高中数学“离散型随机变量的期望与方差”教案一.pdf

第 1 页 共 16 页 课题： 离散型随机变量的期望与方差（一） 教学目的： 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随 机变量的分布列求出期望 理解公式“E （a+b）=aE +b” ， 以及“若B （n,p） ， 则 E=np”. 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的 期望 教学重点： 离散型随机变量的期望的概念 教学难点： 根据离散型随机变量的分布列求出期望 授课类型： 新授课 课时安排： 2 课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程 ： 一、复习引入： 1. 随机变量 ：如果随机试验的结果可以用一个变量来表 示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、等表示 2. 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 第 2 页 共 16 页 3连续型随机变量 :对于随机变量可能取的值， 可以取 某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离 散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试 验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序 一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量， baba,是常数，则也是随机变 量并且不改变其属性（离散型、连续型） 5. 分布列 : 设离散型随机变量 可能取得值为x1， x2，x3， 取每一个值xi（i=1，2，）的概率为() ii Pxp，则 称表 x1x2xi P P1P2Pi 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 6. 分布列的两个性质：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1 7. 离散型随机变量的二项分布: 在一次随机试验中，某 事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个 第 3 页 共 16 页 事件发生的次数 是一个随机变量 如果在一次试验中某 事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件 恰好发生k次的概率是 knkk nn qpCkP)(， （k0,1,2, ，n，pq1） 于是得到随机变量 的概率分布如下： 0 1 k n P n n qpC 00111n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 称这样的随机变量 服从二项分布， 记作 B(n，p) ， 其中n，p为参数，并记 knkk n qpCb(k；n，p) 8. 离散型随机变量的几何分布： 在独立重复试验中， 某 事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数 的离散型随机变量“ k”表示在第k 次独立重复试 验时事件第一次发生 . 如果把 k次试验时事件 A发生记为 k A、 事件 A不发生记为 k A，P( k A)=p，P( k A)=q(q=1-p) ，那么 1 12311231 ()()() () ()()() k kkkk PkP A A AAAP A P A P AP AP Aqp （k0,1,2, ，pq1） 于是得到随机变量 的概率 分布如下： 1 2 3 k P ppq 2 q p 1k qp 第 4 页 共 16 页 称这样的随机变量 服从几何分布 记作g(k，p)= 1k qp，其中k0,1,2, ， pq1 二、讲解新课： 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随 机变量的某些制定的概率， 但分布列的用途远不止于此， 例 如：已知某射手射击所得环数 的分布列如下 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的 平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望 根据射手射击所得环数的分布列， 我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有 nnP02.0)4(次得 4 环； nnP04.0)5(次得 5 环； nnP22.0)10(次得 10 环 故在 n 次射击的总环数大约为 n02.04n04.05n22.010 02.04(04.05n)22.010， 第 5 页 共 16 页 从而，预计 n 次射击的平均环数约为 02.0404.0532.822.010 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射 击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射 手射击的平均水平 对于任一射手， 若已知其射击所得环数的分布列，即 已知各个 )(iP（i=0，1，2，10） ，我们可以同样预计 他任意 n 次射击的平均环数 : )0(0P) 1(1P)10(10P 1.数学期望 : 一般地，若离散型随机变量 的概率分布 为 x1x2xn P p1p2pn 则称E 11p x 22p x nnp x为 的数学期望，简称 期望 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数 ， 它反映了 离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数 、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令 1 p 2 p n p，则有 1 p 2 p n pn 1 ， 第 6 页 共 16 页 E 1 (x 2 x n xn 1 )，所以 的数学期望又称为 平均数、 均值 4. 期望的一个性质 : 若ba(a、b 是常数) ， 是随 机变量，则 也是随机变量，它们的分布列为 x1x2xn bax1bax2baxn P p1p2pn 于是E 11 )(pbax 22 )(pbax nn pbax)( 11 (pxa 22p x nnp x ) 1 ( pb 2 p n p) baE， 由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)( 5. 