六年级奥数总复习-教师版(一……六讲).pdf
六年级奥数讲义 第 1 页 共 104 页 第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简 便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式 知识点拨 一、裂项综合 （一）、 “裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 ab 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有 1111 () abba ab (2) 对于分母上为3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn ， 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的，我们有： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将x 提取出来即可转 化为分子都是1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、 “裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 11abab abababba （2） 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消” 型的，同时还有转化为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334.(1)nn 1 (1)(1) 3 nnn (2) 1 123234345.(2)(1)(2)(1) (1) 4 nnnnnn n 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转 化，将复杂的式子化繁为简 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数混循环小数 分子循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差 六年级奥数讲义 第 2 页 共 104 页 分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在 0 的左侧 · 0. 9 a a； · · 0. 99 ab ab； ·· 1 0.0 9910990 abab ab； · · 0. 990 abca abc，, 2、单位分数的拆分： 例： 1 10 = 11 2020 = 11 = 11 = 11 = 11 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母 N的约数中任意找出两个m和 n, 有： 11() ()()() mnmn NN mnN mnN mn = 11 AB 本题 10 的约数有 :1,10,2,5.。 例如：选 1 和 2，有： 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015 本题具体的解有： 111111111 1011110126014351530 例题精讲 模块一、 分数裂项 【例1】 11111 123423453456678978910 【解析】原式 1111111 312323423434578989 10 111 312389 10 119 2160 【巩固】 333 1234234517181920 【解析】原式 1111111 3(.) 3123234234345171819181920 113 192011139 1231819201819206840 【例2】计算： 5719 1232348910 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差 数列，且等差数列的公差为2相比较于2，4，6，, 这一公差为2 的等差数列 ( 该数列的第 n个数恰好为n的 2 倍) ，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和 再进行计算 原式 3234316 1232348910 111128 32 1 2323489 1012323489 10 1111111111 32 212232334899102334910 311111111 2 2129 102334910 31111 2 2290210 711 4605 23 15 也 可 以 直 接 进 行 通 项 归 纳 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ， 可 知 分 子 的 通 项 公 式 为23n， 所 以 六年级奥数讲义 第 3 页 共 104 页 2323 121212 n nnnnnnnn ，再 将每 一项 的 2 12nn 与 3 12nnn 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同 【巩固】计算： 571719 1155 234345891091011 （） 【解析】本题的重点在于计算括号内的算式： 571719 23434589 109 1011 这个算式不同于我们 常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情 况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式 观察可知523，734，, 即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719 23434589 1091011 2334910 23434591011 111111 342445351 01 191 1 111111 3445101124359 11 11111111111111111 344510112243546810911 1111111 3112210311 8128 332533 31 55 所以原式 31 1155651 55 【巩固】计算： 34512 1245235634671011 13 14 【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、 分母都乘以分子中的数即： 原式 2222 34512 1234523 45 63456710 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公 式： 2 3154， 2 4264， 2 5374, 【解析】原式 2222 34512 123452345 63456710 11 12 13 14 15426437410144 1234523456345671011 121314 1111 23434545611 1213 4444 1234523456345671011 121314 1111111 22334344511 121213 111111 12342345234534561011 121311 121314 11111 2231213123411 1213 14 1111 122 12132411121314 1771 811 121314 