2018年高考数学总复习基本不等式及其应用.pdf
第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及 高中数学的很多章节，且常考常新， 但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等 问题 . 预测 2019 年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58 分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式： 如果 错误！ 未找到引用源。 ，则错误！ 未找到引用源。(当且仅当 “错误！ 未找到引用源。 ”时取“”). 特例： 错误！未找到引用源。同号 . （3）其他变形： 错误！未找到引用源。(沟通两和 错误！未找到引用源。与两平方和 错误！未找到引用源。 的不等关系式 ) 错误！未找到引用源。(沟通两积 错误！未找到引用源。与两平方和 错误！未找到引用源。 的不等关系式 ) 错误！未找到引用源。(沟通两积 错误！未找到引用源。与两和 错误！未找到引用源。的 不等关系式 ) 重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值 (注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知 错误！未找到引用源。. （1）如果 错误！未找到引用源。(定值 )，则 错误！未找到引用源。(当且仅当“ 错误！未找 到引用源。”时取“ =”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果 错误！未找到引用源。(定值 )，则 错误！未找到引用源。(当且仅当“ 错误！未找 到引用源。”时取“ =”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型 91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是 否成立进行验证. 例 7.5 “错误！未找到引用源。 ”是“ 错误！未找到引用源。 ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解析 ：由 错误！未找到引用源。能推出 错误！未找到引用源。 ；但反之不然，因为错误！未 找到引用源。的条件是 错误！未找到引用源。， 故选 A. 变式 1 已知 错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。，则（） A. 错误！未找到引用源。B. 错误！未找到引用源。C. 错误！未找到引用源。D. 错误！未找到引用源。 变式 2 （2012 福建理 5）下列不等式中一定成立的是（） A. 错误！未找到引用源。B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。D. 错误！未找到引用源。 例 7.6 若错误！未找到引用源。 ，则下列不等式对一切满足条件的错误！未找到引用源。恒 成立的是（写出所有正确命题的序号）. 错误！未找到引用源。； 错误！未找到引用源。 ； 错误！未找到引用源。 ； 错误！未 找到引用源。 ； 错误！未找到引用源。. 解析 ：对于，由 错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 ， 即错误！未找到引用源。(当且仅当 错误！未找到引用源。时取等号 )，故正确；对于， 由错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，即 错误！未找 到引用源。 (当且仅当 错误！未找到引用源。时取等号 )，故正确；对于，由错误！未找 到引用源。 得错误！未找到引用源。，故正确 . 对于， 错误！未找到引用源。 ，因此 错 误！未找到引用源。(当且仅当 错误！未找到引用源。时取等号 )，故不恒成立； 对于， 错误！未找到引用源。，又 错误！未找到引用源。 ，则 错误！未找到引用源。 ，故 正确，故填. 变式 1 如果正数 错误！未找到引用源。满足 错误！未找到引用源。 ，那么（） A. 错误！未找到引用源。 ，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一 B. 错误！未找到引用源。 ，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一 C. 错误！未找到引用源。 ，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一 D. 错误！未找到引用源。 ，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一 题型 92 利用基本不等式求函数最值 思路提示 （1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和 或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足相等的函数求最值，可考虑利用函数 单调性解题） ；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时， 这是个方面缺 一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误. （2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1 通过加减项的方法配凑成使用基本不等 式的形式； 2 注意“ 1”的变换； 3 灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4 合理配组，反 复使用基本不等式等. 一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证 例 7.7 （1）若 错误！未找到引用源。 ，求函数 错误！未找到引用源。的最小值； （2）若 错误！未找到引用源。 ，求函数 错误！未找到引用源。的值域 . 分析 ： （1）因为 错误！未找到引用源。满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值. （2）因为 错误！未找到引用源。，故需先转化为错误！未找到引用源。 ，才能利用基本不等 式求最值 . 解析 ：因为 错误！未找到引用源。，由基本不等式得错误！未找到引用源。，当且仅当 错误！ 未找到引用源。 ，即 错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。