2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练：4 从审题中寻找解题思路 Word版含解析.docx
专题突破练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.(2019山东栖霞高三模拟,文7)已知sin4-2x=35,则sin 4x的值为()A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2019安徽黄山高三质检,文5)函数y=x3+ln(x2+1-x)的图象大致为()3.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t<23B.t>23C.t<23且t-6D.t<-64.已知ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,3b=c,则tan A的值是()A.33B.233C.3D.4335.设双曲线x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.2336.(2019湖南桃江一中高三模拟,理9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),若B1P平面A1BM,则C1P的最小值是()A.305B.2305C.275D.4757.(2019江西临川一中高三模拟,文12)已知函数f(x)=sin(x+)(>0,0<<)的图象经过两点A0,22,B4,0,f(x)在0,4内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则f(x)=()A.sin3x+4B.sin5x+34C.sin7x+4D.sin9x+34二、填空题8.(2019山东栖霞高三模拟)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),则B=.9.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j(i,jN*),则(1)a9,9=; (2)表中的数82共出现次. 2345673579111347101316195913172125611162126317131925313710.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是12和2的等比中项,c是1和5的等差中项,则a的取值范围是. 11.已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项;(2)设bn-(-1)nan是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列bn的前n项和Tn.12.(2019河南八市重点高中高三五模,文21)已知函数f(x)=x(ln x+a)+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为2x-y-1=0.(1)求a,b的值;(2)若对任意的x(1,+),f(x)m(x-1)恒成立,求正整数m的最大值.13.(2019河南八市重点高中高三五模,理21)已知函数f(x)=ex-ax2,且曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:x>0时,ex-ex-1x(ln x-1).参考答案专题突破练4从审题中寻找解题思路1.C解析 由题意得cos2-4x=1-2sin24-2x=1-2×925=725,sin 4x=cos2-4x=725.故选C.2.C解析 当x=1时,y=1+ln(2-1)=1-ln(2+1)>0;当x=-1时,y=-1+ln(2+1)<0.观察各选项,可得C选项符合.故选C.3.C解析 若a,b的夹角为钝角,则a·b<0且不反向共线,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,2×3=-t,得t=-6,此时a=-2b.所以t<23且t-6.故选C.4.A解析 sin A+2sin Bcos C=0,sin(B+C)+2sin Bcos C=0.3sin Bcos C+cos Bsin C=0.cos B0,cos C0,3tan B=-tan C.3b=c,c>b.C>B.B为锐角,C为钝角.tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB223=33,当且仅当tan B=33时取等号.tan A的最大值是33.故选A.5.A解析 直线l过(a,0),(0,b)两点,直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为34c,|-ab|a2+b2=34c,即a2b2a2+b2=316c2,又c2=a2+b2,a2(c2-a2)=316c4,即316c4-a2c2+a4=0,化简得(e2-4)(3e2-4)=0,e2=4或e2=43.又0<a<b,e2=c2a2=1+b2a2>2,e2=4,即e=2,故选A.6.B解析 如图,在A1D1上取中点Q,在BC上取中点N,连接DN,NB1,B1Q,QD.DNBM,DQA1M且DNDQ=D,BMA1M=M,平面B1QDN平面A1BM,则动点P的轨迹是DN(不含D,N两点),又CC1平面ABCD,则当CPDN时,C1P取得最小值.