11 8211 14 1175 8308616 六年级奥数讲义 第 4 页 共 104 页 【例3】 12349 223234234523410 【解析】原式 12349 223234234523410 213141101 22323423410 1111111 1 2223232342349234910 13628799 1 2349 103628800 【例4】 1111 11212312100 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手， 通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 112 (1 1)1 112 2 ， 112 (12)2 1223 2 ，, ， 原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 【巩固】 23450 1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350) 原式 2 13 3 36 4 6 10 5 1015 , 50 12251275 （ 1 1 1 3 ）（ 1 3 1 6 ）（ 1 6 1 10 ）（ 1 1225 1 1275 ） 1274 1275 【巩固】 234100 1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) 【解析】 211 1(12)112 ， 311 (12)(123)12123 ，, ， 10011 (1299)(12100)129912100 ，所以 原式 1 1 12100 15049 1 50505050 【巩固】 2310 1 112(12)(123)(1239)(12310)（） 【解析】原式 23410 1() 13366 104555 1111111 11 3366104555 1 11 55 1 55 【例5】 222222 111111 31517191111131 . 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： 22 ()()ababab， 六年级奥数讲义 第 5 页 共 104 页 原式 111111 ()()()()()() 2446688 1010121214 1111111111111 () 244668810101212142 1113 () 214214 【巩固】计算： 22222222 35715 12233478 【解析】原式 22222222 22222222 21324387 12233478 2222222 1111111 1 2233478 2 1 1 8 63 64 【巩固】计算： 22222 22222 3151711993119951 3151711993119951 【解析】原式 22222 22222 11111 3151711993119951 222 997 244619941996 111111 997 244619941996 11 997 21996 997 997 1996 【巩固】计算： 2222 12350 133 55799 101 【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 2 21， 2 41， 2 61，, ， 2 1001，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4 倍，所以可以先将原式乘以4 后 进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了 原式 2222 2222 1246100 42141611001 2222 11111 1111 42141611001 11111 50 41 3355799101 111111111 501 423355799101 111 501 42101 150 50 4101 63 12 101 【巩固】 224466881010 1 3355779911 【解析】（法 1） ：可先找通项 2 22 11 11 11(1)(1) n n a nnnn 原式 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 13355779911 1155 5(1)55 2111111 （法 2） ：原式 288181832325050 (2)()()()() 3355779911 六年级奥数讲义 第 6 页 共 104 页 61014185065 21045 3579111111 【例6】 111 319992 111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 223231999 【解析】 11 211 11 2() 1112 (1)(2)12 (1)(1)(1) 2312 nn n nnnn n 原式 11111111 ()()()()2 23344519992000 1000 999 1000 1 1 【巩固】计算： 111 1 12123122007 【解析】先找通项公式 1211 2() 12(1)1 n a nnnnn 原式 111 1 2(21)3(31)2007(20071) 222 2222 12233420072008 2007 2 2008 2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 【解析】先找通项： 111 1 35212 213 2 na nn n nn ， 原式 111111 132435469 111012 111111 1 33591124461012 111111 21112212 175 264 【例7】 12123123412350 2232342350 【解析】找通项 (1) (1) 2 (1) (1)2 1 2 n nn nn a nn nn 原式 2334455623344556 410182814253647 ， 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有 原式 23344556484949505051 14253647475048514952 35023 2 15226 【例8】 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 【解析】 222 22333 (1)(21) 12221211 6 () (1)123(1)31 4 n nnn nn a nnnnnnn 原式 = 211111111 ()()()() 31223342627 = 2152 (1) 32781 六年级奥数讲义 第 7 页 共 104 页 【巩固】 222 111 111 2131991 【解析】 22 22 1(1)(1) 1 (1)1(1)1(2) n nn a nnnn 原式 223398989999 (21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991) 223344559898999929949 1 3 1425364999710098110050 【例9】计算： 222 222 2399 2131991 【解析】通项公式： 22 11 11112 n nn a nnn n ， 原式 