勾股定理的证明方法及简单应用--毕业论文.pdf

勾股定理的证明方法及简单应用-毕业论文 【标题】勾股定理的证明方法及简单应用【作者】孙官勇 【关 键词】勾股定理建筑航海 【指导老师】冯彬【专业】数 学与应用数学【正文】1 引言约 2000 年前我国古代算书 周髀算经中就记载了公元前1120 年我国古人发现的“ 勾 三股四弦五 ”.当时把较短的直角边叫做勾较长的边叫做股斜 边叫做弦。勾三股四弦五 ” 的意思是在直角三角形中如果勾为 3 股为 4 那么弦为 5.这里 32 42 52。们还发现勾为6 股为 8 弦一定为 10。为 5 股为 12 弦一定为 13 等.也有 62 82 10252 122 13? 6? 7 即勾 2 股 2 弦 2。所以我国称它为勾股定理. 据 文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明 了勾股定理以后欣喜若狂杀牛百头以示庆贺。故西方 亦称勾股定理为 “ 百牛定理 ” 。勾股定理的证明是几何学中的 明珠所以它充满魅力千百年来人们对它的证明趋之 若骛其中有著名的数学家也有业余数学爱好者有普 通的老百姓也有尊贵的政要权贵甚至有国家总统。也许 是因为勾股定理既重要又简单更容易吸引人才使它成 百次地反复被人炒作反复被人论证。 1940 年出版过一本名 为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑其中收集了 367 种不同的证明方法。实际上还不止于此有资料表明 关于勾股定理的证明方法已有500 余种仅我国清末数学家 华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。勾股定理的应用也 是非常的早在更早期的人类活动中人们就已经认识到这 一定理的某些特例。据说古埃及人也曾利用“ 勾三股四弦五 ” 的法则来确定直角。考古学家们发现了几块大约完成于公元 前 2000 年左右的古巴比伦的泥板书据专家们考证其中 一块上面刻有如下问题一根长度为30 个单位的棍子直 立在墙上当其上端滑下6 个单位时请问其下端离开墙角 有多远这是一个三边为为3:4:5 三角形的特殊例子专家 们还发现在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表表中 共刻有四列十五行数字这是一个勾股数表最右边一列 为从 1 到 15 的序号而左边三列则分别是股、勾、弦的数 值一共记载着15 组勾股数。这说明勾股定理实际上早 已进入了人类知识的宝库。中国古代大禹在治水的时候也就 也就总结出这个原理. 2 已知成果的概述2.1 国内对勾股定 理的证明赵爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用 几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒等关系既具严 密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何 紧密结合互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学 家大多继承了这一风格并且代有发展. 【证法 1】赵爽证明 以 a、b 为直角边 ba以 c 为斜边作四个全等的直角 三角形则每个直角三角形的面积等于 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE HDA EAB. HAD EAB ABCD 是一个边长为c的正方形它的面积等于c2. EF FG GH HE b a HEF 90o. EFGH 是一个边长为ba的 正方形它的面积等于. . . 【证法 2】 邹元治证明以 a、 b 为直角边以 c 为斜边做四个全等的直角三角形则每 个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图 所示形状使 A、E、B 三点在一条直线上、F、C 三点 在一条直线上、G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF AHE BEF. AEH AHE 90o AEH BEF 90o. HEF 180o 90o 90o. 四边形 EFGH 是一 个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE HGD EHA. HGD GHD 90o EHA GHD 90o. 又 GHE 90o DHA 90o 90o 180o. ABCD 是一个边长为a b 的正方形它的面积等于 . 【证法 3】刘徽证明刘徽在证明勾股定理时也是 用的以形证数的方法只是具体的分合移补略有不同刘 徽的证明原也有一幅图可惜图已失传只留下一段文字 勾自乘为朱方股自乘为青方令出入相补各从其类 因就其余不动也合成弦方之幂开方除之即弦也 后人根据这段文字补了一张图见下图只要把图中朱方 a2的 I 移至 I 青方的 II 移至 II 移至 III 则刚好拼 好一个以弦为边长的正方形c2 由此便可证得 【证法 4】 杨作玫证明做两个全等的直角三角形设它们 的两条直角边长分别为a、bba斜边长为 c. 再做一个边 长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF交 GT 于 F交 DT 于 R. 