若B（n,p ） ，则 E=np 证明如下： knkk n knkk n qpCppCkP)1()(， E0× n n qpC 00 1× 111n n qpC2× 222n n qpCk× knkk n qpCn× 0 qpC nn n 又 1 1 )!1()1()!1( )!1( )!( ! !k n k n nC knk nn knk n kkC， E(np 001 1 n n Cp q 211 1 n n qpC )1()1(11 1 knkk n qpC 第 7 页 共 16 页 ) 011 1 qpC nn n npqpnp n 1 )( 故若 B(n，p)，则Enp 三、讲解范例： 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不 中得 0 分， 已知他命中的概率为0.7， 求他罚球一次得分的 期望 解：因为 3 .0)0(,7 .0)1(PP， 所以7.03.007 .01E 例 2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望 解：6 ,2, 1,6/1)(iiP， 6/166/126/11E=3.5 例 3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这 批产品进行抽查， 每次抽取 1 件，如果抽出次品，则抽查终 止，否则继续抽查， 直到抽出次品为止，但抽查次数不超过 10 次 求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字） 解：抽查次数取 110 的整数，从这批数量很大的 产品中抽出 1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次 品的概率是 0.15，取出正品的概率是0.85，前1k次取出正 品而第k次（k=1，2，10）取出次品的概率： 第 8 页 共 16 页 15.085. 0)( 1k kP（k=1，2，10） 需要抽查10 次即前9 次取出的都是正品的概率： 9 85.0)10(P由此可得的概率分布如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.1 5 0.12 75 0.10 84 0.0 92 0.07 83 0.06 66 0.05 66 0.04 81 0.04 09 0.23 16 根据以上的概率分布，可得的期望 35.52316.0101275.0215.01E 例 4. 一次英语单元测验由20 个选择题构成，每个选 择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5 分，不作出选择或选错不得分，满分100 分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对 每题都从 4 个选择中随机地选择一个， 求学生甲和乙在这次 英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择 题个数分别是,，则 B（20,0.9）,)25.0,20( B, 525.020,189.020EE 由于答对每题得5 分，学生甲和乙在这次英语测验中 的成绩分别是 5 和 5所以，他们在测验中的成绩的期望 第 9 页 共 16 页 分别是： 2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE 例 5随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数 学期望 解：抛掷骰子所得点数 的概率分布为 1 2 3 4 5 6 P 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 所以 E1× 6 1 2× 6 1 3× 6 1 4× 6 1 5× 6 1 6× 6 1 (123456)× 6 1 3. 5 抛掷骰子所得点数 的数学期望，就是 的所有可能取 值的平均值 例 6某城市出租汽车的起步价为10 元，行驶路程 不超出 4km时租车费为10 元，若行驶路程超出4km，则 按每超出lkm 加收 2 元计费 (超出不足lkm 的部分按lkm 计) 从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km 某 司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车 路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程( 这个 城市规定， 每停车 5 分钟按 lkm 路程计费 ) ，这个司机一 第 10 页 共 16 页 次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租 车费为 ( ) 求租车费关于行车路程 的关系式； ( ) 若随机变量 的分布列为 15161718 P 0.10.50.30.1 求所收租车费 的数学期望 ( ) 已知某旅客实付租车费38 元，而出租汽车实际行驶 了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解： ( ) 依题意得 =2( -4) 十 10，即 =2 +2； ( )E4.161.0183.0175 .0161.015 =2 +2 E2E +2=34.8 （元） 故所收租车费的数学期望为 34. 8 元 ( ) 由 38=2 +2，得 =18，5 (18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15 分钟 四、课堂练习 ： 1. 口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任 取 3 球，以表示取出球的最大号码，则 E（） 第 11 页 共 16 页 A4；B5；C4.5；D4.75 答案： C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1 分， 罚不中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为0.7 ，求 他罚球 1 次的得分 的数学期望； 他罚球 2 次的得分 的数学期望； 他罚球 3 次的得分 的数学期望 解：因为7.0)1(P，3 .0)0(P，所以 E1×)1(P0×7.0)0(P 的概率分布为 0 1 2 P 2 3.03.07.0 1 2 C 2 7 .0 所以E0×09.01×42.02×98.01.4 的概率分布为 2 3 P 3 3 .0 21 3 3.07.0C3.07. 