高考数学每天一题第六周.pdf

星期一(三角 )2018 年_ 月_ 日 【题目 1】(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别是 ABC 内角 A，B，C 的对 边，函数 f(x)32 3sin xcos x2cos 2x 且 f(A)5. (1)求角 A 的大小； (2)若 a2，求 ABC 面积的最大值 . 解(1)由题意可得： f(A)32 3sin Acos A2cos 2A5， 2 3sin Acos A2(1cos 2A)， sin A(3cos Asin A)0， A(0，)，sin A0， sin A3cos A，即 tan A3，A 3. (2)由余弦定理可得： 4b 2c22bccos 3， 4b 2c2bcbc(当且仅当 bc2 时“”成立 )， SABC1 2bcsin A 3 4 bc 3 4 ×43， 故ABC 面积的最大值是3. 星期二(数列 )2018 年_ 月_ 日 【题目 2】(本小题满分 12 分)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn 2 n12p(nN*). (1)求 p 的值及数列 an的通项公式； (2)若数列 bn 满足 an1 2 (3p)anbn，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解(1)Sn2 n12p(nN*)， a1S142p， 当 n2 时，anSnSn12 n. 由于an是等比数列， a142p2，则 p1， 因此 an2n(nN*). (2)由 an1 2 (3p)anbn2anbn，得 2n22nbn， bn n 2 n. Tn 1 2 2 2 2 3 2 3 n 2 n， 1 2T n 1 2 2 2 2 3 n1 2 n n 2 n1， 得 1 2Tn 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n n 2 n1， Tn11 2 1 2 2 1 2 n1 n 2 n 1· 1 1 2 n 11 2 n 2 n2 1 1 2 n n 2 n， 因此 Tn2 1 2 n1 n 2 n. 星期三(立体几何 )2018 年_ 月_ 日 【题目 3】(本小题满分 12 分)如图，五面体 ABCDE，四边形 ABDE 是矩形， ABC是正三角形， AB1，AE2，F 是线段 BC 上一点，直线 BC 与平面 ABD 所成角为 30° ，CE平面 ADF. (1)试确定 F 的位置； (2)求三棱锥 ACDF 的体积 . (1)证明连接 BE 交 AD 于点 O，连接 OF， CE平面 ADF，CE? 平面 BEC，平面 ADF平面 BECOF，CEOF. O 是 BE 的中点， F 是 BC 的中点 . (2)解BC 与平面 ABD 所成角为 30° ，BCAB1， C 到平面 ABD 的距离为 hBC· sin 30 ° 1 2. AE2，VACDFVFACD1 2VB ACD1 2VC ABD1 2× 1 3× 1 2×1×2× 1 2 1 12. 星期四(概率统计 )2018 年_ 月_ 日 【题目 4】(本小题满分 12 分)为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田” 的号召， 某环保部门开展以“关爱木兰溪， 保护母亲河”为主题的环保宣传活动， 将木兰溪流经市区河段分成10 段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸 进行环保综合测评，得到分值数据如下表： 南岸77928486747681718587 北岸72877883838575899095 (1)记评分在 80 以上(包括 80)为优良 .从中任取一段， 求在同一段中两岸环保评分 均为优良的概率； (2)根据表中数据完成下面茎叶图； (3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸 环保情况，哪边保护更好？ 解(1)从 10 段中任取一段的基本事件为(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)， (74，83)，(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)，共 10 个，这些 基本事件是等可能的 . 用事件 A表示“同一段中两岸环保评分均为优良”，则A包含的基本事件为：(92， 87)，(86，83)，(85，90)，(87，95)，共 4 个， 所以 P(A) 4 10 2 5. (2)根据表中数据可完成下面茎叶图 (3)南岸 10段的分值数据的中位数z18184 2 82.5， 南岸 10 段分值数据的平均数： x 1（70×41467）（ 80×514567）92 10 81.3. 北岸 10 段分值数据的中位数z28385 2 84， 北岸 10 段分值数据的平均数： x 2（70×3258）（ 80×533579）（ 90×205） 10 83.7. 由 z10， 当 a1 时，f(x)xln x(x0)，f(x) 1x x (x0)； 当 00；当 x1 时，f(x)0)，令 f( x)0，解得 x 1 a； 由 f(x)0，解得 00； 当 xe时，g(x)g(x)，即|f(x)|ln x x 1 2， 所以，方程 |f(x)| ln x x 1 2没有实数根 . 星期六(解析几何 )2018 年_ 月_ 日 【题目 6】 (本小题满分 12分)已知椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左焦点为 F(1， 0)，经过点 F 的直线 l0与椭圆交于 A，B 两点.当直线 l0x 轴时， |AB|2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)作直线 lx 轴，分别过 A，B 作 AA1l，垂足为 A1，BB1l，垂足为 B1，且 A1FB1是直角三角形 .问：是否存在直线 l 使得 A1FO2B1FO？若存在，求 出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解(1)由题意可知 c1，b 2 a 2 2 . 又因为 a2b2c2， 解得 a22，b21. 所以椭圆 C 的方程为 x 2 2 y21. (2)不妨设点 A 在 x 轴上方，由题意可知 A1FB190° ，要使 A1FO2B1FO， 则当且仅当 A1FO2B1FO60° . 即 tanA1FO3，tanB1FO 3 3 . 设直线 l 与 x 轴交于点 H，则|A1H|3|B1H|. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xm， 则 A1(m，y1)，B1(m，y2). 所以 y13y2， 又FA 1(m1，y1)，FB 1 (m1，y 2)， 由 A1FB1F，得 FA 1 · FB 10，即(m1)2y 1y20. 由题意可知， AB 不与 y 轴垂直，所以可设l0的方程为： xty1，代入椭圆方 程 x 2 2 y 21 得(t22)y22ty10. 易知 4t24(t22)0 恒成立 . 则 y1y2 1 t 22， y1y2 2t t 22. 由可得 y1 3t t 22，y2 t t 22， 将代入中可得 3t2 （t 22）2 1 t 22，解得 t21. 因此 y1y2 1 3， 从而 m1± 3 3 ，由题意可知直线l 在焦点 F 的右侧，所以存在符合题意的直 线 l：x1 3 3 . 星期日(选考内容 )2018 年_ 月_ 日 【题目 7】(在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目 .如果多做， 则按所做第一个题目计分.) 1.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 . 已知直线 l： sin 3 3 2 m，曲线 C： x13cos ， y3sin . (1)当 m3 时，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； (2)若曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于 3 2 的点，求实数 m 的范围 . 解(1)直线 l： sin 3 3 2 m， 展开得 1 2sin 3 2 cos 3 2 m，化为直角坐标方程为y3x3m， 当 m3 时，化为 y3x3 30. 曲线 C： x13cos ， y3sin ， 化为(x1) 2y23. 圆心 C(1，0)到直线 l 的距离 d| 33 3| 2 3r， 因此直线 l 与曲线 C 相切. (2)若曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于 3 2 的点， 则圆心 C(1，0)到直线 l 的距离 d| 3 3m| 2 3 3 2 ，解得 2m4. 故实数 m的范围是 2，4. 2.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 . 已知函数 f(x)|ax2|. (1)当 a2 时，解不等式 f(x)x1； (2)若关于 x 的不等式 f(x)f(x)x1，当 x1 时，不等式化为 2x2x1， 解得 x3. 当 xx1，解得 x3或x1 3 . (2)因为 f(x)f(x)|ax2|ax2|ax2ax2|4，所以 f(x)f(x)的 最小值为 4，因为 f(x)f(x) 1 m有实数解，所以 4 1 m，即 m 0， 1 4 .