取最小值 . （2）因为 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。 ，则 错误！未找到引用源。 ， 且错误！未找到引用源。， 即错误！未找到引用源。. 当且仅当 错误！未找到引用源。，即 错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。取最大值 错误！未找到引用源。. 故函数 错误！未找到引用源。的值域为 错误！未找到引用源。. 评注 ：解（ 1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最 值时，各项必须为正数. 变式 1 （1）求函数 错误！未找到引用源。的值域 （2）求函数 错误！未找到引用源。的最小值； （3）求函数 错误！未找到引用源。的最小值 . 二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式 例 7.8 已知 错误！未找到引用源。，求函数 错误！未找到引用源。的最大值 . 分析 ：因为 错误！未找到引用源。，所以首先要调整符号，又错误！未找到引用源。不是常 数，所以要对 错误！ 未找到引用源。进行拆凑项， 通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不 等式的形式，从而求得函数的最值. 解析 ：因为 错误！ 未找到引用源。 ，所以 错误！ 未找到引用源。 ，由错误！ 未找到引用源。（当 且仅当 错误！未找到引用源。时，即 错误！未找到引用源。时取等号）得错误！未找到引 用源。 . 所以函数的最大值为1. 当且仅当 错误！未找到引用源。时，即 错误！未找到引用源。时取等号，故当错误！未找 到引用源。 时， 错误！未找到引用源。. 评注 ：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满 足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“错误！未找到引用源。”改为“ 错误！未找 到引用源。” ，则如下求解：因为错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到引用源。 ，为错 误求解， 错误原因： 在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等” 加以验证， 事实上， 错误！未找到引用源。.一般地，对勾函数错误！未找到引用源。在错误！未找到 引用源。 上单调递减，在错误！未找到引用源。上单调递增，若不满足“三相等”的条件 可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数错误！未找到引用源。同形质异 的函数 错误！未找到引用源。在上 错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。均为单 调增函数 . 如错误！未找到引用源。可直接利用单调性求最值. 变式 1 求函数 错误！未找到引用源。的最大值 . 变式 2 设正实数 错误！未找到引用源。满足 错误！未找到引用源。 ，则当 错误！未找到引用 源。 取得最大值时，错误！未找到引用源。最大值为（） A. 0 B. 1 C. 错误！未找到引用源。D. 3 三、 “1”的变换 例 7.9 已知 错误！未找到引用源。，且 错误！未找到引用源。，求 错误！未找到引用源。的 最小值 . 分析 ：利用条件 错误！未找到引用源。中“ 1”的变换 . 解析 ：解法一：因为错误！未找到引用源。，且 错误！未找到引用源。，所以 错误！未找到 引用源。 .当且仅当 错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 的最小值为16. 解法二：由 错误！未找到引用源。 ，且 错误！未找到引用源。 ，得 错误！未找到引用源。 ，所 以错误！未找到引用源。 10.因为0y，所以90y，所以 99 (9)102 (9)1016 99 yy yy . 当且仅当 9 9 9 y y ，即12y时取等号， 此时4x，所以当4,12xy时，xy取 得最小值16 评注本题的解法一是利用条件中的“1” ，代换成“ 19 xy ” ，将其所求的形配凑成利用基 本 不 等 式 的 形 式 ， 使 得 题 目 顺 利 求 解 ， 但 下 面 的 解 法 是 错 误 的 ： 因 为 191 96 12 xyx y xy ，即36xy，所以22 3612xyxy，错误的原因 在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实， 这两次 “=”不能同时取得， 这就提醒我们， 在多次使用基本不等式时，一定要验证多次 “=” 满足的条件能否同时成立. 变式 1 已知0a，0b，2ab，则 11 y ab 的最小值是 变式 2 求函数 22 14 (0) sincos2 yx xx 的最小值 变式 3 已知abc，证明： 1113 abbccaac 变式 4 设2ab，0b则当a时， 1 2 a ab 最得最小值 . 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用 例 7.10 若正数,a b满足3abab，则： （1）ab的取值范围是 （2）ab的取值范围是 分析由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形 式，然后解不等式即可. 解析 （1）解法一：基本不等式.323ababab，当且仅当ab时取等号，所以 2 ()30abab，解得3ab或1ab（舍），所以3ab，故有9ab.当 且仅当3ab时取等号，即ab的取值范围是9,) 解法二 ：判别式法.令abt（3t） ，则 t b a ，代入原式得， 3 t ta a ，整理得 2 (3)0at at. 2 (3)40tt，得9t或1t（舍），ab的取值范围是9,) （2）解法一 ： 2 3() 2 ab abab，当且仅当ab时取等号，令0Sab，则 2 3 4 S S，整理得即 2 4120SS得6S或2S（舍），即ab的取值范围是 6,) 解法二： 判别式法，令abt（0t） ，则bta，代入原式得，()3a tat，整 理得 2 30aatt 2 4(3)0tt，得6t或2t（舍） . 即ab的取值范围是6,) 评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求 解本题的第（ 2）问 . 