22334498989999 (21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991) 2233445598989999 3 1425364999710098 22334498989999 132435979998100 29999 110050 【巩固】计算： 222 222 1299 11005000220050009999005000 【解析】本 题 的 通 项 公 式 为 2 2 1 0 05 0 0 0 n nn ， 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母 2 100500050001005000100100100nnnnnn ， 可 以 看 出 如 果 把 n 换 成 100n的 话 分 母 的 值 不 变 ， 所 以 可 以 把 原 式 子 中 的 分 数 两 两 组 合 起 来 ， 最 后 单 独 剩 下 一 个 2 2 50 5050005000 将项数和为100 的两项相加，得 22 2 22 2222 100100220010000 2 100500010050001005000 100100 1005000 nnnnnn nnnnnn nn ， 所以原式249199 （或者，可得原式中99 项的平均数为1，所以原式19999） 【例 10 】 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 【解析】虽然很容易看出 32 1 3 1 2 1 ， 54 1 5 1 4 1 , , 可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项 那 样 能 消 去 很 多 项 我 们 再 来 看 后 面 的 式 子 ， 每 一 项 的 分 母 容 易 让 我 们 想 到 公 式， 于 是 我 们 又 有 )12() 1( 6 321 1 2222 nnnn 减号前面括号里的式子有10 项，减号后面括号里的式子 也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢？ 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 211110 1 532 1 321 1 6 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 564 1 342 1 24 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 2120 1 564 1 54 1 342 1 32 1 24 2220 1 64 1 42 1 24 1110 1 32 1 21 1 6 11 1 16 11 60 六年级奥数讲义 第 8 页 共 104 页 模块二、换元与公式应用 【例11】计算： 33333333 13579111315 【解析】原式 333333333 123414152414 2 2 333 15151 8127 4 2257600 278 4 8128 【巩固】 132435911 【解析】原式21213131101 101 222 222 2222 2131101 23109 1231010 101121 10375 6 【巩固】计算：1232343458910 【解析】原式 2222 221331441991 3333 23492349 2 123912349 2 45451980 【例12】计算： 23456 111111 1 333333 【解析】法一：利用等比数列求和公式。 原式 7 1 11 3 1 1 3 7 13264 11 32729 法二：错位相减法 设 23456 111111 1 333333 S 则 2345 11111 331 33333 S， 6 1 33 3 SS，整理可得 364 1 729 S 法三：本题与例3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3 中的分子为3，与公比 4 差 1，所 以 可 以 采 用 “借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1由于公 比为 3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2 进行算，最后再将所得的结果除以2 即得到原式的值由题设， 23456 222222 22 333333 S，则运用“借来还去”的方法可得到 6 1 23 3 S，整理得到 364 1729S 【例13】计算： 22222222 (246100 )(13599 ) 12391098321 【解析】原式 22222222 2 (21 )(43 )(65 )(10099 ) 10 (21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099) 100 六年级奥数讲义 第 9 页 共 104 页 12349910050501 50 1001002 【巩固】 2 314159263141592531415927 _； 22 1234876624688766_ 【解析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设31415926a， 原式 222 1111aaaaa 原式 22 12348766212348766 2 2 1234876610000100000000 【巩固】计算： 2222222 1234200520062007 【解析】原式 2222222 2007200654321 (20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1 2007200620052004321 1 2007120072015028 2 【例14】计算： 2222222222 1223344520002001 1 223344520002001 【解析】原式 2222222222 1223344520002001 121 22323343445452000 20012000 2001 1223344520002001 2132435420012000 2132435199920012000 ()() 1223344200020002001 2000 20002000 222224000 20012001个2相加 【例15】20078.58.51.51.5101600.3 【解析】原式20078.51.58.51.5101600.3 2007108.51.5101600.3 200771600.312.50.312.2 【巩固】计算：53574743 【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果 原式552552452452 2222 552452 22 5545554555451000 【巩固】计算：11 19121813171416 【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式 原式 22222222 154153152151 22222 1541234 90030870 其中 2222 1234可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 