二次根式导学案(人教版全章).pdf

1 第十六章二次根式 第一课时二次根式 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0 aa和)0()( 2 aaa 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质 难点：综合运用性质)0(0 aa和)0()( 2 aaa。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知ax 2 ，那么 a是 x的_; x是 a的_ 记为_, a 一定是 _数。 （2）4 的算术平方根为2，用式子表示为 =_；正数 a 的算术平方根为_，0 的算术平方根为_；式子 )0(0 aa的意义是。 （二）自主学习 (1)16 的平方根是； (2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是 t( 单位：秒 ) 与开始下落时的高度h(单位：米 )满足关系式 2 5th。如果用含 h 的式 子表示 t ，则 t = ； (3) 圆的面积为 S，则圆的半径是； (4) 正方形的面积为3b，则边长为。 思考：16 ， 5 h ， s ,3b等式子的实际意义 . 说一说他们的共同特征 . 4 2 定义: 一般地我们把形如a （0a）叫做二次根式， a叫做_ 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16 ， 3 4，5， )0( 3 a a ， 1 2 x 2、当 a为正数时a 指a的，而 0 的算术平方根是，负数，只有非负数 a才有算术平方根。所以，在 二次根式a 中，字母a必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算： (1) 2 )4(2) （3） 2 )5. 0(（4） 2 ) 3 1 ( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0a, 4、由公式)0()( 2 aaa，我们可以得到公式 a= 2 )( a , 利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=(5) 2. 练习： (1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2) 在实数范围内因式分解 7 2 x 4a 2 -11 （三）合作探究 【例 1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、 3 3 、 1 x 、x （x0） 、0 、 4 2 、-2 、 1 xy 、xy （x0， y?0） _)( 2 a 2 )3( 3 【例 2】当 x 是多少时，23x+ 1 1x 在实数范围内有意义？【例 3】已知 y=2x +2x+5，求 x y 的值 若1a+1b=0，求 a 2012+b2012 的值 练习： 1、x取何值时，下列各二次根式有意义？ 43x 2 2 3 x 2、 （1）若33aa 有意义，则 a 的值为 _ （2）若在实数范围内有意义，则x 为（） 。 A.正数B.负数 C.非负数D.非正数 3、(1) 在式子 x x 1 21 中， x的取值范围是 _. (2)已知4 2 x+yx20，则 yx_. (3) 已知233xxy, 则 x y = _。 （四）达标测试 ( 一) 填空题： x2 1 x 4 1、 2 5 3 2、若0112yx，那么 x= ，y= 。 3、当 x= 时，代数式45x有最小值，其最小值是。 4、在实数范围内因式分解： （1） 22 9xx ( ) 2=（x+ ）(y- ) （2） 22 3xx ( ) 2=（x+ ）(y- ) （二）选择题： 1、一个数的算术平方根是a，比这个数大 3 的数为（） A 、3a B、3a C、3a D 、3 2 a 2 、二次根式1a中，字母 a 的取值范围是（） A 、 al B、a1 C、a1 D、a1 2、已知03x则 x 的值为（）A、 x-3 B、x0，y0) 2、若32)3)(2(xxxx，则 x 的取值范围是。 3、自由落体的公式为S= 1 2 gt 2（g 为重力加速度，它的值为 10m/s 2） ，若物体下落的高度为 720m，则下落的时间是 _ 4、已知：)35( 2 1 a，)35( 2 1 b，求 a 2-ab+b2 的值。 15 第二课时二次根式的除法 一、学习目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点 重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质 2、计算：（1）38×（-46 ）（2） 3 612abab 3、填空：（1） 9 16 =_， 9 16 =_；规律： 9 16 _ 9 16 ； （2） 16 36 =_， 16 36 =_； 16 36 _ 16 36 ； （3） 4 16 =_， 4 16 =_； 4 16 _ 4 16 ； （4） 36 81 =_， 36 81 =_ 36 81 _ 36 81 一般地，对二次根式的除法规定： 16 a b = a b （a0，b0）反过来， a b = a b （a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 （二）合作探究 【例 1】计算： （1） 12 3 （2） 31 28 （3） 11 416 （4） 64 8 解： 【例 2】化简： （1） 3 64 （2） 2 2 64 9 b a （3） 2 9 64 x y （三） 、巩固练习 1、计算： （1） 12 3 （2） 31 28 （3） 11 416 （4） 64 8 17 2、化简： （1） 3 64 （2） 2 2 64 9 b a （3） 2 9 64 x y （4） 2 5 169 x y 注： 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。 （四）拓展延伸 阅读下列运算过程： 133 3 333 ， 22 52 5 5 555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化 ” 。 利用上述方法化简： (1) 2 6 =_ （） 1 3 2 =_() 1 12 =_ _ ( ) 10 2 5 =_ _ （五）达标测试： A组 1、选择题 （1）计算 112 121 335 的结果是（） A 2 7 5 B 2 7 C2 D 2 7 （2）化简 3 2 27 的结果是（） A- 2 3 B- 2 3 C- 6 3 D-2 18 2、计算： （1） 48 2 （2） x x 8 2 3 （3） 16 1 4 1 （4） 2 9 64 x y B组 用两种方法计算： （1） 64 8 （2） 34 6 第三课时最简二次根式 一、学习目标 1、理解最简二次根式的概念。 2、把二次根式化成最简二次根式 3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点 重点：最简二次根式的运用。 