0 22 3 C 3 7.0 所以E0×027.01×189.02×98.02.1. 3设有m升水，其中含有大肠杆菌n个今取水 1 升 第 12 页 共 16 页 进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为，求 的数学 期望 分析：任取 1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是 m 1 ，事件“=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升 水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大 肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(=k), 进 而可求E. 解：记事件 A： “在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌” ， 则 P(A)= m 1 P(=k)=Pn(k)=C k n m 1 ) k(1 m 1 ) n k （k=0,1,2, .,n） B(n, m 1 )，故E =n× m 1 = m n 五、小结：(1) 离散型随机变量的期望，反映了随机变 量取值的平均水平； (2) 求离散型随机变量的期望的基本步骤：理解的意 义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率， 写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E公 式 E（a+b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的 期望 E=np 第 13 页 共 16 页 六、课后作业 ： 1. 一袋子里装有大小相同的3 个红球和两个黄球，从 中 同 时 取出2 个， 则 其 中含 红 球 个数 的 数 学期 望 是 （用数字作答） 解：令取取黄球个数 (=0 、1、2) 则的要布列为 0 1 2 p 10 3 5 3 10 1 于是 E（ ）=0× 10 3 +1× 5 3 +2× 10 1 =0.8 故知红球个数的数学期望为1.2 2. 袋中有 4 个黑球、 3 个白球、 2 个红球，从中任取2 个球，每取到一个黑球记0 分，每取到一个白球记1 分，每 取到一个红球记2 分，用表示得分数 求的概率分布列 求的数学期望 解：依题意的取值为 0、1、2、3、4 =0 时，取 2 黑 p(=0)= 6 1 2 9 2 4 C C =1 时，取 1 黑 1 白 p(=1)= 3 1 2 9 1 3 1 4 C CC =2 时，取 2 白或 1 红 1 黑 p(=2)= 2 9 2 3 C C + 36 11 2 9 1 4 1 2 C CC 第 14 页 共 16 页 =3 时，取 1 白 1 红，概率 p(=3)= 6 1 2 9 1 2 1 3 C CC =4 时，取 2 红，概率 p(=4)= 36 1 2 9 2 2 C C 分 布 列 为 （2）期望 E =0× 6 1 +1× 3 1 +2× 36 11 +3× 6 1 +4× 36 1 = 9 14 3. 学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常 工作，事先进行独立试验， 已知各设备产生故障的概率分别 为 p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第 i 台仪器出现故 障（i=1 、2、3） i A表示第 i 台仪器不出现故障，则： p(=1)=p(A1· 2 A· 3 A)+ p( 1 A·A2· 3 A)+ p( 1 A· 2 A·A3) =p1(1 p2) (1 p3)+ p2(1p1) (1 p3)+ p3(1 p1) (1 p2) = p1+ p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3 p(=2)=p(A1· A2·A)+ p(A1· 2 A· 3 A)+ p( 1 A·A 2·A3) 0 1 2 3 4 p 6 1 3 1 36 11 6 1 36 1 第 15 页 共 16 页 = p1p2 (1 p3)+ p1p3(1p2)+ p2p3(1 p1) = p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3 p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3 E=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3 注： 要充分运用分类讨论的思想， 分别求出三台仪器中有一、 二、三台发生故障的概率后再求期望 4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2 个黄球，从中 同时取出 2 个，含红球个数的数学期望是 1.2 解：从 5 个球中同时取出2 个球，出现红球的分布列为 0 1 2 P 1. 0 2 5 2 2 C C 6 .0 2 5 1 2 1 3 C CC 3. 0 2 5 2 3 C C 2.13.026 .011.00E 5. A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名 队员，A队队员是 321 ,AAA，B队队员是 321 ,BBB，按以往多 次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率 A1对 B1 3 2 3 1 A2对 B2 5 2 5 3 第 16 页 共 16 页 A3对 B3 5 2 5 3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1 分，负队得 0 分，设 A队，B队最后所得分分别为， （1）求，的概率分布；（2）求E，E 解： （），的可能取值分别为3，2，1，0 25 3 5 3 5 3 3 1 0 , 5 2 5 2 5 3 3 1 5 3 5 2 3 1 5 3 5 3 3 2 1 , 75 28 5 2 5 3 3 2 5 2 5 2 3 1 5 3 5 2 3 2 2 , 27 8 5 2 5 2 3 2 3 P P P P 根据题意知3，所以 25 3 03, 5 2 12 , 75 28 21, 75 8 30 PPPP PPPP （） 15 22 25 3 0 5 2 1 75 28 2 75 8 3E； 因为 3, 所以 15 23 3EE 七、板书设计 （略） 八、课后记：