过 B 作 BP 垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直垂足为 E 交 AF 于 H. BAD 90o DAH BAC. AD AB c RtDHA RtBCA. 由作法可知是 一个矩形 RtAPB RtBCA. 即 PB CA b从 而 PH ba. RtDGT RtBCA RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . GDT HDA . GDH GDT TDH HDA DGFH 是一个边长为a 的正方形 . GF FH a . TF TFPB 是一个直角梯形 上底 TFba下底 BP b高 FPa ba用数字表示面积 的编号如图则以 c为边长的正方形的面积为 把代入得 . . 【证法 5】李锐证明设直角 三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的长为c. 做三 个边长分别为a、b、c 的正方形把它们拼成如图所示形状 使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如 图 TBE TBH ABE. 又 BTH RtHBT RtABE. HT AE a. GH GT HT ba. 又 GHF DBC BHT TBH GHF DBC. HGF RtHGF RtBDC. 即 . 过 Q 作 QM 垂足是 M. 由 BAQ BE可知 ABE 而 AB AQ c所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 . 由 RtABE 又得 QM AE aAQM BAE. AQM BAE AQM FQM CAR. 又 QMF RtQMF RtARC. 即 . 又即 . 【证法 6】陈杰证 明设直角三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的 长为 c. 做两个边长分别为a、b 的正方形 ba把它们拼如 图所示形状使 E、H、M 三点在一条直线上. 用数字表示 面积的编号如图在 EH b 上截取 ED a连结 DA 、 DC则 AD c. DM EM ED -a b. 又 RtAED RtDMC. EAD ADE ADC ADE MDC ADE ADC 90o. 作 AB 则 ABCD 是一个边 长为 c 的正方形 . BAF FAD DAE BAF DAE. 连结 FB在 ABF和 ADE中 AB AD BAF ABF ADE. AFB 点 B、F、G、H 在一条直 线上 . 在 RtABF 和 RtBCG中 AB BC c RtABF RtBCG. . 2.2 国外对勾 股定理的证明【证法 1】梅文鼎证明做四个全等的直角 三角形设它们的两条直角边长分别为a、b 斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形使 D、E、F 在一条直线 上. 过 C 作 AC 的延长线交DF 于点 P. D、E、F 在一条直 线上 且 RtGEF RtEBD EGF EGF BED BEG 180o 90o 90o. ABEG 是一个边长为c 的正方 形. ABC CBE 90o. RtABC RtEBD ABC EBD. EBD CBE 90o. 即 CBD 90o. 又 BDE BDPC 是一个边长为a的正 方形 . 同理是一个边长为b 的正方形 . 设多边形 GHCBE 的面积为 S则 . 我国清代末数学家项明达证明 方法其思路的前一部分与梅文鼎的证明思路相反项明达法 是先构造正方形再利用全等三角形与原直角三角形全等知 识来证明能从而将问题转化为了梅文鼎证明法的后半部分 三个正方形的面积. 项明达证明方法做两个全等的直角三 角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边 形使 E、A 、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QP交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM 垂足为 M再过点F 作 FN垂足为 N. MPC BM BCPM 是一个矩形 即 MBC 90o. QBM MBA ABC MBA QBM 又 BMP RtBMQ RtBCA. 同 理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为梅文鼎证明 【证法 2】欧几里得证明法也叫毕氏证明法做三个 边长分别为a、b、c 的正方形把它们拼成如图所示形状 使 H、C、B 三点在一条直线上连结 BF、CD. 过 C 作 CL交 AB 于点 M交 DE 于点 L. AB FAB FAB FAB的面 积等于D 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半 矩形 ADLM 的面积. 同理可证矩形 MLEB 的面积. 正方形 ADEB 的面积矩形 ADLM 的面积矩形 MLEB 的面积即 . 