难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、化简（ 1） 4 96x= （2） 3 2 27 = （3） 3 5 = (4） 3 2 27 = （5） 8 2a = 19 2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？ （二）自主学习 观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根 （三）合作探究 【例 1】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？ 8 ； a 1 ；5.2； 22 yx； 22 ba； 3 42 ； 2 3 例 2、化简 : (1) 5 3 12 (2) 2442 x yx y (3) 23 8x y (4) 20 8 例 3 、计算： 5 2 1 3 1 2 3 2 1例 4、比较下列数的大小（ 1）8. 2与 4 3 2（2）7667与 注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。 2、判断是否为 最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2 20 （四）拓展延伸 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 12 12 12 )12)(12( ) 12(1 12 1 ， 23 23 23 )23)(23( )23(1 23 1 ， 同理可得： 32 1 =32，, 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 23 1 12 1 ,+ 20082009 1 ） （12009）的值 （五）达标测试： 1、选择题 （1）如果 x y （y0）是二次根式，化为最简二次根式是（） A x y （y0） B xy （y0） C xy y （y0） D 都不对 （2）化简二次根式 2 2 a a a的结果是 A 、2a B、-2a C、2a D、-2a 21 2 、填空： （1）化简 422 xx y=_ （x0）（2）已知 25 1 x，则 x x 1 的值等于 _. 3 、计算： （1） 2 1 4 7 4 3 1 (2) 2 1 5 4 1 ) 7 4 1 8 1 ( 2 1 33 （六）课后提高 1、计算： a b baab b 3) 2 3 ( 2 35 （a0,b0） 2、若 x、y 为实数，且 y= 22 441 2 xx x ，求yxyx的值。 22 3、已知 a 为实数，化简： 3 a -a 1 a ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，?请写出正确的解答过程： 解： 3 a -a 1 a =aa -a· 1 a a =（a-1）a 4、观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 1 21 = 1 ( 21)21 21( 21)( 21) =2 -1， 1 32 = 1 ( 32)32 32 ( 32)(32) =3 -2， 同理可得： 1 43 =4 -3，, 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 1 21 + 1 32 + 1 43 +, 1 20022001 ） （2002+1）的值 23 二次根式的加减 第一课时二次根式的加减 学习目标： 1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式 2、理解和掌握二次根式加减的方法 3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和 化简 学习重点、难点 1、重点：二次根式化简为最简根式 2、难点：会判定是否是最简二次根式 学习过程 一、自主学习 （一） 、复习引入 计算 （1）xx32；（2） 222 532xxx；（3）yxx32；（4） 222 23aaa （二） 、探索新知 学生活动：计算下列各式 （1）22 +32 = （2）2 8 -38 +58 = （3）7 +27 +39 7 = （4）33-23+2 = 由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如22 与8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以 （与整数 中同类项的意义相类似我们把33 与 32 ， a3、a2与a4这样的几个二次根式，称为同类二次根式） 32 +8 =32 +22 =52 33+27 =3 3 +3 3 =63 24 所以， 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将同类二次根式进行合并 二合作探究 例 1计算（1）8 + 18（2）16x +64x 例 2计算（ 1）348-9 1 3 +3 12（ 2 ） （48+20 ）+（12-5） 归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式； 第二步，将相同的最简二次根式进行合并 三、巩固练习 (1) ) 27 1 3 1 (12 (2) )512()2048( (3) y y x y x x 1 2 4 1 （4）) 4 6 1 (9 3 2 2 x x x xxx 25 四、课堂检测 （一） 、选择题 1以下二次根式：12 ； 2 2 ； 2 3 ；27 中，与3 是同类二次根式的是（） A和 B和 C和 D和 2下列各式： 33+3=6 3； 1 7 7 =1；2 +6 = 8 =22 ； 24 3 =22 ，其中错误的有（） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 3在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A)3和18(B)3和 3 1 (C)ba 2 和 2 ab(D)1a和1a 4下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252(B)15354(C)yxyx 22 (D)52045 5若 12 1 , 12 1 ba则)( a b b a ab的值为 ( ) (A)2 (B)2 (C)2(D)22 二、填空题 1在8、 1 75 3 a、 2 9 3 a、125、 3 2 3a a 、30.2 、-2 1 8 中，与3a 是同类二次根式的有 _ 2计算二次根式 5a -3b -7a +9b 的最后结果是 _ 26 3若最简二次根式123x与13x是同类二次根式，则x_ 4若最简二次根式ba3与 ba b2是同类二次根式，则a_，b_ 五、课后提高 1、 计算： （1）a aa a a aa108 43 3 3 27 3 123 （2）5.075 3 1 2 8 1 32 2、先化简，再求值)364() 3 6( 3 xy y x xxy yx y x，其中 x= 3 2 ，y=27 3、已知 4x2+y 2-4x-6y+10=0 ，求（2 9 3 xx+y 2 3 x y ）-（x2 1 x -5x y x ）的值 27 第二课时二次根式的混合运算 一、学习目标 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 二、学习重点、难点 重点：熟练进行二次根式的混合运算。 