此时,CP=2×112+22=25,C1P252+22=2305.故选B.7.D解析 根据题意画出函数f(x)的大致图象如下,因为f(0)=sin =22,由图可知,=34+2k(kZ).又因为0<<,所以=34.所以f(x)=sinx+34.因为f4=sin4+34=0,由图可知,4+34=+2k,kZ,解得=1+8k,kZ.又因为2=T<4,可得>8.所以当k=1时,=9,所以f(x)=sin9x+34.故选D.8.3解析 由三角形面积公式可得:S=12acsin B=34(a2+c2-b2),14sin B=34×a2+c2-b22ac=34cos B,tan B=3.B(0,),B=3.9.(1)82(2)5解析 (1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,jN*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.10.(22,10)解析 因为b是12和2的等比中项,所以b=12×2=1;因为c是1和5的等差中项,所以c=1+52=3.又因为ABC为锐角三角形,当a为最大边时,有12+32-a2>0,a3,1+3>a,解得3a<10;当c为最大边时,有12+a2-32>0,a+1>3,a3,解得22<a3.由得22<a<10,所以a的取值范围是(22,10).11.解 (1)设数列an的公差为d(d0),a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故an=a1+(n-1)d=2n.(2)令cn=bn-(-1)nan,设cn的公比为q.b2=7,b5=71,an=2n,c2=b2-a2=3,c5=81,q3=c5c2=27,q=3,cn=c2qn-2=3n-1.从而bn=3n-1+(-1)n2n.Tn=b1+b2+bn=(30+31+3n-1)+-2+4-6+(-1)n2n,当n为偶数时,Tn=3n+2n-12,当n为奇数时,Tn=3n-2n-32.12.解 (1)由f(x)=x(ln x+a)+b,得f'(x)=ln x+a+1,由切线方程可知:f(1)=2-1=1,f'(1)=a+1=2,f(1)=a+b=1,解得a=1,b=0.(2)由(1)知f(x)=x(ln x+1),则x(1,+)时,f(x)m(x-1)恒成立等价于x(1,+)时,mx(lnx+1)x-1恒成立.令g(x)=x(lnx+1)x-1,x>1,则g'(x)=x-lnx-2(x-1)2.令h(x)=x-ln x-2,则h'(x)=1-1x=x-1x,当x(1,+)时,h'(x)>0,则h(x)单调递增,h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,x0(3,4),使得h(x0)=0.当x(1,x0)时,g'(x)<0;x(x0,+)时,g'(x)>0,g(x)min=g(x0)=x0(ln x0+1)x0-1.h(x0)=x0-ln x0-2=0,ln x0=x0-2.g(x)min=g(x0)=x0(x0-2+1)x0-1=x0(3,4).mx0(3,4),即正整数m的最大值为3.13.(1)解 由f(x)=ex-ax2,得f'(x)=ex-2ax.因为曲线y=f(x)在点x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直,所以f'(1)=e-2a=e-2,所以a=1,即f(x)=ex-x2,f'(x)=ex-2x.令g(x)=ex-2x,则g'(x)=ex-2.所以x(-,ln 2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;x(ln 2,+)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 2>0.所以f'(x)>0,f(x)单调递增.即f(x)的单调增区间为(-,+),无减区间.(2)证明 由(1)知f(x)=ex-x2,f(1)=e-1,所以y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(e-2)x+1.令h(x)=ex-x2-(e-2)x-1,则h'(x)=ex-2x-(e-2)=ex-e-2(x-1),且h'(1)=0,h(x)=ex-2.x(-,ln 2)时,h(x)<0,h'(x)单调递减;x(ln 2,+)时,h(x)>0,h'(x)单调递增.因为h'(1)=0,所以h'(x)min=h'(ln 2)=4-e-2ln 2<0.因为h'(0)=3-e>0,所以存在x0(0,1),使x(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;x(x0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;x(1,+)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.又h(0)=h(1)=0,所以x>0时,h(x)0,即ex-x2-(e-2)x-10,所以ex-(e-2)x-1x2.令(x)=ln x-x,则'(x)=1x-1=1-xx.所以x(0,1)时,'(x)>0,(x)单调递增;x(1,+)时,'(x)<0,(x)单调递减,所以(x)(1)=-1,即ln x+1x.因为x>0,所以x(ln x+1)x2.所以x>0时,ex-(e-2)x-1x(ln x+1),即x>0时,ex-ex-1x(ln x-1).
