八年级数学提高专题23面积的计算.pdf

八年级数学提高专题23 面积的计算 阅 读 与 思 考 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式； 2等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理： (1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积 之比等于等于对应底之比. (2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论： S1 S4 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S4 S2 S3 S1 S2 S3 S2S1 例 题 与 求 解 【例 1】 如图，ABC 内三个三角形的面积分别为5， 8， 10， 四边形 AEFD 的面积为x， 则x_. （黄冈市竞赛试题） 解题思路： 图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口. 【例 2】如图，在 ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且BDCE，BD4，CE6， 那么 ABC 的面积等于( ) (全国初中数学联赛) A 12 B 14 C16 D18 解题思路： 由中点想到三角形中位线，这样ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系. 例 1 图 10 8 5 F A B C D E 例 2 图 D A B C E 【例 3】如图，依次延长四边形ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 至 E，F，G，H，使 BE AB CF BC DG CD AH DA m，若 S四边形 EFGH2S四边形ABCD，求m的值 . 解题思路： 添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于 m的方程 . 【例 4】如图， P，Q 是矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 延长线上的两点，PA 与 CQ 相交于点 E，且 PAD QAD，求证： S矩形 ABCDSAPQ. 解题思路： 图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起 来，促使问题的转化. 【例 5】如图，在RtABC 中， A90° ，AB8，AC6，若动点D 从点 B 出发，沿线段BA 运动 到点 A 为止，移动速度为每秒2 个单位长度 . 过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，设动点 D 运动的时间为x 秒， AE 的长为 y. (1) 求出 y 关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2) 当x为何值时， BDE 的面积 S有最大值，最大值为多少？ ( 江西省中考试题) 解题思路： 对于 (1)利用 ADE ABC 可得 y 与x的关系式；对于(2)先写出 S关于x的函数关系式， 再求最大值 . 例 3 图 B C D E F G H A 例 4 图 E Q A BP C D 例 5 图 A B C D E 【例 6】如图，设P 为ABC 内任意一点，直线AP，BP，CP 交 BC，CA，AB 于点 D，E，F. 求证： (1) PD AD PE BE PF CF1； (2) PA AD PB BE PC CF 2 解题思路： 过点 A，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系 起来，把 PA AD 转化为面积比，利用面积法证明. 能 力 训 练 A 级 1如图，ABCD 中，AEBE 12，SAEF6cm 2，则 S CDF的值为 _. ( 济南市中考试题) 2如图，正六边形ABCDEF 的边长为2 3cm， P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为 _. 3如图， P 是边长为8 的正方形ABCD 外一点， PBPC，PBD 的面积等于48，则 PBC 的面积 为_. (北京市竞赛试题) 4如图，已知 BOF， AOF， BOD，COE 的面积分别为30，40， 35， 84， 则ABC 的面积为 _. ( 浙江省竞赛试题) 5 如图，已知 AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，DE 是 RtADC 斜边上的高， 如果 DCAD 1 2， SDCE a，那么 SABC等于( ) ( 金华市中考试题) A4aB9aC16aD25a 第 2 题图 A B C DE F 例 6 图 A B C D F E 第 1题图 F A B C D E 第 3 题图 A B P C D 6如图，已知M 是ABCD 边 AB 的中点， CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分面积与ABCD 的面 积之比为（）（山西省中考试题） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 5 12 7如图，在ABC 中，DEBC， DE 分别交 AB， AC 于点 D， E， 若 SADE2SDCE， 则S ADE SABC 等于 ( ) (浙江省宁波市中考试题) A 1 4 B 1 2 C 2 3 D4 9 8如图， ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，则 图中阴影部分面积面积为（）cm2. ( 广东省竞赛试题) A4 B2 3 C3 3 D43 9如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A B C D ，且正方形ABCD的顶点A 在正方形 ABCD 的中心，当正方形A B C D绕 A 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论 对吗？证明你的判断. （ “希望杯”邀请赛试题） 第 8 题图 H GF E A B C 第 5 题图 E D A B C 第 4 题图 O A BC D E F 第 6 题图 E A B C D M 第 7 题图 A B C D E 第 9 题图 A BC D A' B' C' D' 10 如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB， CD 的中点分别为K， M.求证：S四边形ABCDS ABMSDCK 11如图 1，AB，CD 是两条线段， M 是 AB 的中点， SDMC，SDAC，SDBC分别表示 DMC，DAC ， DBC 的面积，当ABCD 时，有 SDMC SDACSDBC 2 . (1) 如图 2，若图 1 中 AB 与 CD 不平行时，式是否成立？