2221 12121 6 nn nn进行计算 【巩固】计算：1992983974951 【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式 原式5049504950485048501501 222222 50495048501 2222 50491249 2222 50491249 六年级奥数讲义 第 10 页 共 104 页 21 5049495099 6 2 5049492533 492510033 492567 82075 【巩固】看规律 32 11， 332 123， 3332 1236, ，试求 33.3 6714 原式 33.333.3 1214125 22 1231412345 22 1051510515105159012010800 【例16】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 【解析】令 111 1 246 a， 111 246 b，则： 原式 11 ()() 66 abab 11 66 abbaba 1 () 6 ab 11 1 66 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 【解析】设 111 234 a，则原式化简为： 111 1(1 555 aaaa( + )(+)-+)= 【巩固】 1111111111111111 11213141213141511121314151213141 【解析】设 1111 11213141 a， 111 213141 b， 原式 11 5151 abab 11 5151 abaabb 1 () 51 ab 111 5111561 【巩固】 1111111111111111 ()() 5791179111357911137911 （）（ 【解析】设 1111 57911 A， 111 7911 B， 原式 11 1313 ABAB 11 1313 ABAABB 1 13 AB 111 13565 【巩固】计算 111111111111111111 11 234523456234562345 六年级奥数讲义 第 11 页 共 104 页 【解析】设 1111 1 2345 A， 1111 2345 B 原式 11 66 ABAB 11 66 ABAABB 11 66 AB 1 6 (AB) 1 6 【巩固】 2 123912391129239 1 2341023410223103410 【解析】设 1239 23410 t，则有 222 11111 (1) 222222 t tttttttt 【巩固】 21239123911239239 ()()(1)() 23410234102234103410 【解析】设 1239 23410 t，则有 22211111 (1)()() 222222 t tttttttt 【巩固】计算 11 11 21 11 31 11 43 11 4 1 2009 2009 【解析】设3N 1 1 4 1 2009 . 原式 = 1 1 2 N + 1 1 1 1 1 N = 1 21N N + 1 1 1 N N = 1 1 2121 NN NN . 【巩固】(7.886.775.66)(9.3110.9810)(7.886.775.6610)(9.3110.98) 【解析】换元的思想即“打包” ，令7.886.775.66a，9.3110.98b， 则原式 a (10b)(10a)b(10aba)(10abb)101010abaabb (ab) 10(7.886.775.669.3110.98)100.020.2 【巩固】计算(10.450.56)(0.450.560.67)(10.450.560.67)(0.450.56) 【解析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算. 设0.450.56a，0.450.560.67b， 有原式(1a)b(1b)0.67ababaabba 三、循环小数与分数互化 【例17】计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数 【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736 方法二：0.1+0.125+0.3+0.16 11315 98990 111 188 53 0.7361 72 【巩固】0.540.36； 19 1.2 1.24 27 【解析】 法一：原式 54536494899 90999011990 法二：将算式变为竖式： 可判断出结果应该是 ·· 0.908，化为分数即是 9089899 990990 原式 22419111231920 11 99927999279 【巩固】计算：0.010.120.230.340.780.89 【解析】方法一：0.010.120.230.340.780.89 0.544444 0.363636 0.908080 六年级奥数讲义 第 12 页 共 104 页 1121232343787898 909090909090 11121317181 909090909090 = 216 90 方法二：0.010.120.230.340.780.89 =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09 =2.1+0.01(1+2+3+4+8+9) 1 2.127 90 2.10.32.4 【巩固】计算 （1）0.2910.1920.3750.526（2）0.3300.186 【解析】（1）原式 29119213755265 999990999990 291375521 191 999990 666330 1 999990 （2）原式 3301861 999990 330185 999990 5 81 【例18】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成 1.23 ，使乘积比正确结果减少0.3. 则正确结果该是多少? 【解析】由题意得：1.231.230.3aa，即： 0.0030.3a，所以有： 33 90010 a解得90a， 所以 111 1.231.239090111 90 a 【巩固】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 【解析】 0.027×0.179672 2717967211796724856 0.004856 99999999937999999999999 循环节有 6 位， 100÷6=16,4，因此第 100 位小数是循环节中的第4 位 8，第 10l 位是 5这样四舍五入后第 100 位为 9 【例19】有 8 个数，0.51， 2 3 , 5 9 ,0.51, 24 13 , 47 25 是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第4 个数是0.51，那么 按从大到小排列时，第4 个数是哪一个数? 【解析】 2 =0.6 3 , 5 =0.5 9 , 24 0.5106 47 , 13 =0.52 25 显然有0.51060.510.510.520.50.6即 241352 0510.51 472593 ， 8 个数从小到大排列第4 个是0.51， 所以有 241352 0.510.51 472593 口 口(“”，表示未知的那2 个数 ). 