2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：8.1坐标系与参数方程 Word版含解析.doc

第1讲坐标系与参数方程 考点1极坐标1极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对<0也成立这就是极坐标与直角坐标的互化公式2圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2acos.(3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为2asin.例12019·全国卷选修44：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标【解析】本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知：若0 ，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍)，一般取0,2)(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.对接训练12019·全国卷选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(0>0)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，. 考点2参数方程1直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为yy0k(xx0)其中ktan ，为直线的倾斜角，代入上式，得yy0(xx0)，即.记上式的比值为t，整理后得(t为参数)这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义在直角三角形M0AM中，|M0A|xx0|，|MA|yy0|，|M0M|t|，即|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离2圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(为参数)3椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)处，相应的椭圆的参数方程为(为参数)通常规定参数的范围为0,2)例22018·全国卷在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率【解析】(1)解：曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan ·x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)解：将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.对接训练22018·天津卷已知圆x2y22x0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为_解析：将直线的参数方程化为普通方程，为yx2.联立方程组可求得A，B两点的坐标分别为(1,1)，(2,0)故|AB|.又圆心C到直线AB的距离d，故SABC××.答案： 考点3极坐标方程与参数方程的综合例32019·全国卷选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值【解析】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算(1)因为1<1，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，<<)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程的方法，利用平面解析几何的知识解决当涉及线段长度时，也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解.对接训练32019·河南新乡一模在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为cos2sin .(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，P(1,2)，求|PA|·|PB|的值解析：(1)消去参数，得直线l的普通方程为xy10.由cos2sin ，得2cos2sin ，则yx2，故曲线C的直角坐标方程为yx2.(2)将代入yx2，得t2t20，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t22，易知直线l过点P(1,2)，故|PA|·|PB|t1t2|2.课时作业 21坐标系与参数方程12019·江苏卷在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为sin3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离解析：本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力(1)设极点为O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得AB.(2)因为直线l的方程为sin3，则直线l过点，倾斜角为.又B，所以点B到直线l的距离为(3)×sin2.22019·湖北八校第一次联考在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数，t为常数)以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C有两个交点，求实数t的取值范围解析：(1)消去参数，得圆C的普通方程为(xt)2y22.将直线l的极坐标方程化为cos sin ，则xy，化简得yx2.故直线l的直角坐标方程为yx2.(2)圆C的普通方程为(xt)2y22，圆C的圆心为C(t,0)，半径为，圆心C到直线l的距离d，直线l与圆C有两个交点，d<，解得4<t<0.实数t的取值范围为(4,0)32019·广东广州一模已知曲线C的极坐标方程为2cos 2sin ，直线l1：(R)，直线l2：(R)以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(2)已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求AOB的面积解析：(1)依题意，得直线l1的直角坐标方程为yx，直线l2的直角坐标方程为yx，由2cos 2sin 得22cos 2sin ，2x2y2，cos x，sin y，曲线C的直角坐标方程为(x)2(y1)24，曲线C的参数方程为(为参数)(2)联立方程，得得|OA|1|4，同理，得|OB|2|2.又AOB，SAOB|OA|·|OB|sinAOB×4×2×2，故AOB的面积为2.42019·广东佛山质检在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，直线l1：(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C与l1的极坐标方程；(2)当<<时，直线l1与曲线C相交于O，A两点，过点O作l1的垂线l2，l2与曲线C的另一个交点为B，求|OA|OB|的最大值解析：(1)因为曲线C：(为参数)，所以曲线C的普通方程为(x1)2(y)24，由xcos ，ysin ，得C的极坐标方程为22cos 2sin 0，化简得2cos 2sin .因为直线l1：(t为参数)，所以直线l1的极坐标方程为(R)(2)根据题意设点A的极坐标为(A，)，<<，点B的极坐标为，则A2cos 2·sin 4sin，B4sin4cos，所以|OA|OB|AB4sin4cos4sin，所以当时，|OA|OB|取得最大值，且(|OA|OB|)max4.52019·四川泸州一诊在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin22acos (a>0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PA|·|PB|AB|2，求a的值解析：(1)由sin22acos (a>0)得2sin22acos (a>0)，所以曲线C的直角坐标方程为y22ax(a>0)消去参数，得直线l的普通方程为yx2.(2)将直线l的参数方程化为(t为参数)，代入y22ax，得t22(4a)t328a0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t22(4a)，t1t2328a，t1>0，t2>0，所以|t1|PA|，|t2|PB|，|t1t2|AB|，由|PA|·|PB|AB|2得 |t1t2|2t1t2，所以|t1t2|25t1t2，所以2(4a)25(328a)，即a23a40，解得a1或a4(舍去)，所以a1.62019·福建福州质量抽测在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，为直线l的倾斜角)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆E的极坐标方程为4sin ，直线，(R)，与圆E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.(1)若<<，求证：|OB|OC|OA|；(2)若当时，直线l过B，C两点，求y0与的值解析：(1)证明：依题意，得|OA|4sin |，|OB|，|OC|4sin|，<<，|OB|OC|4sin4sin4sin |OA|.(2)当时，易得直线与圆E的交点B的极坐标为，直线与圆E的交点C的极坐标为，从而B，C两点的直角坐标分别为(，1)，(0,4)，直线l的普通方程为yx4，故y01，.