2018年高考数学总复习三角恒等变换.pdf

第三节三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式， 导出二倍角的正 弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差， 和差化积，半角公式， 但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透， 是三角函数的重要变形工具. 分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲 常用三角恒等变形公式 和角公式 sin()sincossincos cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan 差角公式 sin()sincossincos cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan 倍角公式 sin 22sincos 2222 cos2cossin2cos112sin 2 2 tan tan2 1tan 降次（幂）公式 2211cos21cos2 sincossin 2 ;sin;cos; 222 半角公式 1cos1cos sin;cos; 2222 sin1cos tan. 21cossina 辅助角公式 22 sincossin(), tan(0), b ababab a 角的终边过点 ( , )a b ， 特殊 地，若 22 sincosabab 或 22 ab ，则tan . b a 常用的几个公式 sincos2 sin(); 4 sin32 cos2sin(); 3 3 sincos2sin(); 6 题型 65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通 过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例 4.33 证明 (1):cos()coscossinsin;C (2) 用C证明 :sin()sincossinScos (3) 用(1)(2) 证明 tantan :tan(). 1tantan T 解析(1) 证法一：如图 432（a）所示，设角 , 的终边交单位圆于 12 (cos .sin),(cos(),sin(),PP, 由余弦定理得 2 22 121212 2()PPOPOPOP OP cos 22 coscos()sinsin()22cos() 22(coscossinsin)22cos() :cos()coscossinsin.C 证法二：利用两点间的距离公式. 如图 432（b）所示12 (1 ,0),(cos ,sin),(cos(),sin(),APP 3(cos( ),sin(),P由 231; OAPOPP 得， 213 .APPP 故 2222 (1cos()(0sin()cos()cossin()sin ,即 222222 1 cos()sin ()coscos2coscossinsin2sinsin 化简得cos()coscossinsin (2)sin()()() 22 coscos cos()sinsin() 22 cos sinsincoscos :sin()sincossinScos sin(sincoscossin (3) tan() cos()coscossinsin sincoscossin coscoscoscos coscossinsin coscoscoscos tantan : tan(). 1tantan T 变式证明： (1):cos()coscossinsin;C (2):sin()sincossinScos tantan (3): tan(). 1tantan T 题型 66 化简求值 思路提示 三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等. (1) 给式求值：给出某些式子的值， 求其他式子的值 . 解此类问题， 一般应先 将所给式子变形， 将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为 可使用条件的形式 . (2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将 待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是 解此类问题的常用技巧， 解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互 关系，并根据这些关系来选择公式. (3) 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数 值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函 例 4.34 已知 3 cos() 45 x 则 2 sin 22sin () 1tan xx x 7 . 25 A 12 . 25 B 11 . 25 C 18 . 25 D 解析解法一：化简所求式 22 sin 22sin2sincos2sin sin 1tan 1 cos xxxxx x x x cos 2sin(cossin)2sincos . cossin x xxxxx xx 由 3 cos() 45 x 得 223 cossin, 225 xx即 3 2 cossin, 5 xx两边平方得 2218 cossin2sincos, 25 xxxx 即 18 12sincos. 25 xx 所以 7 2sincos. 25 xx 故选 . 解法二：化简所求式 2 sin 22sin 2sincossin 2 1tan xx xxx x 2 7 sin2()cos2()12cos (). 424425 xxx 故选 . 评注解法一运用了由未知到已知， 单方向的转化化归思想求解； 解法二运用了 化未知为已知， 目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲， 一般情况下采用构 造法较为简单 . 变式 1若 13 cos(),cos(), 55 则tan tan_. 变式 2若 4 cos 5 ，是第三象限角，则 1tan 2 () 1tan 2 1 . 2 A 1 . 2 B.2C.2D 变式 3 （2012江西理）若 1 tan4 tan ，则sin 2 (). 1 . 5 A 1 . 4 B 1 . 3 C 1 . 2 D 二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立） 将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解 题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公 式. 