所以，这8 个数从大到小排列第 4 个数是0.51 【例20】真分数 7 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少 ? 【解析】 1 =0.142857 7 ， 2 7 =0.285714， 3 7 =0.428571， 4 7 =0.571428， 5 7 =0.714285， 6 7 =0.857142因此， 真分数 7 a 化为小数后， 从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为 1992÷27=73, 21,27-21=6 ，而 6=2+4，所以 . =0.857142 7 a ，即6a 【巩固】真分数 7 a 化成循环小数之后，从小数点后第1 位起若干位数字之和是9039，则a是多少？ 【解析】我们知道形如 7 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8 这 6 个数字组成，只是各个数字 的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857和一个不完整142857组 成。903912457833421，而21276，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6， 经检验只有最后两位为4，2 时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142” ，因此这个分数应该 六年级奥数讲义 第 13 页 共 104 页 为 6 7 ，所以6a。 【巩固】真分数 7 a 化成循环小数之后，小数点后第2009 位数字为 7，则 a是多少？ 【解析】我们知道形如 7 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6 位数字组成，200963345，因此只需 判断当 a为几时满足循环节第 5 位数是 7，经逐一检验得3a。 【例21】 2002 2009 和 1 287 化成循环小数后第100 位上的数字之和是_. 【解析】如果将 2002 2009 和 1 287 转化成循环小数后再去计算第100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 发现 20021 1 2009287 ，而10.9，则第 100 位上的数字和为9. 【巩固】纯循环小数0.abc写成最简分数时, 分子和分母的和是58, 则三位数_abc 【解析】如果直接把0.abc转化为分数 , 应该是 999 abc , 因此 , 化成最简分数后的分母应该是999 的约数 ,我们将999分解质 因数得 : 3 999337, 这个最简分数的分母应小于58, 而且大于29, 否则该分数就变成了假分数了, 符合这个 要 求 的999的 约 数 就 只 有37了 , 因 此 , 分 母 应 当 为37, 分 子 就 是583721, 也 就 是 说 21 0. 999372737 abcabc abc, 因此2127567abc. 【例22】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 （1） 11111111111 102020 ； （2） 111 10 【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB ， 从分母 n的约数中任意找出两个m和n (mn) ，有： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB （1） 本题10的约数有： 1，10，2，5 例如：选 1 和 2，有： 1121211 1010(12)10(12)10(12)3015 ； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n的比值相 同，那么最后得到的 A和B也是相同的本题中，从 10 的约数中任取两个数，共有 2 4 410C种，但是其中 比值不同的只有5 组： (1，1) ；(1 ，2) ；(1 ，5) ；(1，10)；(2 ，5) ，所以本题共可拆分成5 组具体的解如下： 11111111111 10202011110126014351530 （2）10 的约数有 1、2、5、10，我们可选2 和 5： 1525211 1010(52)10(52)10(52)615 另外的解让学生去尝试练习 【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 1111111 10 【解析】先选 10 的三个约数，比如5、2 和 1，表示成连减式521和连加式521 则： 1111111 1041020804016 六年级奥数讲义 第 14 页 共 104 页 如果选 10、5、2，那么有： 1111111 103615173485 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数 拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3 个单位分数的和或差了比如，要得到 1111 10 ，根据前面的拆分随意选取一组，比如 111 101260 ，再选择其中的一个分数进行拆分， 比如 111 1213156 ，所以 1111 101360156 【例23】 11111111111 45 【解析】 11111111111 457212018304051358191545 【巩固】 1 10 = 11 - 1 = 111 【解析】 1111111 1041020804016 注：这里要先选10 的三个约数，比如5、2 和 1，表示成连减式5-2-1 和连加式 5+2+1. 【例24】所有分母小于30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。 【解析】小于 30 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 共十个，分母为17 的真分数相加，和等于 11621531489 ()()()()8 1717171717171717 171 2 。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是 1315171111131171191231291 2222222222 11 1235689111459 22 【巩固】分母为 1996 的所有最简分数之和是_。 【解析】因为 1996=2×2×499。所以分母为1996 的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499 的倍数， 499 与 3×499。 因此，分母为1996 的所有最简真分数之和是 11995319935011495997999 ()()()()111498 19961996199619961996199619961996 = 1 123568911 2 = 1 59 2 【例25】若 111 2004ab ，其中 a、b 都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是 【解析】20