【证法 3】美国总统伽菲尔德的证明法 以 a、b 为直角边以 c 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成 如图所示形状使 A、 E、 B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE ADE BEC. AED ADE 90o AED BEC 90o. DEC 180o 90o 90o. DEC是一个等腰 直角三角形它的面积等于 DAE 90o EBC 90o AD BC. ABCD 是一个直角梯形它的面积等于. . 故 【证法 4】辛卜松证明设直角三角形两直角边的长分 别为 a、b斜边的长为c. 作边长是 ab的正方形ABCD. 把 正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分则正方形 ABCD 的面积为把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 几个部分则正方形 ABCD 的面积为2 . . 【证法 5】 利用相似三角形性质证明如图在 RtABC中设直角 边 AC 、BC 的长度分别为a、b斜边 AB 的长为 c过点 C 作 CD垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中 ADC CAD ADC ACB. AC AC 即 . 同理可证 即 . 【证法 6】 利用切割线定理证明在 RtABC 中设直角边 BC a斜边 AB c. 如图以 B 为圆心 a为半径作圆 交 AB 及 AB 的延长线分别于D、E则 BD BE BC a. 因为 点 C 在 B 上所以 AC 是 B 的切线 . 由切 割线定理得即 . 【证法 7】作直角三角形的内 切圆证明在 RtABC 中设直角边 BC a斜边 AB c. 作 RtABC的内切圆切点分别为D、E、F 如图 设 O 的半径为 r. r r 2r 即 . 即又 . 【证法 8】利用反证法证明如图在 RtABC 中设直角边 AC、BC 的长度分别为a、b斜边 AB 的长为 c过点 C 作 CD垂足是 D. 假设即假设则由 可知或者. 即 AD或者 BD在 ADC和 ACB中 A 若 AD则 ADC ACB. 在 CDB 和 ACB 中 B 若 BD则 CDB ACB. CDB 90o. 这与作法 CDAB 矛盾 . 所以 的假设不能成立. . 2.3 高等代数中证明【证法 1】二行 n 列式面积证明方法先给出定理设A1A2 ? 6? 7? 6? 7An. 为实平面上的n 边形坐标 AiXiYi1 i n 3 n 且其顶点依 次为正向绕行则 n 边形的面积为。这个定理的证明见文 1证明设直角三角形的三条边为建立直角坐标系如图 所示已知正方形 ABCD 其顶点坐标分别为由上述定理 可得 【证法 2】利用多列米定理证明在 RtABC 中 设直角边 BC a斜边 AB c 如图过点 A 作 AD C过点 B 作 BD 则 ACBD 为矩形矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理圆内接四边形对 角线的乘积等于两对边乘积之和有 即 . 【证法 3】利用向量证明 已知直角 BAC 中 ABc BCa ACb ACB90 求证 证明以两直角边为坐标数轴 ACB90 3 勾股定理在现实生活中的相关应用 1. 求证三角形中的某一个角是直角例 1 如图 1 已知 AB C 中 AD 是 BC 边上中线 AB AD 1AC 5求证 BAD 是直 角. 证明 : 作 AE 垂直 BC 于 E.因为 AB AD 1 所以 BE ED. 设 ED x 则 BD DC 2 EC 3 在 RtA ED 中由勾股定理得 AE2 AD2 -ED2 1 - 2 同理在 RtA EC 中 AE2AC2-EC2 所 以 1 - 2 5 -9 2 在 ABD 中因为 AB2 AD2 1 1 2 BD2 由勾股 定理的逆定理得BAD 是直角 . 例 2在一个圆柱形的石 凳子上一位小朋友吃东西时留下了点在B 处恰好一只机灵而 勇敢的蚂蚁路过A 处 A 在 B 的对面她的触角准备的捕捉到 了这个信息并迅速的传递反映于是它迫不及待地想从A 处 爬 B 处.问蚂蚁从 A 处爬向 B 处那种路线最节约时间. 例 3 在测量方面的应用一个湖泊两地A测量这两点距离说说 想法就可以了 . 4 总结 数学家赵爽的这个证明可谓别具匠心 极富创新意识 .他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间 的恒 等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形 数统一代数和几何紧密结合互不可分的独特风格树立了一 个典范 .以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。在 上面数学家们的证明方法我总结有通过正方形面积 有利用相似三角形切线定理角三角形的内切圆利用 多列米定理来得到勾股定理中的平方。其中美国总统伽菲尔 德的证明方法我认为是最简单的用到的知识没有相似三 角行证明法和用多列米定理证明法那样难以理解同时用 到的图形也没有赵爽证明法那样复杂。所以我认为这种方法 更能让勾股定理的初学者理解掌握。勾股定理在实际生活 中的应用是非常的广泛在航海航空地理? 6? 7.只要 涉及距离问题的都有可能考虑用够股定理来解决。勾股定 理为我们解决生活中的实际问题提供了一种解决思路。