请说明理由. (2) 如图 3，若图 1 中 AB 与 CD 相交于点O 时，问 S DMC与 SDAC和 SDBC有何相等关系？试证明 你的结论 . （安徽省中考试题） 图2 图1图3 O B C B D A D C B A D C A M M M 12如图，在 ABC 中， ACB90° ， ABC30° ，将 ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 （0° 180° ） ，得到 AB C. (1) 如图 1，当 ABCB时，设 AB与 CB 相交于点 D，证明： ACD 是等边三角形； (2) 如图 2， 连接 A A， BB， 设ACA和 BCB的面积分别为SACA 和 SBCB .求证：SACA SBCB13. (3) 如图 3，设 AC 的中点为E，AB的中点为P，AC a，连接 EP，当 _时， EP 长度最大， 最大值是 _. （安徽省中考试题） 图2 图1图3 D A CB A' B' A C B A' B' A C B A' B' E P 第 10 题图 A B C D K M B 级 1如图， A 在线段 BG 上， ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2 和 11cm 2，则 CDE 的面 积等于 _cm 2. （武汉市竞赛试题） 2如图， P 为正方形ABCD 内一点， PA PB10，并且P 到 CD 边的距离也等于10，那么正方形 ABCD 的面积是 _. (北京市竞赛试题) 3如图，四边形ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，DC 上， DF FC 1，CE BE 2，若 ADF 的面积为 m，四 边形 AECF 的面积为n (nm)，则四边形ABCD 的面积为 _. ( 全国初中数学联赛试题) 4 如图，图形 ABCD 中，ABCD， AC 和 BD 相交于点O，若 AC5，BD12，中位线长为 13 2 ， AOB 的面积为S1，OCD 的面积为S2，则S1S2_. (山东省竞赛试题) 5如图， 分别延长 ABC 的三边 AB，BC，CA 至 A ，B ，C ，使得 AA3AB，BB 3BC，CC 3AC， 若 SABC1，则 SA BC 等于 ( ). A18 B19 C24 D27 (山东省竞赛试题) 6如图，若ABCD 是 2× 2 的正方形， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点， AF 与 DE 相交于点I， BD 和 AF 相交于点 H，那么四边形BEIH 的面积是( ) A 1 3 B 5 2 C 7 15 D 8 15 ( 江苏省竞赛试题) 7如图，矩形ABCD 中， E 是 BC 上的一点， F 是 CD 上的点，已知SABESADF 1 3S ABCD，则 SAEF SCEF 的值等于( ) ( 北京市竞赛试题) A2 B3 C4 D5 第 6 题图 I H A B C D E F 第 4 题图 O A DC B 第 3 题图 AB C D F E 第 2 题图 AB C D P 第 1 题图 C B G D E F A 第 5 题图 A' B' C' A C B 第 7 题图 A BC D E F 8(1) 探究：如图1，在ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE， FAB EAD90° ，连接 AC，EF. 在图中找一个与 FAE 全等的三角形，并加以证明. (2) 应用：以ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接 EF，GH，IJ，KL，若 ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为_. （长春市中考试题） 图1 图2 AD B C F E L K J IH G A D BC E F 9如图，在梯形ABCD 中， ADBC，ABADDC 2cm，BC4cm，在等腰 PQR 中， QPR 120° ，底边 QR6cm， 点 B，C，Q，R 在同一条直线l 上，且 C，Q 两点重合，如果等腰 PQR 以 1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积记为Scm2. (1) 当 t4 时，求 S的值； (2) 当 4 t 10 时，求 S与 t 的函数关系式，并求出S的最大值 . ( 广州市中考试题) 10有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边 长为 12cm，如图 1 将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点 D 与点 A 重合将直尺沿 AB 方向平移，如图2，设平移的长为xcm(0x10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的 面积 Scm2. (1) 当x0 时， S_，当10x时， S_； (2) 当 0x4 时，求 S关于x的函数关系式； (3) 当 4x10 时，求 S关于x的函数关系式，并求出S的最大值 . ( 徐州市中考试题) 图1 图2 F GF (D)A B C AB C E DE 第 9 题图 A D P BC(Q)R 11如图，设 H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时 HBCABC SS的值变大、变小、还是不变?证 明你的结论 . ( 全国初中数学联赛试题) 12(1) 请你在图1 中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； (2) 如图 2，点 M 是矩形 ABCD 内一定点， 请你在图2 中过点 M 作一条直线， 使它将矩形ABCD 分成 面积相等的两部分； (3) 如图 3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图， 其中 DCOB， OB6， BC4， CD4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点 P(4， 2)处. 为 了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计 )，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形 OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线l 是否存在 ?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明 理由 . ( 陕西省中考试题) x y 图1 图2图3 O AB CDD C BA M DC P B 第 11 题图 H D E F A BC