2020版高考数学培优考前练理科通用版练习：8.2　不等式选讲（二选一） Word版含解析.docx

8.2不等式选讲(二选一)命题角度1含绝对值不等式的图象与解法高考真题体验·对方向1.(2018全国·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12x<1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.2.(2017全国·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x<-1时,式化为x2-3x-40,无解;当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1;当x>1时,式化为x2+x-40,从而1<x-1+172.所以f(x)g(x)的解集为x-1x-1+172.(2)当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.3.(2016全国·24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解(1)f(x)=x-4,x-1,3x-2,-1<x32,-x+4,x>32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,故f(x)>1的解集为x|1<x<3;f(x)<-1的解集为xx<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为xx<13或1<x<3或x>5.典题演练提能·刷高分1.设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.解(1)由于f(x)=-2x+5,x<2,2x-3,x2,则y=f(x)的图象如图所示:(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式f(x)ax的解集非空时,a的取值范围是(-,-2)12,+.2.已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解(1)由f(x)2,得x1,2-2x2或1<x<4,02或x4,2x-82,解得0x5,故不等式f(x)2的解集为0,5.(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=2-2x,x1,0,1<x<4,2x-8,x4,作出函数f(x)的图象,如图所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=12;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k(-,-2)12,+.3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=|x+1|-2|x|=x-1,x<-1,3x+1,-1x0,1-x,x>0.则不等式f(x)-6等价于x<-1,x-1-6或-1x0,3x+1-6或x>0,1-x-6,解得x-5或x7.故不等式f(x)-6的解集为x|x-5或x7.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,ABC的面积取得最大值12×4×3=6,f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a<-2.ABC的面积是6,梯形ABED的面积不小于8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12×(4-2a)×(-2-a)14-6=8,a212.又a<-2,则a-23,故实数a的取值范围是(-,-23.4.已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)解不等式f(x)<8.解(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)=-4x-3,x<-2,5,-2x12,4x+3,x>12,(2)当x<-2时,由-4x-3<8,解得x>-114,即-114<x<-2;当-2x12时,5<8恒成立,即-2x12;当x>12时,由4x+3<8,解得x<54,即12<x<54,所以原不等式的解集为-114,54.5.已知函数f(x)=|2x|-|x+3|.(1)若对于任意的实数x,都有f(x)2m2-7m成立,求m的取值范围;(2)若g(x)=ax,方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,求a的取值范围.解(1)由于f(x)=|2x|-|x+3|=3-x,x<-3,-3x-3,-3x0,x-3,x>0,所以f(x)的最小值为f(0)=-3.又因为对任意的实数x,都有f(x)2m2-7m成立,只需2m2-7m-3,即2m2-7m+30,解得12m3,故m的取值范围为12,3.(2)方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,作出这两个函数图象,由图象可知,a的取值范围是-1,1)-2.6.已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x2,2,2<x<4,2x-6,x4.当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1.当2<x<4时,f(x)4-|x-4|无解.当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5.f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x0,4x-2a,0<x<a,2a,xa,由|h(x)|2,解得a-12xa+12.又已知h(x)2的解集为x|1x2,a-12=1,a+12=2,于是a=3.命题角度2绝对值不等式中的最值与参数范围问题高考真题体验·对方向1.(2019全国·23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x(-,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是1,+).2.(2018全国·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1<x<1,2,x1.故不等式f(x)>1的解集为xx>12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|<1成立.若a0,则当x(0,1)时|ax-1|1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a,所以2a1,故0<a2.综上,a的取值范围为(0,2.3.(2018全国·23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=2x+4,x-1,2,-1<x2,-2x+6,x>2.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).4.(2017全国·23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解(1)f(x)=-3,x<-1,2x-1,-1x2,3,x>2.当x<-1时,f(x)1无解;当-1x2时,由f(x)1得,2x-11,解得1x2;当x>2时,由f(x)1解得x>2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-,54.典题演练提能·刷高分1.已知函数f(x)=|x+1|-|x-a|,其中a为实数.(1)当a=1时,解不等式f(x)1;(2)当x0,+)时,不等式f(x)<2恒成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|=-2,x<-1,2x,-1x1,2,x>1,故f(x)1x12,即不等式f(x)1的解集是12,+.(2)当x0,+)时,f(x)<2|x+1|-|x-a|<2x+1-|x-a|<2|x-a|>x-1,当x0,1)时,x-1<0,显然满足条件,此时a为任意值;当x=1时,a1;当x(1,+)时,可得x-a>x-1或a-x>x-1,求得a<1.