1)DQ， 由0DBn，0DQn，得 所以， 0 2(1)0 ab bc ， 所以 2 ( 1,1,) 1 n =，12 分 所以 2 22 cos45 22 22() 1 BC BC n n ，13 分 注意到(0,1)，得21. 14 分 18、解：（）由已知 3 2 c a ， 22 5ab，3 分 又 222 abc，解得 2 4a， 2 1b， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （）根据题意，过点(0,4)D满足题意的直线斜率存在，设:4lykx， 联立， 2 2 1 4 4 x y ykx ，消去y得 22 (14)32600kxkx，6 分 A B C D E P y x z Q F 222 (32 )240(14)64240kkk， 令 0，解得 2 15 4 k. 7 分 设,E F两点的坐标分别为 1122 (,) ,(,)xyxy， （）当EOF为直角时， 则 121222 3260 , 1414 k xxx x kk ，8 分 因为EOF为直角，所以0OE OF，即 1212 0x xy y，9 分 所以 2 1212 (1)4 ()160kx xk xx， 所以 22 22 15(1)32 40 1414 kk kk ，解得19k. 11 分 （）当OEF或OFE为直角时，不妨设OEF为直角， 此时，1 OE kk，所以 11 11 4 1 yy xx ，即 22 111 4xyy，12 分 又 2 21 1 1 4 x y， 将代入，消去 1 x得 2 11 3440yy， 解得 1 2 3 y或 1 2y（舍去），13 分 将 1 2 3 y代入，得 1 2 5 3 x， 所以 1 1 4 5 y k x ，14 分 经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为19和5. 19、解：（）解( )0fx，得x a， 所以函数( )f x的零点为a. 2 分 （）函数( )fx在区域(,0)上有意义， 2 2 ( ) x xaxa fxe x ，5 分 令( )0fx，得 2 1 4 2 aaa x， 2 2 4 2 aaa x， 因为0a，所以 1 0x， 2 0x.7 分 当x在定义域上变化时，( )fx的变化情况如下： 所以在区间 2 4 (,) 2 aaa 上( )f x是增函数，8 分 在区间 2 4 (,0) 2 aaa 上( )f x是减函数 . 9 分 （）在区间(, 2 a 上( )f x存在最小值() 2 a f. 10 分 证明：由（）知a是函数( )f x的零点， 因为 22 1 44 0 22 aaaaaa axa， 所以 1 0xa，11 分 由( )(1) x a f xe x 知，当xa时，( )0f x，12 分 又函数在 1 (, 0)x上是减函数，且 1 0 2 a xa， 所以函数在区间 1 (, 2 a x上的最小值为() 2 a f，且()0 2 a f，13 分 所以函数在区间 (, 2 a 上的最小值为() 2 a f， 计算得 2 () 2 a a fe. 14 分 20、解：（）当2n时， 1nnn aSS1 分 2221 (1)(1)1 33 nn nnnn，2 分 又 1 0a，所以 2 n an n ( )n * N. 3 分 所以 2 i aii（1,2,3,i）是完全平方数，数列 n a具有“P性质” . 4 分 （）数列1,2,3,4,5具有“变换P性质” ，5 分 x 1 (,)x 1 (,0)x ( )fx ( )fx 数列 n b为3,2,1,5,4. 6 分 数列1,2,3,11不具有“变换 P性质” . 7 分 因为11，4都只有与 5的和才能构成完全平方数， 所以数列1,2,3,11不具有“变换 P性质” . 8 分 （）设 2 nmj，121jm， 注意到 22 (2)()44mmjmj， 令441hmj， 由于121jm， 5m ，所以4412212hmjm， 又 222 44142mhmmjmm， 22 42(2)60mmm， 所以 2 hm， 即 2 12,hm. 10 分 因为当 2 12,nm（5m）时，数列 n a具有“变换P性质” ， 所以1,2,441mj可以排列成 123 , h a aaa，使得(1,2,) i ai ih都是 平方数；11 分 另外，44mj，441mj， 2 mj可以按相反顺序排列，即排列为 2 mj，441mj，44mj， 使得(44)mj 22 ()(2)mjm， 22 (441)(1)(2)mjmjm，12 分 所以 22 1,2,441,44,1,mjmjmj mj可以排成 123 , h a aaa 2 ,44mjmj满足 2 (1,2,) i ai imj都是平方数 . 13 分