球的有关概念、性质和球的体积、表面积教案三.pdf

第 1 页 共 7 页 R C B A O R P d r O O' 课题：球(三) 教学目的： 1. 了解球的表面积公式的推导过程，体会其基本思想； 2. 会用球的表面积公式 2 4SR解决有关问题 教学重点： 球的表面积公式及其应用 教学难点： 球的表面积公式及其应用 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程 ： 一、复习引入： 1 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集 合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫 球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做 球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球 O 2球的截面： 用一平面去截一个球O， 设OO是平面的垂线段，O 为垂足，且OOd，所得的截面是以球心在截面 内的射影为圆心，以 22 rRd为半径的一个 第 2 页 共 7 页 O 圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆， 被不经过球心的 平面截得的圆叫做 小圆 3经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面 与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数； 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角 的度数 O O1 B A R R O 4两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离， 就是经过两点的大圆在这两点 间的一段劣弧的长度， 我们把这个弧长叫做两点的球面距离 5 半球的底面： 已知半径为R的球O， 用过球心的平面去截 第 3 页 共 7 页 球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含 它内部的点），叫做所得 半球的底面 6球的体积公式 ： 3 4 3 VR 二、讲解新课： 1 球的表面积： 设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球 面片” ，它们的面积分别用 12 , i SSS表示，则球的表 面积: S 12i SSS 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积 和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小 锥体”的底面积 i S可近似地等于“小锥体”的底面积，球 的半径 R近似地等于小棱锥的高 i h，因此，第i个小棱锥的 体积 1 3 iii VhS，当“小锥体”的底面非常小时， “小锥体” 的底面几乎是“平的” ，于是球的体积 : 1122 1 ( 3 ) ii VhShShS， 又 i hR，且S 12i SSS 可得 1 3 VR S， 又 34 3 VR， 1 3 R S 34 3 R， 第 4 页 共 7 页 R A' C' C A O A' B' C' D' D C B AO 2 4SR即为球的表面积公式 三、讲解范例： 例 1 已知过球面上,A B C三点的截面和球心的距离为球半 径的一半，且2ABBCCA，求球的表面积 解：设截面圆心为 O，连结O A，设球半径为R， 则 232 3 2 323 O A， 在Rt O OA中， 222 OAO AO O， 222 2 31 () 34 RR， 4 3 R， 264 4 9 SR 例 2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的 底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积 和体积 解：作轴截面如图所示， 6CC，262 3AC， 设球半径为R， 则 222 ROCCC 22 ( 6)( 3)9 3R， C B A O O' 第 5 页 共 7 页 A' B' C' D' D C B A O A' C' C A O 2 436SR 球 ， 3 4 36 3 VR 球 例 3表面积为324的球，其内接正四棱柱的 高是14，求这个正四棱柱的表面积 解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a， 则作轴截面如图， 14AA，2ACa， 又 2 4324R，9R， 22 8 2ACACCC，8a， 64 232 14576S表 例 4正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O 1是与 正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体 积 分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到 各面的距离相等 解：如图，设球O半径为R，球O 1的半径为r， E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G， 球O1与平面ACD切于点H 由题设 aGEAEAG 3 6 22 第 6 页 共 7 页 AOFAEG a Ra a R 2 3 3 6 6 3 ，得aR 12 6 AO1HAOF R r Ra rRa 3 6 2 3 6 ，得 ar 24 6 3 3 3 1728 6 24 6 3 4 3 4 1 aarV O球 四、课堂练习 ： 1球O 1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体 的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比 分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需 找到球半径之间的关系即可 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为 2 a 、a 2 2 ， a 2 3 三个球的表面积之比是3:2:1: 321 SSS 五、小结：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方 体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和 化为准确和” 的方法，是一种重要的数学思想方法极限 第 7 页 共 7 页 思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个 应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握 六、课后作业 ： 七、板书设计 （略） 八、课后记：