综上,a(-,1).2.已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)当xR时,f(x)-x+a恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当x-2时,f(x)=-x+4,f(x)6-x+46x-2,故x-2;当-2<x<1时,f(x)=-3x,f(x)6-3x6x-2,故x;当x1时,f(x)=x-4,f(x)6x-46x10,故x10.综上可知:f(x)6的解集为(-,-210,+).(2)由(1)知:f(x)=-x+4,x-2,-3x,-2<x<1,x-4,x1,当x-2时,-x+4-x+a恒成立,a4,当-2<x<1时,-3x-x+a恒成立,a-2,当x1时,x-4-x+a恒成立,a-2.综上,实数a的取值范围为(-,-2.3.已知函数f(x)=|x-1|-a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.解(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a3,解得a-3,即amax=-3;(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|0,03,所以a=-1不符合题意,当a<-1时,g(x)=(x-1)+2(x+a),x-a,(x-1)-2(x+a),1x<-a,-(x-1)-2(x+a),x<1,即g(x)=3x-1+2a,x-a,-x-1-2a,1x<-a,-3x+1-2a,x<1,所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4,当a>-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2.综上,a=2或-4.4.设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2+x.(1)当a=1时,求不等式g(x)f(x)的解集;(2)已知f(x)32,求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式g(x)f(x),即x2+x|x+1|+|x-1|,当x<-1时,x2+x-2x,x2+3x0,x0或x-3,此时,x-3,当-1x1时,x2+x2,x2+x-20,x1或x-2,此时x=1,当x>1时,x2+x2x,x2-x0,x1或x0,此时,x>1,不等式的解集为x|x-3或x1.(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=-(a+1)x+a-1,x<-1a,(a-1)x+a+1,-1axa,(a+1)x-a+1,x>a.若0<a1,则f(x)min=f(a)=a2+1,a2+132,解得a22或a-22,22a1,若a>1,则f(x)min=f-1a=a+1a>2>32,a>1.综上所述,a22.5.已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m>0).(1)当m=1时,解不等式f(x)3;(2)当xm,2m2时,不等式12f(x)|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.解(1)当m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|=-3x,x<-1,2-x,-1x12,3x,x>12,由f(x)3解得x-1或x1.(2)由题意得m>0,m<2m2,解得m>12,当xm,2m2时,不等式12f(x)|x+1|等价于x+m+2x-12(x+1),x3-m,2m23-m,解得12<m1.实数m的取值范围是12,1.命题角度3不等式的证明高考真题体验·对方向1.(2019全国·23)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.2.(2019全国·23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.解(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.典题演练提能·刷高分1.已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)若不等式f(x)|m-1|有解,求实数m的最大值M;(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,证明:3a+b4.(1)解若不等式f(x)|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max|m-1|即可.因为|x-1|-|x+2|(x-1)-(x+2)|=3,所以|m-1|3,解得-2m4,所以实数m的最大值M=4.(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4,由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)(3a+b)2,所以,(3a+b)216,因为a,b均为正实数,所以3a+b4(当且仅当a=b=1时取“=”).2.已知函数f(x)=|x+2|+|2x+a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)2;(2)求证:f(x)|a-2|-12|a|.(1)解当a=1时,f(x)=|x+2|+|2x+1|2x-2,-3x-32或-2<x<-12,-x+12或x-12,3x+32x-2或-2<x-1或x-13x-1或x-13,所以不等式的解集为xx-1或x-13.(2)证明f(x)=|x+2|+|2x+a|=|x+2|+x+a2+x+a22-a2+x+a22-a2=a2-2=(a-2)-12a|a-2|-12a=|a-2|-12|a|.3.已知函数f(x)=|2x-3|+|3x-6|.(1)求f(x)<2的解集;(2)若f(x)的最小值为T,正数a,b满足a+b=12,求证:a+bT.(1)解f(x)=|2x-3|+|3x-6|=3-2x+6-3xx<32,2x-3+6-3x32x2,2x-3+3x-6(x>2)=-5x+9x<32,-x+332x2,5x-9(x>2).由图象可知:f(x)<2的解集为75,115.(2)证明由图象可知f(x)的最小值为1,由均值不等式可知a+b2a+b2=14=12,当且仅当a=b时,“=”成立,即a+b1=T.4.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)6;(2)若a,bR,|a|<1,|b|<1,证明:f(ab)>f(a-b+1).(1)解由f(2x)+f(x+4)6得|2x-1|+|x+3|6,当x<-3时,-2x+1-x-36,解得x<-3;当-3x12时,-2x+1+x+36,解得-3x-2;当x>12时,2x-1+x+36,解得x43.综上,不等式的解集为xx-2或x43.(2)证明f(ab)>f(a-b+1)|ab-1|>|a-b|,因为|a|<1,|b|<1,即a2<1,b2<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=a2b2-2ab+1-a2+2ab-b2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|2>|a-b|2,即|ab-1|>|a-b|,所以原不等式成立.5.设函数f(x)=|2x-1|.(1)设f(x)+f(x+1)<5的解集为集合A,求集合A;(2)已知m为集合A中的最大自然数,且a+b+c=m(其中a,b,c为正实数),设M=1-aa·1-bb·1-cc.求证:M8.(1)解f(x)+f(x+1)<5,即|2x-1|+|2x+1|<5.当x<-12时,不等式化为1-2x-2x-1<5,-54<x<-12;当-12x12时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立;当x>12时,不等式化为2x-1+2x+1<5,12<x<54.综上,集合A=x-54<x<54.(2)证明由(1)知m=1,则a+b+c=1.则1-aa=b+ca2bca,同理1-bb2acb,1-cc2abc,则1-aa·1-bb·1-cc2abc·2acb·2bca=8,即M8.