常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1. 和、差角变换 如可变为( ) ；2可变为 ()()；2 可变为( ) 例 4.35 若 33 0,cos,sin(), 255 则cos的值为（）. .1A.1B或 7 25 24 . 25 C 24 . 25 D 分析建立未知角与已知角的联系， (). 解析解法一： coscos()cos()cossin()sin.因为 3 (,) 22 所以，则 4 cos(),(0,),sin0, 52 4 sin 5, 433424 cos()(). 555525 解法二：因为 (,) 2 ，所示 cos( 1,0). 故选 . 评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧： ();();()()等. 解题时，要注意根据已 知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式 1已知 510 sin,sin(),(0,) 5102 则 (). . 3 B. 4 C. 6 D 变式 2 若 3335 (,),(0,),cos(),sin() 44445413 ，则 sin()_. 二、辅助角公式变换 5 . 12 A 例 4.36已知 4 3 cos()sin 65 ，则 7 sin() 6 的值为（）. 2 5 . 5 A 2 5 . 5 B 4 . 5 C 4 . 5 D 分析将已知式化简，找到与未知式的联系. 解析由题意， 4 3 coscossinsinsin 665 334 3 cossin3sin() 2265 ，得 4 sin(). 65 所以 74 sin()sin()sin(). 6665 故选 . 变式 1 设 6 sin14cos14 ,sin16cos16 , 2 bc则 a,b,c的大小关系为 （）. A.abc B.bca C.acb D.bac 变式 2 设sin15cos15 ,sin17cos17 ,b则下列各式中正确的是（）. 22 . 2 ab A ab 22 . 2 ab B ab 22 . 2 ab C ba 22 . 2 ab D ba 3. 倍角，降幂（次）变换 例 4.37 （ 2012 大纲全国理7）已知为第二象限角， 3 sincos 3 则 cos2(). 5 . 3 A 5 . 9 B 5 . 9 C 5 . 3 D 分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解. 解析解法一： ；因为 3 sincos 3 所以 2 1 (sincos) 3 得 2 2sincos 3 ，即 2 sin 2 3 . 又因为为第二象限角且 3 sincos0 3 ，则 3 (2,2)(). 24 kkkZ 所以 3 2(4,4)(). 2 kkkZ 故2为第三象限角， 2 25 cos21() 33 . 故选 . 解法二：由为第二象限角，得 cos0,sin0， cossin0, 且 2 (cossin)12sincos，又 3 sincos 3 ，则 21 (sincos)12sincos 3 2 2sincos 3 ，得 2 5 (cossin) 3 ， 所以 15 cossin 3 ， 22 cos2cossin(cossin)(cossin) 3155 (). 333 故选 . 变式 1若 1 sin() 63 则 2 cos()(). 3 7 . 9 A 1 . 3 B 1 . 3 C 7 . 9 D 变式 2（2012 江苏 11）设为锐角，若 4 cos() 65 ，则 7 sin(2) 12 的值省 为. 变式 3 已知 312 sin(2),sin 513 且 (,),(,0), 22 求sin值. 变式 4 若 31 sin,(,), tan() 522 ，则 tan(2 )(). 24 . 7 A 7 . 24 B 24 . 7 C 7 . 24 D 变式 5 已知 1 sincos 2 ，且 (0.) 2 ，则 cos2 _. sin() 4 4. 诱导变换 例 4.38 若 (sin)3cos2fxx，则(cos )().fx .3cos 2Ax.3sin 2Bx. 3c o sCx. 3s i nDx 分析化同函 (cos )(sin()fxf 以便利用已知条件 . 解析解法一： (cos )sin()3cos2()3cos(2)3cos2 . 22 fxfxxxx 故选 . 解法二： 22 (sin )3cos23(1 2sin)2sin2fxxxx则 2 ( )22, 1,1f xxx故 22 (cos )2cos22cos13cos23.fxxxx 故选 . 变式 1是第二象限角， 4 tan(2 ) 3 ，则tan _. 变式 2 若 5 sin(),(0,) 4132 ，则 cos2 _. cos() 4 最有效训练题 19（限时 45 分钟） 1. 已知函数( )sin3 cos ,f xxx设 (),(),() 763 afbfcf ， 则 , ,a b c的大小 关系为（）. A. abc B. cab C.bac D.bca 2. 若 1 sin() 34 ，则cos( 2 )(). 3 1 . 4 B 7 . 8 C 7 . 8 D 3. 若 1 tan 2 ，则cos(2 )(). 2 4 . 5 A 4 . 5 B 1 . 2 C 1 . 2 D 4. 已知 11 tan(),tan 27 ，且 ,(0,)，则2(). . 4 A 3 . 4 B 5 ., 44 C 35 ., 444 D 5. 函数 sin()(0)yx 的部分图像如图433所示，设 是图像的最高点， ， 是图像与 x 轴的交点，则 tan().APB .10 .8 8 . 7 C 4 . 7 D 6. 函数 sin3 cos4 x y x 的最大值是（）. 1 . 2 A 122 6 . 15 B 4 . 3 C 122 6 . 15 D 1 . 4 A 7. 已知tan( )3 4 ，则 2 sin22cos_. 8. 已知 ,x y 满足 1 sinsin 3 1 coscos 5 xy xy ，则cos( )_.xy 9. 2 3 tan101 _. (4cos 102)sin10 10. 已知 113 cos,cos() 714 ，且0 2 ，则 tan2_,_. 11. 已知函数 2 ( )2cos3 sin . 2 x f xx （1）求函数( )f x的最小正周期和值域； （2）若是第二象限角，且 1 () 33 f ，求 cos2 1cos2sin 2 的值. 12. 已知三点 3 (3,0),(0,3),(cos,sin),(,). 22 ABC （1）若ACBC，求角； （2）若1AC BC，求 2 2sinsin 2 1tan 的值.