难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 三、学习过程 （一）复习回顾： 1、填空 （1） 整式混合运算的顺序是：。 （2）二次根式的乘除法法则是：。 （3）二次根式的加减法法则是：。 （4）写出已经学过的乘法公式： 2、计算： （1）6 ·a3·b 3 1 （2） 16 1 4 1 （3）50 5 1 12 2 1 832 （二）合作交流 1、探究计算： （1） （38）×6（2）22)6324( 28 2、探究计算： （1）)52)(32(（2） 2 )232( （三）展示反馈 计算： （1）12) 3 2 32427 3 1 (（2）)32)(532( （3） 2 )3223(（4） （10-7 ） （-10-7 ） 注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法 公式适用于二次根式的运算。 （四）拓展延伸 同学们，我们以前学过完全平方公式 222 ()2abaabb ，你一定熟练掌握了吧 ! 现在，我们又学习了二次根式， 那么所有的 正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3） 2，5=（ 5 ） 2，下面我们观察： 222 ( 21)( 2)2 12122 2132 2 29 反之， 2 32 222 21(21) 2 32 2(21) 223=2 -1 仿上例，求：（1） ；324你会算124吗？ （3）若nmba2，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由 （六）达标测试： A组 1、计算： （1）5)9080(（2）326324 （3）)()3( 33 abababba（a0,b0）（4） (2 65 2)(2 65 2)- 30 2、已知 12 1 , 12 1 ba，求10 22 ba的值。 B组 计算： （1）)123)(123(（2） 20092009 (310)(310) （七）课后提高 1、计算 2 8 185 .02 483 27 1 9122（3）) 8 1 3 1 2()75.032( )27 33 1 ( 3 2 y y x y x（5）32 3 1 3123（6）)253)(253( 31 （7） 22 )632()632(（8）)777)(777( 2、当 x= 15 +7 ，y=15 -7 ，求 x 2-xy+y2 的值。 3、把下列各式的分母有理化 （1） 1 51 ；（2） 1 12 3 ；（3） 2 62 ；（4） 3 34 2 3 34 2 二次根式复习 一、学习目标 1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。 2、熟练进行二次根式的乘除法运算。 3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。 4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。 二、学习重点、难点 重点：二次根式的计算和化简。 难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。 32 三、复习过程 （一）自主复习 1若 a0，a 的平方根可表示为 _ a 的算术平方根可表示 _ 2当 a_时，12a 有意义，当 a_时，35a没有意义。 3 2 (3)_ 2 ( 32)_ 4_1872_;4814 5_20125_;2712 （二）合作交流，展示反馈 1、式子 5 4 5 4 x x x x 成立的条件是什么 ? 2、计算： (1) 253 4 1 122 (2) 3 2 125 9 x y 3(1) 25 33 75 (2) 2 ( 3 22 3) （三）精讲点拨 在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子： （1） 22 ()(0)() (0)aa aaaa与 （2） 0 00 0 2 aa a aa aa 33 （3）(0,0)(0,0)abab ababab ab与 （4）(0,0)(0,0) aaaa abab bb bb 与 （5） 22222 ()2()()abaabbab abab与 （四）达标测试： A组 1、选择题： （1）化简 2 5的结果是（） A 5 B -5 C 士 5 D 25 （2）代数式 2 4 x x 中，x 的取值范围是（） A 4x B 2x C 24xx且 D 24xx且 （3）下列各运算，正确的是（） A、565352 B、 5 3 25 9 25 1 9 C 、12551255 D 、yxyxyx 2222 （4）如果(0) x y y 是二次根式，化为最简二次根式是（） A、(0) x y y B、(0)xy y C 、(0) xy y y D 、以上都不对 （5）化简 27 23 的结果是（） 226 2 333 ABCD 34 2、计算 (1)453227 (2) 16 25 64 (3)(2)(2)aa (4) 2 (3)x 3、已知 2 23 , 2 23 ba求 ba 11 的值 B组 1、选择： （1） 5 5 , 5 1 ba，则（） A a, b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5ab D a=b （2）在下列各式中，化简正确的是（）A、153 3 5 B、2 2 1 2 1 C 、baba 24 D、1 23 xxxx （3）把 1 (1) 1 a a 中根号外的(1)a移人根号内得（） 11 11 AaBa CaDa 35 2 、计算： （1）54 2 6 362（2） 0.9 121 0.36 100 （3） 22 (3 22 3) ( 3 22 3) 3、若最简根式 3 43 a b ab 与根式 232 26abbb 是同类二次根式（或化简后能合并） ，求 a、b 的值 4、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程： 2233 22,33 3388 (1) 按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 15 4 4的变化结果并进行验证 (2) 针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数， 且 n2)表示的等式并进行验证