变式 1 若,0x y满足26xyxy，则 xy的最小值是 变式 2 若,0x y满足2xyxy，则xy的最小值是 变式 3 若,0x y满足228xyxy，则2xy的最小值是（） .A 3.B4.C 9 2 .D 11 2 五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式 例 7.11 设0,0xy， 2 2 1 2 y x，则 2 1xy的最大值为 分析观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解 题的核心 . 解析0x，0y， 2 2 1 2 y x所以 222 1(1)xyxy 2 21 2 2 y x 2 21 2 2 2 y x 2 21 3 2 22 2 24 y x （当且仅当 2 2 1 2 y x时取“ =” ，即 3 2 x， 2 2 y时取“ =” ）. 2 1xy的最大值为 3 2 4 评注本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的 2 2 1 2 y x，采用三 角换元来求解，望同学们自己尝试 变式已知 0a ， 0b ， 4ab ，求 2211 ()()ab ab 的最小值 六、合理配组，反复应用基本不等式 例 7.12 设0ab，则 2 11 () a aba ab 的最小值是（） .A1.B2.C 3.D4 解析解法一：因为 2 11 2 ab ab ，所以 4 11 ab ab .故 2 114 ()aba abaabab 则 211 () a aba ab 2 2 4 a aabab 22 22 44 24aa aa （ 当且 仅当 2 a baa b与 4 4a，0ab同时成立时，取得“=” ） ，即当2a， 2 2 b时， 211 () a aba ab 的最小值为4，故选 D 解 法 二 ： 22111111 () () aa aba ababb aba ， 因 为0b，0ab， 所 以 2 2 ()() 24 aa b ab（当且仅当2ab时取“=”），则 222 22 144 24 () aaa b abaa （当且仅当2a时取“ =” ） ，所以当2a， 2 2 b时， 2 11 () a aba ab 的最小值为4，故选 D 变式 1 若0a，0b，满足 11 2 ab ab 的最小值是（） .A 2.B2 2.C 4.D 5 变式 2 若,x y是正数，则 22 11 ()() 22 xy yx 的最小值是（） .A 3.B 7 2 .C4.D 9 2 题型 93 利用基本不等式证明不等式 思路提示 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例 7.13 （1）, ,a b cR ，求证： 11 ()()4abc abc （2） , ,a b cR，求证： 222 abc abc bca （3） , ,x y zR，且1xyz，求证：3xyz 解析（1）因为, ,0a b c，所以 1111 ()()()()abcabc abcabc 11 abc bca 2 abc bca 224当且仅当abc时等号成立 . （ 2） 因 为,0a b c， 所 以 2 2 a ba b ， 2 2 b cb c ， 2 2 c ac a 三 式 相 加 得 ： 222 ()()() abc bca bca 222abc，即 222 abc abc bca （3）分析法 .要证明3xyz，只需证2()3xyzxyxzyz，只 需证：1xyxzyz 因为, ,x y zR ，2xyxy，2xzxz，2yzyz，所以 2()2()xyzxyyzxz，所以，1xyyzxz成立 . 所以3xyz 评注本题（ 2）的证明是综合法， （3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析 法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复 习的问题，也可以结合这两种方法使用 变式 1 若, ,a b cR ，且1abc，求证： 111 (1)(1)(1)8 abc 变式 2 证明：若, , , , ,x y z a b cR ，则 22 2() bccaab yzxyyzxz abc 最有效训练题27（限时 45 分钟） 1函数 1 ( ) 2 f xx x （2x）在 xa处取得最小值，则a （） .A12.B13.C 3.D 4 2已知 0a ， 0b ， 2ab ，则 19 y ab 的最小值是（） .A 7 2 .B 8.C 9 2 .D 5 3若0x，0y， 2 28 2 yx mm xy 恒成立，则实数m的取值范围是（） .A (, 24,).B (,4 2 ,).C (2 , 4 ).D (4 , 2 ) 4已知,a bR，且21ab，则 22 24Sabab的最大值为（） .A 21 2 .B21.C21.D 21 2 5若0x，0y，且()1xyxy则（） .A222xy.B222xy.C 2 (21)xy.D 2 (21)xy 6若224 mn ，则点(, )m n必在（） .A直线20xy的左下方.B直线20xy的右上方 .C直线220xy的右上方.D直线220xy的左下方 7在“ 4 + 9 1”中的“”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小 值为 8已知函数( ) 1 p f xx x （p为常数，且0p） ，若( )f x在(1,)上的最小值是4， 则实数p的值为 9已知关于x的不等式 2 27x xa 在( ,)xa上恒成立，则实数 a的最小值为 10 （1）设02x，求函数(42 )yxx最大值 . （2）设(0,)x，求函数 4 ( )sin sin f xx x 的最小值 . （3）已知0x，0y，且1xy，求 34 xy 的最小值 （4）若正数, x y满足35xyxy，则34xy的最小值是 11已知,a b为正数，求证： ab ab ba . 12提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车 辆速度v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数 .当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20 辆/千米时，车流速 度为 60 千米 /小时，研究表明，当20200x时，车流速度 v是车流密度x的一次函数 . （1）当20200x时，求函数( )v x的表达式； （2）当车密度 x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆 /每小 时）( )( )f xx v x可以达到最大，并求出最大值（精确到1 辆/小时） .
